线代数复习题.pdf

-1-线性代数复习2008-12一选择题1.设A为阶方阵，线性方程组加=匕有 da.无解，则行列式I A 1=0;b.有解，则行列式IAIwO;C.行列式I A 1=0,则Ax=匕无解；d.行列式IAIwO,则Ax=。有唯一解2.已知线性方程组为 bx-ax 2=-2ab-2cx2+3bx3=beeXj+a x3=0 则 da.a=0时，线性方程组无解;b.c=0时，线性方程组无解；c./2=（）时，线性方程组无解；d.a,b,c为任意实数，线性方程组都有解3.以下各式中，正确的是 d a2 b b2a.+。3。4 h3 b4ay+b a2+b2。3+h3 a4+b4c.ax a2Cl 2)。4a 2b a3b3 a4b4%a、2a l 2a2b.2=a 3 a4 2tz3 2a 4at a,a4 a3d.-=a3 a4 a2 ax/t,2“3/4.设a i42 q是三维列向量，则行列式la 1,a?a I=da.la 2,a ,a 31；b.I-Ct2,一。3，Otl；c.la ,a 2+a 3,a 2 a 31;d.la -a 3,a1+a 2,I5.设A,3为阶方阵，则 da.I A+8 1=1 A 1+18 I；b.A3=BA；-1-1-I VC.(A+B)=A+B；d.I AB 1=1 BA I6.设A,3,C为阶方阵，且45c=E,则必有 ba.ACB=E；b.BCA=E；c.CBA=E；d.BAC=E7.设A为阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则IA*I=ba.I A I；b.I A I-1;c.I A-1 I；d.I A I8.已知人，3为四阶方阵，14 1=-2,131=-2,则A*(2B尸=b-2-1,1,a.；b.;c.2；cl.84 49.设A为方阵，则行列式I A 1=0的必要条件为 ba.A中必有两行(或列)元素对应成比例；b.A中必有一行向量是其余行向量的线性组合；C.A中必有一行元素全为零；d.A的每一行向量都是其余行向量的线性组合10.设A为机x 矩阵，/(),且r(A)=n,则线性方程组Ax=b ba.一定无解；b.可能无解；c.有唯一解；d.有无穷多解11.设A为3阶方阵，则A的伴随矩阵A*的秩不可能取的值为a.0；b.1；c.2；d.312.设A为3阶方阵，A的行列式值为4,则行列式12Tl=Ca.16；b.6；c.27；d.8,113.设 A 为阶方阵，且 A+A+-E=0,则(A+E)=C 2-a.A+E;b.2E；c.-2A；d.2A1 1 1、14.设矩阵A=0 3 0,则 C、2 0 a,a.A为可逆矩阵；b.A为不可逆矩阵；c.a w 2时，A为可逆矩阵；d.a=2时，A为可逆矩阵 m(1、15.设向量组为a 1=1,a 2=a,a3=1,则此向量组cJ,J,a.a Hl时，线性无关；b.线性无关；c.a w l,且a w-2时，线性无关；d.线性相关16.已知4,3为阶方阵，且(AB)2=E,则可能不成立的是 a-3-a.A=Bb.ABA=B-1c.BAB=Ad.(BA=E17.已知A为对称矩阵,P为可逆矩阵,则_a必为对称矩阵a.PAP7b.PAPXc.PAP;d.APA18.设A为阶方阵，且2 A-A-6E=0,则A的逆为aa.A-E6b.A-E;C.A+Ed.A+E619.设A,3为阶方阵，且A8=0,则必有 aa.I A 1=0 或 I 3 1=0;b.A=0或3=0；c.A和3都为不可逆矩阵；d.2(A+3)2 _ 2=A+B20.设为阶方阵，则必有aa.I AB 1=1 BA I；b.2 2(A+BY=A+2AB+B;c.2 2 2(AB)=A B;d.2 2(A-B)(A+B)=A-B答案:dddddbbbbbc c c c ca a a a a二填空题2141.已知aij1=20022344是a,/的代数余子式，则2A4I+4A4200001解于 a21A4i+a22A 42+a 23 A43+a 24 A 44 0BP：1 x/4I+2 x A42+0 x A43+0 X 4 44=0因此：A4I+2A420 n 2A41+4A42=002.行列式101101=-310111-4-011131113111解101130110100=-31101310100101110311000013.