节二重积分的习题课.ppt

（二）二重积分的计算（二）二重积分的计算 1、直角坐标系中直角坐标系中(1)积分区域积分区域D的类型：的类型：X型区域，型区域，Y型区域型区域,一般区域分划。一般区域分划。o a b xyDyoxdc1 积分区域的不等式表示的是二重积分化为二积分区域的不等式表示的是二重积分化为二次积分确定积分限的基本依据。次积分确定积分限的基本依据。(2)积分顺序的确定积分顺序的确定 先积先积y还是先积还是先积x，要结合被积函数要结合被积函数f(x,y)及积及积分区域两个方面的特点加以考虑。分区域两个方面的特点加以考虑。如仅从积分区域的特点看，如仅从积分区域的特点看，D是是X 型区域时先型区域时先积积y；D是是Y 型区域先积型区域先积x。首先是首先是“能积出能积出”，其次是，其次是“易积出易积出”。D既是既是X 型区域又是型区域又是Y 型区域时型区域时,选定限时选定限时不需分块或分块较少的积分顺序。不需分块或分块较少的积分顺序。2o a b xyDyoxdc3(3)交换积分顺序交换积分顺序2、利用极坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分 由由所所给给的的二二次次积积分分的的顺顺序序及及积积分分限限，确确定定积积分分区区域域 D（画画出出图图形形），再再按按新新的的积积分分顺顺序序将将D用新的不等式表出，即定出新的积分限。用新的不等式表出，即定出新的积分限。(1)积分顺序通常是先积分顺序通常是先 r后后(2)D的极坐标表示的极坐标表示 4 如如D的的边边界界是是由由直直角角坐坐标标方方程程:y=f(x)给给出出，通通常常可可从从几几何何意意义义去去确确定定D的的极极坐坐标标表表示示（图图形形是是重重要要的的）或或利利用用x=rcos，y=rsin 进行变换。进行变换。OxDOxDoxD56（三）有关二重积分的对称性的应用（三）有关二重积分的对称性的应用1、若、若D关于关于y轴对称轴对称其中其中D1是是D的右半区域的右半区域 即当即当(x,y)D时，必有时，必有(x,y)D，则则72、若、若D关于关于x轴对称轴对称D1是是D的上半部分区域的上半部分区域 即即当当(x,y)D时时，必必有有(x,y)D，则则83、若、若D关于原点对称，关于原点对称，即即当当(x,y)D时时，必必有有(x,y)D，则则其中其中D1是是D的上半部分（或右半部分）区域。的上半部分（或右半部分）区域。9（四）有关二重积分的一些证明题（四）有关二重积分的一些证明题4、若、若D关于直线关于直线 y=x对称，对称，即当即当(x,y)D时，必有时，必有(y,x)D，则则 中值定理、变上限积分、换元等中值定理、变上限积分、换元等 10y12xo因为在因为在D2内部内部f(x,y)0;所以有所以有I3 I1 I2。在在D2外部外部f(x,y)01112解解 D的图形如下的图形如下,将将D分成分成三个部分区域。三个部分区域。1314例例4 计算下列二重积分计算下列二重积分解解 (1)D的图形如右。的图形如右。应先积应先积y15应先积应先积x16解解 积分区域积分区域D如图所示如图所示1718解解yo2ay=y(x)x1920例例7 计算下列二重积分计算下列二重积分 21D2aOaxy22D2aOaxy23DoxyR24DoxyR25 y=xy=xD关于关于x轴对称，被积函轴对称，被积函数关于数关于y为偶函数。为偶函数。用直线用直线y=x、y=x、y=0将将D分成四个小区域。分成四个小区域。D2D4D1D3o 1xy2126 y=xy=xD2D4D1D3o 1xy2127解解:利用对称性。利用对称性。D1D2 D1关于关于y轴对称轴对称 D2关于关于x轴对称轴对称作曲线作曲线y=x3，将区域将区域D分成两部分分成两部分D1 和和D2y 1 o 1 x 因因为为连连续续函函数数xsinyf(x2+y2)关关于于变变量量x、y分分别别都都是奇函数，是奇函数，x 关于变量关于变量x是奇函数，所以有是奇函数，所以有28D1D2y 1 o 1 x 293031证明证明 区域区域D如图所示。如图所示。将所给二次积分写成将所给二次积分写成二重积分二重积分，有有 再将所给的二次积分中再将所给的二次积分中x、y对换对换xyD32xyDD 33 也可借用也可借用原函数原函数证明：设证明：设F(x)是是f(x)的一个原的一个原函数，则函数，则34解解 积分区域如图积分区域如图xyD35xyD36证明证明 选择积分区域如右选择积分区域如右Dxy37例例13 设设f(x)是是0，1上上的的正正值值连连续续函函数数，且且单调减少，求证单调减少，求证证明证明 在题设条件下，在题设条件下，xy38将上式中的将上式中的x、y对换，有对换，有xy由于由于f(x)单调减且正值，知有单调减且正值，知有所以所以I 0，即，即(1)式成立。式成立。39又又因为因为D关于直线关于直线y=x对称，于是有对称，于是有4041