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数理统计复习第五章大数定律和中心极限定理契比雪夫不等式大数定律中心极限定理p|x-e（x）|41000/J），现疗一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独k 0,其它.立）,任取只，）；K示只中寿命大于3000小时的器件个数，则当”T 8时，i H F收敛于：尸的 4 20）.户2 loo.Yn B（必力P=9p（eo）=P（Y；w 馋I）ftp t 0.X，,x”为来自x的简单0,x S 0.i.72随机样本，则当78时，依概率收敛到_;5乂近似服片 M从_分布(写出参数)。2.设总体X服从指数分布，E(X)斗乂.，乂s为来自的一组简单随机1 8，18 2、样本，则专以近似服从 分布(写出参数)；P(面炉：4不厂_；以丫表示便毛小的次孙，近似服从_ 分布(弓出蛹M8W.:：r34，人为独立同分布的随机变量序列，均服从均匀分布(0,1),(1)当j/S4 n二64时，-gXj32的近似分布为 _(要求写出参数)，若以u Id；y表示这64个%中取值大于0.25的个数，则P(YV5O)N；(2)由大数定律知，当T8时，22(3/依概率收敛到_.n/i（考）金。（等地=千）d 版力）N M业（为土力套出）N、（那力夕用入&浏d薄3山卜0（去切乎=（j4、X）d二d（早SN（度一吟）|.n霭=（。+-X）曙冲二（-以纲）a。=旌-74二（/（：xh r）3二a喈由m 乎二（、X）6 T=（式）3算？以）（jo）n X/A(3 2)依 概率收敛到:七1 1(2(3X；X,)=2(3(X；)-(X,)=2(3(D(XJ+E2(XJ)-E(XJ)1 1 1=2(3(+-)=112 4 2I从总体x中抽取两独立样本(X.,/)和(匕 片)，具样木均值分别为了 和八D若(X)=L D(X)=44=10a则2又一,近似服从 分布，若凤X)=L。(4)二4,由中心极限定理,耍虹(、L 2)4 0()2,则至少I t1为.(3)若XU(O),则当-8时，一W 2依概率收敛到/.I1.设总体X的概率密度为/(x)=f；：；,从总体中抽取简单随机样本1.，尤，则(1)当 T8时,依概率收敛到：(2)当充分 M大时，的近似分布为:(3)以丫表示乂,尤中取值大于2的个数，则丫服从_分布，用中心极限定理计算，若使得P(y0.84,则至少为1.设总体X/(5),，尤是总体X的简单随机样本。则(1)当 T8时,工之依概率收敛到 n Ml；若=108,则至多有36个%取值大于6.63的概率近似值为:(3)若=7,夕(Z%va)=0.95,贝_ci(3)若=6,则(+工+&)/(尤+%+%)服从_分布。第六章数理统计的基本概念 统计量 三大分布构成性质 四大定理x,SAkBkF又了N(O,1)a/yjn1)(I)二()S/4n、7 U+J-C2/Ml 2j/*b(qT/T)为+“2-2)E。,ax)=样黑)量eS)=d(x),dS)=2D(X)2样本容量T设/，则有(z2)=凡Q(%2)=22例：设X四0),(乂/2，乂)是样本,求。(乂)解：刀N(0)=G收N(O,1)n 1/y/nnX2-72(1)D(nX2=l=如何求 D(X+J(Xt.-X)2)?i=l2008年研究生入学数学题：2 S2设Xl.X”是总体N(2)的样本，统计量T=x n证明T是42的无偏估计(2)当二0,。2二1时，求。