行列式axbxab2a也a2bla2b2+1“23-2ciba 32也+24ah2ah3ia也a也a00解a2bla 2b2+1a 2b3=b a2a 2b2+1a 2b3 ba210=2aha 3bla3b2a3b3+2%a 3b2a 3b3+2的02ZX|-x2-2x3=x、4.线性方程组 5X-3x2-3x3=k x2 有非零解贝1九=-1I-Xy+2X3=一入工3(2 X)X 一 x2 2工3=0解：线性方程组可化为J 5x.-(3-Z)x2-3x3=0此线性方程组有非零解当且仅当系数行I-X+(2+九)13=02 X 15 3+，列式等于零，即-2-32+九(-1)13+入2+(2+九)-32 入 15 3+入3 2 3=I+3入+3入+1=(入+1)=0 n 入=一15.已知矩阵人=22-2、X 3不可逆，则的取值为-3或-6X 解:矩阵人=2此时x=6；当2,3两列成比例时,必有r(A)3,此时=-36.设 A 为阶方阵，且 T+2A=0,则(A+1)T=A+E解：由于 A2+2A=0n A2+2A+E E(A+E)2=E n(A+E)-1=A+石2-2、x 3不可逆当且仅当r(A)3,当1,3两行成比例时，必有r(A)3,-5-7.已知矩阵4=(110 11 1 1、179则k=1321J111-r21；解：由于r21T、(1 01 00、i00333112(A,)=1 1-10 10T 010一3330 10 01001/11333)(21二、333r 21 1)1 1121nA=11 233331-11117I 333;8.已知1:H：-21，则X=1J I。解；n 3、2 5|3丫匕n(29.已知矩阵4=-320-2 0 1则 AB/=-19-7J12.设A,小，秩-(A)=s,2为加阶可逆矩阵，则/(4)=sX=(2(525 4-32 n“广0-215-2 1 A3 4-1)B=I-1-9、+%2+2%3-3%4=010.线性方程组15+24-+2/=。的基础解系含A)=2个解向量 2x)+3x2+x3-x4=0解：线性方程组系数阵为：11 2、2 32-3(1-1 2-121-d 10-3(2-0。J N1 2-3、0-3 50 0 0,210“A)=2,线性方程组的基础解系含-r(A)=2个解向量11.设 a=(l,l,l),A=a a,已知/P=必，贝必=解,/A3=(a 7a)(a，a)(a，a)=a (a a )(a a T)a=a 32a=9(a a)=9A K=9-6-rr13.设向量组为口1=1,a 2=0,a3=3线性相关，则a=2b I”匕rn 田解 因为a=1,a2=0,a3=3线性相关I 匕13=(a 2b)=0 0 a=2b214.已知向量组a i2、2,a2(、4,a3-1、=k,p且B不能由田2，。3线性表示，贝心=上4解：B不能由,。2,a 3线性表示当且仅当r(a i，a2,a3)丰r(a)，a2,a3,P)(2 0(ai，ot2，a3,B)=2 4、一 1 8-1 1A(-1 8 3k 1-0 4 k+13 2)0 0-4k2、05,则 r(a i，a 2，a 3)丰 r(a,a2，a3,P)当且仅当 k=。415.已知A为5阶方阵，且行列式I A l=a,贝lj12Al=2%=32。r-n r-n16.齐次线性方程组X+*3=0的通解为 2 1+*3 017.设A为4阶方阵，r(A)=3,则齐次线性方程组A=o的基础解系含4 一 r(A*)=4-l=3 个解向量解：由于n,r(A)=nr(A)=1,r(A)=n l 而 r(A)=4-1=3o,r(A)x=1方程/(%)=0 的根为3.已知(1A=2求矩阵C=AB 一 A43：C=AB-BA=0,1 04.已知矩阵4=1 1J 1解:由于11)(1 0 0、-1 0 8=210。10 2 1,73p111、22010一412=-4-2-221,、5-21,、一 440、0、0,求矩阵(A+2E)T(A*+E)2,1*1 I-1(A+2E)(A+E)=(A+2E)(A A+E)-I-1-1-1-1-I=(A+2 石)(2A+AA)=(A+2E)(2E+A)A=AA(0oV,0u12 J(212200 02 0|T J5.(1)已知矩阵-10-1 0-1、A=0 2 1J-2-1?且AB=A+B,求矩阵B 1 2 r解：B=(A-E)l*3 A=1 2 01 2解：det A=4 53 4W 2 3(A I E)=?4 5 8fe 4 6C b(2)设A为3阶方阵且A47=石，又I A l 0,6为3阶方阵，且I 6-A=4，求 I-AB1 I的值。