2019全国一卷文科数学试卷.doc

2019.6
2019年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设，则
A. 2 B. C. D. 1
2. 已知集合，则
A. B. C. D.
3. 已知，则
A. B. C. D.
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底长度之比是
（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如
此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105 cm，头顶至脖子下端的长度为
26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5. 函数的图像大致为

A. B.

C. D.

6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…,1000，从这些新生中用系统抽 样方法等距抽取100名学生进行体质测验。若46号学生被抽到，则下面4名学生被抽到的是
A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生
7.
A. B. C. D.
8. 已知非零向量a，b满足|a| = 2|b|，且(a - b)b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
9. 右图是求的程序框图，图中空白框应填入
A.
B.
C.
D.
10. 双曲线的一条渐近线的倾斜角
为，则C的离心率为
A. B. C. D.
11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A、B两点，若，，则C的方程为
A. B. C. D.
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线在点(0,0)处的切线方程为______________。
14. 记Sn为等比数列的前n项和，若，则_____________。
15. 函数的最小值为__________。
16. 已知，P为平面ABC外一点，PC = 2，点P到两边AC、BC的距离均为， 那么P到平面ABC的距离为__________。
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12分）

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出 满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2） 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：

18. （12分）
记Sn为等差数列的前n项和，已知。
（1） 若，求的通项公式；
（2） 若，求使得的n的取值范围。

A
D
B
E
C
N
A1
B1
D1
C1
M

19. （12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1 = 4，AB = 2，，E、M、N分别
是BC、BB1、A1D的中点。
（1） 证明：MN // 平面C1DE；
（2） 求点C到平面C1DE的距离。

20. （12分）
已知函数。
（1） 证明：在区间存在唯一零点；
（2） 若时，，求a的取值范围。

21. （12分）
已知点A、B关于坐标原点O对称，|AB| = 4，过点A、B且与直线x + 2 = 0相切。
（1） 若A在直线x + y = 0上，求的半径；
（2） 是否存在定点P，使得当A运动时，|MA| - |MP|为定值？并说明理由。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为。以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
（1） 求C和l的直角坐标方程；
（2） 求C上的点到l距离的最小值。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a、b、c为正数，且满足abc = 1。证明：
（1）
（2）
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