资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．为了美化校园环境，加大校园绿化投资．某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则（ ）
A．18（1+2x）＝33 B．18（1+x2）＝33
C．18（1+x）2＝33 D．18（1+x）+18（1+x）2＝33
3．的值是( )
A． B． C． D．
4．已知抛物线的解析式为y=（x-2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）.
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
5．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y=kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k≥1 C．k<1 D．0<k < 1
7．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠ABO＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．45°
8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米
9．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是( )
A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2
10．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.1．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．
12．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是_______．
13．将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：
（1）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；
（2）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O．那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是_____．
14．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是矩形．
15．已知2是关于x方程x2-2a=0的一个解，则2a-1的值是______________.
16．在这三个数中，任选两个数的积作为的值，使反例函数的图象在第二、四象限的概率是______．
17．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为的正方形，点分别在在弧上，那么图中阴影部分的面积为__________．(结果保留)
18．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是________°．
三、解答题(共66分)
19．（10分）校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
20．（6分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小红在处测得标语牌顶部点的仰角为，，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点到地面的距离的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点，，，，，，在同一平面内）
（参考数据：，，
21．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2﹣15，求k的值．
22．（8分）如图，建筑物AB的高为6cm，在其正东方向有个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A、塔项C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，=1.73，精确到0.1m）
23．（8分）已知
（1）求的值；
（2）若，求的值．
24．（8分）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.
25．（10分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，M 为BC的中点，MH⊥AC，垂足为 H．
（1）求证：；
（2）若 AB＝AC＝10，BC＝1．求CH的长．
26．（10分）某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.
（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？
（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据题意利用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方运算法则，分别化简求出答案.
【详解】解：A.合并同类项，系数相加字母和指数不变，，此选项不正确；
B. ，是完全平方公式，(a-b) 2=a 2-2ab+b 2,此选项错误；
C. ，同底数幂乘法底数不变指数相加，a 2·a 3=a5，此选项不正确；
D. ，幂的乘方底数不变指数相乘，(-a)4=(-1)4.a4=a4，此选项正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了有理式的运算法则，合并同类项的关键正确判断同类项，然后按照合并同类项的法则进行合并；遇到幂的乘方时，需要注意若括号内有“-”时，其结果的符号取决于指数的奇偶性．
2、C
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
18（1+x）2＝33，
故选：C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的增长率问题．
3、D
【解析】根据负整数指数幂的运算法则进行求解即可.
【详解】=，
故选D.
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，熟练掌握(a≠0，p为正整数)是解题的关键.
4、B
【解析】根据顶点式y=（x-h）2+k的顶点为（h，k），由y=（x-2）2+1为抛物线的顶点式，顶点坐标为（2，1）．
故选：B．
5、D
【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
故选D.
6、D
【分析】由二次函数y=kx2+2x+1的部分图象可知开口朝上以及顶点在x轴下方进行分析.
【详解】解：由图象可知开口朝上即有0<k，又因为顶点在x轴下方，所以顶点纵坐标从而解得k < 1，所以k的取值范围是0<k < 1.
故选D.
【点睛】
本题考查二次函数图像性质，根据开口朝上以及顶点在x轴下方分别代入进行分析.
7、C
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=∠O=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
8、A
【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题.
【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=，
∴0.45=，
∴AB=21.7（米），
故选A．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9、A
【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.
10、C
【分析】根据比例关系即可求解.
【详解】∵模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.1，
∴＝0.1，
解得：x＝99，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.612，
解得：y≈2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、下 直线x＝1 （1，2）
【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案
【详解】∵-3<0，
∴抛物线的开口向下，
∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
故答案为：下，直线x＝1，（1，2）
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．
12、
【分析】以A为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可．
【详解】解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（12，0），C（6，4）
设y=a（x-h）2+k，
∵C为顶点，
∴y=a（x-6）2+4，
把A（0，0）代入上式，
36a+4=0，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键．
13、
【分析】根据折叠的性质得到BE＝AB，根据矩形的性质得到AB＝CD，△BOE∽△DOC，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得到BE＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，△BOE∽△DOC，
∴△BOE与△DOC的相似比是，
∴点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，还考查了操作、推理、探究等能力，是一道好题．
14、AB⊥CD
【解析】解：需添加条件AB⊥DC，
∵、、、分别为四边形中、、、中点，
∴，
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∵E、H是AD、AC中点，
∴EH∥CD，
∵AB⊥DC，EF∥HG
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：AB⊥DC．
15、5.