解：因为=E，所以 I 44,1=I A=1,又I Al2 0 1+所以A-=j 0-3 4 ofel 2-3之6.判别下列向量组的线性相关性，并求向量组的秩和一个极大线性无关组(1)解：(a)a3，2、a 2=4，J,0、3,4)(12 12 4 0、2 4 30、fl4 一102J 12 1 0 10 1-20 0 0.a 2。a 3a 40、4、一 2)Aa 2该向量组线性相关，极大无关组为由,a3,秩数为2解:o1)J 2、a 4，a 2=1，a 3=49 a 42o、3)-2A=(a a 2 a3a4)(2 0 3 1 1行1 0 1-2-11)o 0 0 0?44203该向量组线性相关，极大无关组为由,a2,秩数为2rnr o)3、(o、0-i-1-1(3)a =,a 2=a 3=，Ct 4 10342)、L7)、9,该向量组线性相关，向量组的一个极大线性无关组为a：a?、a47求解方程组I 2x,-x2+x4=-11)求线性方程组I修+3x2-7x3+4x4=3的通解。1 3m-2x2+x3+x4=-2-12-w4解：B=o 74o47722械o7o4o11112211?nooo2ooo o野2+2通解为x11Xj%2%3+%4=02）求线性方程组X1 工2+工3 34=1 通解1x-x2-2x3+3x4-一 21解 写出对应的增广矩阵B并进行行变换：B=1=o械楸1-1-1 10 0 2-40 0-121 r3+-r21-1 0-10 0 1-20 0 0 0r(A)=2=r(5),故方程组有解,21220f 1-x2-x4=-其同解方程组为I-JI 2f 1X=X 2+X4+一2X 7=X 21=2工4+一 2x4=x4-13-方程组的通解为X(9，九4为任意实数)。对应齐次方程组的基础解系为巳8求解方程组+%2+2%3-3%4=11)修+2x2-x3+2x4=3I 2x(+3x2+x3 x4=h(1)8取何值，方程组无解;解(2)b取何值,方程组有解，并求出其通解 11=(A，P)=1 23 32-3 1A(1 1-1 2 3-011-1 b)10 1-3 1 (15 2-05 b-2 102-3-31 2-3 1、1-3 5 20 0 0 b 4,(1)Z?w 4,r(A)=2,r(A)=3,无解,b=4,r(A)=r(A)=2,有无穷多解,此时,T 1彳=(A，B)=1 2、2 3-1 4j(0 0 0 02-0(0 5-81-3 50 0 0-n2211-3 C fl2 3-01 2-31-3 5n(x +5工3 =-1同解方程组为%2-3%3+5%4=2,工3 二%3%4=%4Xj=-5+8x4 1移项 x2=3%3 _+2,X3=工3 x4=x4(Vx3,x4 e R)-14-2)线性方程组|/X1 4-X2 4-X3=/-31%1+/x2+x3=-2I1+x2+Z x3=-2(1)/取何值时，有唯一解、无解或有无穷多解?(2)在有无穷多解时，求其通解。I 1 1解：。=1/1=(/+2)(/-I)21 1 I(i)当L 1且/?2时，0,由克莱姆法则知，方程组有唯一解。(ii)当/=-2时，可求得H(A)=2,R(A-.b)=3,故方程组无解。(iii)当/=1时，同解方程组为距+x,+x3=-2,R(A)=R(A:b)=10 1 110 10 2 200071 7 7X 一工3同解方程为.X +X 3=0X2=一工3，工2+=0*3=%3通解为 X=-1 x3(V%3 e R)10.求下列齐次方程组的基础解系与其通解|3%1+5x2+6%一 4x4=0X-%2-工3+工4=0,、,、Xi+2尤2+-3x4-0(1)(、-必+匕314=0(2)14/4-5x2-2x3+3x4-0 x-x2-2x3+3x4=03Xi+812+24 匕-19 x4=0解系数矩阵1A=I11 1 I1 1 3-1-2 31-1nx(-l)+r2,r30 0-1 11 r1-12-4 一0 0-1 2 0 0-1 1-1 22-41-1 0-1001-20000则同解方程组为，所以，r(A)=2,基础解系应有4-2个。X=工2+X4X2=X2x3=2x4X 4-X 4则，方程组的通解X=X,1+l=%2巳+g己2,0 2%2，4为任意实数。