(T)一2 S2-2 q2(1)证明：E(T)=E(X)=(X)-E()n n一 一 1 zy2 1=D(X)+E2(X)-E(S2)=+/2-cf2=2 n n n、-2 9-2 2 7 2o-2(2)nX/，d(X)=)=-n n-1一2 S2 独立 一2 1D(T)=D(X)=D(X)-D(S2)n n2 1 2 2-n-n2 n-1-n(n-l)2010年研究生入学数学1&数学3题：1 n设X1，.X是总体N(,CF2)的样本，统计量T=则项T)=?n i=i1 n解：E(T)=-YE(Xf)fl.1 rb 1=11 n=Z(D(XJ+2(XJ)H i=l1 nH i=l2,2cy+jll第七章参数估计矩估计法极大似然估计法估计量的评选标准区间估计例：投掷一非均匀骰子，记乂=1,骰子正面朝上的点数是偶数|o,骰子正面朝上的点数是奇数设骰子正面朝上的点数是偶数的概率为p,p未知，现投掷骰子3次,正面朝上的点数是1,2,5。求p的（1）矩估计（2）最大似然估计。解：P(X=k)=pk(lp)-k,女=0(1)矩估计：=E(X)=p p=i p=A1=X-1 1 1x=(0+1+0)=.p=上3 3 3(2)最大彳以然估计：L=P(X1=0,X2=l,X3=0)=p(l 2了LnL=In p+21n(l-p)dLnL 1 2 令八 1-=-=0 Dr=dp p i-p 32010年研究生入学数学1设X的分布为：X|1 2 3-e e-e2 e1其中夕e(0,l)未知，以N,来表示来自总体X的样本(容量为)3中等于i的个数(i=l,2,3)。求常数4，2，3使7=4乂为(9的 JL 乙 J C Li=l无偏估计量，并求。(T).解：M是随机变量，并且M服从,其中p”p(x=i)3E(T)=q/(NJ=的(1-8)+a2n0(l-8)+a302T 题设-naA+(na?-naO+(na.-na?)3=0J.乙 JL J 乙n 兄=0,2 =1/n1 乙 J八小V 2nM/I一夕)。(丁)=Z4 O(M)=-i=i n六.（12分）设总体XN（O,，），XS1）是来自总体的简单随机样本，下面给出b,的三个估计景,云二工之吠,-彳）w Zt-1 a丸员=，/。求这些估计量的均值，并判断其中哪些是的无偏估计量；（2）求这三个估计用的方差，并在无偏估计中判断哪个是有效估计.（I），耽（2）.E阈今D位方平,前），-D6 瀚一 IO：嗖一八 二 0#；1芥VY求未知参数伙一般为4或，）的置信区间步骤：点估计也应在1.一般需判断对，还是/估计，对估计时是否已函数卬（及8）中 对人估计时是否已知？k一2.构造函数W（众8）,除了待估计的。外，W（众。）不包含/其它未知参数，且分布已知（称卬（众。）为枢轴量）；3.对于给定的置信度1-0,确定尽可能大的，尽可能小的4使得 PaW（0;3）l-a；4.若能从a W（0;0）b得到等价的不等式4区,x）e%（X,土）那么a）就是。的置信度为1-。的置信区间。注.若要求单侧置信限，只要将3.中paW（O-a改为 P W（a 或 尸卬（6;夕a 即可。单个正态总体X网,/）中，/已知时,求均值的置信度1-。的单侧置信下限同样取卬=与抖为求形如尸（4？）二1-。中的？设尸（生?）二1一。o yjn0尸（7）=1-。7n即p|又一乎Za=l_（_ 直信区间为：X r=Za,+001AM 71-a7 7a思考题：1均值的置信度1-a的|置信上限是什么呢？1答案:X+-=za_7H J第八章假设检验假设检验正态总体参数的假设检验分布拟合检验参数的假设检验问题处理步骤L根据实际问题的要求,提出原假设H。和备择假设也；参见P261.特别注意H。与山的不平等性。2.根据已知条件选取检验统计量（选取方法同区间估计中 的枢轴量）,画出统计量密度函数草图;3.