【分析】把x=2代入已知方程可以求得2a=6，然后将其整体代入所求的代数式进行解答.
【详解】解：∵x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解，
∴×22-2a=0，即6-2a=0，则2a=6，
∴2a-1=6-1=5.
故答案为5..
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
16、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，并求出 k为负值的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
，
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，k为负数的有4种，
∴反比例函数的图象在第二、四象限的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17、
【分析】由正方形的性质求出扇形的半径，求得扇形的面积，再减去正方形OEDC的面积即可解答，
【详解】解：∵正方形OCDE的边长为1，
∴OD=
∵扇形的圆心角是为
∴扇形的面积为
∴阴影部分的面积为-1
故答案为-1.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，确定扇形的半径并求扇形的面积是解答本题的关键.
18、
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，
∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故答案为100°.
【点睛】
此题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题关键在于掌握其定义.
三、解答题(共66分)
19、2m
【详解】解：设道路的宽为xm，
（32-x）（20-x）=540，
整理，得x2-52x+100=0，
∴（x-50）（x-2）=0，
∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），
小道的宽应是2m．
故答案为2.
【点睛】
此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
20、能，点到地面的距离的长约为．
【分析】延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【详解】能，
理由如下：延长交于，
则，
，
，
设，则，
，
在中，，则，
，
解得，，
则，
答：点到地面的距离的长约为．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21、（1）k≥；（2）1
【分析】（1）根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数间的关系表示出，，再由代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，得△=[﹣（k+1）]2﹣1（k2+1）=2k﹣3≥0，
解得，
∴k的取值范围为k≥．
（2）∵由根与系数的关系，得x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1 ，
∵x12+x22=6x1x2﹣15，
∴（x1+x2）2﹣8x1x2+15=0，
∴k2﹣2k﹣8=0，解得：k1=1，k2=﹣2 ，
又∵k≥，
∴k=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键．
22、通信塔CD的高度约为15.9cm．
【解析】过点A作AE⊥CD于E，设CE=xm，解直角三角形求出AE，解直角三角形求出BM、DM，即可得出关于x的方程，求出方程的解即可．
【详解】过点A作AE⊥CD于E，
则四边形ABDE是矩形，
设CE=xcm，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，
所以AE=xcm，
在Rt△CDM中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm，
DM=cm，
在Rt△ABM中，BM=cm，
∵AE=BD，
∴，
解得：x=+3，
∴CD=CE+ED=+9≈15.9（cm），
答：通信塔CD的高度约为15.9cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE、BM的长度是解此题的关键．
23、（1）3；（2）a=-4，b=-6，c=-8.
【解析】（1）设，可得，，，代入原式即可解答；（2）把，，，带入（2）式即可计算出k的值，从而求解.
【详解】（1）设，
则，，
∴
（2）由（1）
解得，
，，
【点睛】
本题考查比例的性质，设是解题关键.
24、 (1)直线与相切；理由见解析；(2).
【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5，由圆周角定理可得∠AOD=100°，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可求得结论．
【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
∵OA=OD
∠1=∠2
OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，
∴DE=AE=AC=2.5，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长=．
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．
25、（1）详见解析；（2）3.2
【分析】（1）证明，利用线段比例关系可得；
（2）利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出AM的长，再由（1）中关系式可得AH长度，可得CH的长.
【详解】解：（1）证明：∵，为的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵，，M为的中点，
∴，
在中，，
由（1）得
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是利用相似三角形得到线段比例关系.
26、（1）50元；（2）该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.
【分析】（1）设该商品的售价是每个元，根据利润=每个的利润×销售量，即可列出关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设该商品的售价为每个元，利润为y元，根据利润=每个的利润×销售量即可得出y关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）设该商品的售价是每个元，
根据题意，得：，
解之得：，（不合题意，舍去）.
答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；
（2）设该商品的售价为每个元，利润为y元，则
，
∴当时，利润最大，最大利润是12250元.
答：该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.
【点睛】
本题是一元二次方程和二次函数的应用题，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题关键.
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