基础解系为-16-巳=(1,1,0“乡=(1,0,21)（2）解将系数阵A用初等行变换化为规范的阶梯形阵，即356-4、fl24-3、124-30165A=45-23一0000824-19;10000)1 0-8 7、0 16-5（0 0 0 0）得同解方程组A0X=0为:X,-8x3+7x4-0 x2+6x3-5x4=0移项得X|=8x3-7x4x2-6x 3+5打再添项得齐次线性方程组的所有解：%=8x3-7x4X2=-6x3+5必（其中Z，X4为任意常数）%3%4%4%3为任意常数）11 设 4 维行向量 a=(1,1,0,-1),p=(1,2,0,3)求-17-(1)向量a,B的长度|a I，p(2)a,p 的内积(a,0)解向量a,p的长度a=6 p=(2)a,p 的内积(a，B)=012o求下列矩阵的秩数122I7191)A02520313,2)B00130180400002 a-4a1解1)A=02203022 1112 2 15-10 2 1 5-1-1 300-22-24-10 0 0 0 0r(A)=3172)B=03000009802 cT-4a2a0r(B)=得储=1对应的特征向量%=r 1、-1 x3(x3 w 0)对A的特征值九2=2,解方程组（入2-A）X=0、系数阵(2E-A),01010010011101070107得九2=2,对应的特征向量0(匕。0)7对A的特征值九3=4,解方程组（九3后-A）X=00、21k 0111系数阵(4-A)2 J10、00101-207得九3=4,对应的特征向量a32(x3*0)115.已知3阶方阵8的特征值为1,2,-1,又方阵4=-2B,求-20-(1)方阵A的特征值及其相似对角阵；(2)行列式I A I和|殷+2E I o解：(1)因为三阶方阵6有三个互异的特征值，所以8可以对角化，即存在可逆矩阵P,使得P BP=1 2=L5-1三从而得方阵A的相应的特征值乙=/3-2/分别为/,=-1,Z2=4,Z3=1 0骗1 相似对角阵P-AP=j 4|鼠 1三(2)I A 1=-4,I 1+2E 1=3创6 3=54四证明题1.设阶方阵A满足424-6=0,证明：矩阵A可逆证明 由于 a2-2A E=0,A2-2A=E A(A-2)=E故矩阵A可逆，且A7=A-2石。2.A为可逆矩阵，A=AE,证明：A=A*2证明：由于A为可逆矩阵，且A4*=1 A|E,又由已知 不=A|E故 储=AA*两边左乘4得4=A*4.已知向量组a 2,，a,线性无关，a a 2,，a,0线性相关，证明：p 可由a i，a 2,，a.线性表示证明：由于a-a 2，-P线性相关，则有不全为零的数和，的，%,使得kta 1，+k2cL 2+,+ksa S+攵廿=0由于向量组a i，ot2,，叫线性无关，可以推出左-21-因止匕：p=-（人01,+左2a 2+，+&*a s）k即P可由。1，。2,，a 5线性表示。5.知，a、是非齐次线性方程组Ax=匕的解，证明：a=Zha,是 1=1非齐次线性方程组Ar=b的解的充分必要条件为Z的=1/,=1证明：a=工加a，是非齐次线性方程组心=力的解 i=（s、s s=Aa=A Z 尤 a,=b o Z Aa=b,o 3=1、i=l,i=1 i=16.知a】a 2是非齐次线性方程组Ax=8的解，证明：aa 2是齐次线性方程组从=。的解。aa 2是齐次线性方程组儿=0的解。7.设阶方阵A满足A?-A 2石=0,证明：（1）证明矩阵A可逆；证明：/A2-A-2E=0 A（A 一 E）=2E n A-Ej=E A=A E（2）矩阵A-26与A+E不同时可逆证明：A?-A-2石=0 n（A+E）（A 一 E）=0 n A+E|A-E|=0n 4+=0或人一=0二人+与人一不同时可逆.8.设阶方阵人3满足不=AB_ b,证明A-E可逆，并求出其逆。证明：由T+5=A3得 A=（A-石）3从而有 A-E+E=（A-E）B所以（4-E）（B-E）=E于是A-E可逆，且（A-E）=B-E9若向量组a i,CC2，a 3线性无关，且b=a 1+也=。2+。3，。3=+。3试证明9邛2,03线性无关。-22-证明：kb +k2b2 4-k3b 3=k（Q+。2）+氏 2（。2+。3）+攵 3（&1+。3）=（41+女3）。1+（攵1+k2）a 2+（22+女3）3 二 01%+k3=0a i，a 2，a 3线性无关？Hi&2=。？M h=g=0D线性无关，七 k3=010.设a=（1,2,4,-2）,B=（2,-4,-1,2）试证明a+fB与a-p正交。证明 a+p=（3,-2,3,0）,a-p=（-1,6,5-4）故（a+p,a-p）=0