按照“在原假设H撼立时,拒绝原假设的概率不大于显 著性水平”这一原则,画出统计量分布的分位数图,（左边检验左边留，右边检验右边留，两边检验两边 各留/2。）确定拒绝域;4.查分位数表、用样本观测值数据代入公式进行计算;5.根据样本数据是否落在H。拒绝域内,作出拒绝原假设还 是接受原假设的决策。正态总体中均值、方差的双侧置信区间估计与双边假设检验比较待估 参数原假设Ho枢轴量W检验 统计量分布置信区间拒绝域（4已知 二 0（，已知）X-o7 lnx 一4o 4nN(0,1)X-“b/6 Z0/2x _4/r-%/2(7/yjn未知）N o(未知)rs/4nX 一氏 s/4nt(n-l)1M%2伽 1)X-%S)4n兀/2(1)a2(未知)2 20=%(未知)(-1)S2 CT2端/(-1)始的2（-1）（-1炉/，2（1）(1)髀 2(“2-2l-a/2(1)4或(2 2/2(1)O A两个止态总体寸=反=4(LL LLX-P)-(q-/4)X-Y(x-y)-(x-打,仇+2一 2)x-fL时=反=）s/弋V/x_i_x八7%改3加+石生式%+%-2)一 2 一 2G _ a2r/式 s；/4膛 s；坳-m-1)片-a/2 1，2 1)41)*小2（%1，叼-1）或%T%-1）犯2类错误概率计算。第二类错误的概率尸（接受名同为假）分布拟合检验定理.若充分大（2 50）,则当。为真时，统计量Z2k f2n2 nPi近似服从/（左-1）分布。因此检验拒绝域为Z?（左一厂一D注：/拟合检验使用时必须注意要足够大，印,.（或“力）不能太小。根据实践，要求 2 50,他,（或磁）25,否则应适当合并心 以满足要求。Afi人PinPi4&AAk f2计算=念呼i查表*(A-r-l)=若/2%(心1)则拒绝名第九章方差分析及回归分析单因素试验 一元线性回归广对=；X(x厂兄,十元厂对7=1 z=l 7=1 z=l=l(xj+l(工厂行 j=l i=l j=l i=l=Se+SAq(1)Sa与旌相互独立；(2)苫/5-S);CTq当名为真时,V/(s-1)。cr _(4)当名为真时，F=SJOD；也,(s_l,_s)S e I 一 s)Se单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度F比因素ASas-1履误差5en-s=%s总和STn-1“0：从二2二=从二，&:从，2,，4不全相等或，/：g=&=.=0,“14邑公不全为零。“。的检验统计量及 _ SA/(s-l)、少，、a水平拒绝域为：比一 sjms)-a(s，s)人的估计32=2=短n-s当拒绝o时，求勺-4的置信水平为1-。的置信区间取印_（工厂:1（勺4）_crj（y 丐+1/4）/（X.j-X左）-（勺-左）Se a2T)t（n-s）凤1%出当拒绝以0时，求勺的置信水平为1-a的置信区间X j-Mj取函数卬二nj _ x j （n-s）eo%t（n-s）一元线性回归Y N a+bx.a2)Y=a+bx+s e N。/)工N(a+bxna2)K=a+bx.+i 与NQcP)1/1/1/1/1/1/其中未知参数4,仇，都不依赖于x的常数！黑=(%可=(%可(丫9)，=E(x-歹 i i ih=S/So)的最小二乘估计:八j ra=y-xb丫关于x的(经验)回归方程：y=d+bx几 _ 九 八 d _平方和分解：Z（J）?=Z（x-+%i=lsyyi=ln 人 R 入 _=Z（x-z）2+Z（z-y）2i=l i=l3+uQe=Syy-bSxy八（y2b XX4 72（-2）a，的估计用62=2n-2线性假设的显著性检验检验假设 H0:b=O,H：bwO,当“。为真即人=。时，取检验统计量回归系数b的置信区间取函数Wb-b-2)可化为一元线性回归