2019年全国一卷理科数学试卷.doc

2019.6
2019年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合，则
A. B.
C. D.
2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x,y)，则
A. B. C. D.
3. 已知，则
A. B. C. D.
4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底长度之比是
（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如
此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105 cm，头顶至脖子下端的长度为
26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
5. 函数的图像大致为

A. B.

C. D.

6. 我国古代典籍《周易》用卦描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个
爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. B. C. D.
7. 已知非零向量a，b满足|a| = 2|b|，且(a - b)b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
8. 右图是求的程序框图，图中空白框应填入
A.
B.
C.
D.
9. 记Sn为等差数列的前n项和。已知S4 = 0，= 5，则
A. B.
C. D.
10. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A、B两点，若，，则C的方程为
A. B. C. D.
11. 关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间单调递增
③在有4个零点 ④的最大值为2
A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
12. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA = PB = PC，是边长为2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，，则球O的体积为
A. B. C. D.
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 曲线在点(0,0)处的切线方程为______________。
14. 记Sn为等比数列的前n项和，若，则_____________。
15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6， 客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是__________。
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近 线分别交于A、B两点，若，，则C的离心率为____________。
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一） 必考题：共60分。
17. （12分）
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设。
（1） 求A；
（2） 若

A
D
B
E
C
N
A1
B1
D1
C1
M

18. （12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1 = 4，AB = 2，，E、M、N分别
是BC、BB1、A1D的中点。
（1） 证明：MN // 平面C1DE；
（2） 求二面角A-MA1-N的正弦值。

19. （12分）
已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A、B，与x轴的交点为P。
（1） 若，求l的方程；
（2） 若。

20. （12分）
已知函数。证明：
（1） 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点。

21. （12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验 方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另 一只施以乙药，一轮的治疗效果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种 药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定： 对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 -1分； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 -1分；若都治愈或都未 治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为，一轮试验中甲药的得分记为X。
（1） 求X的分布列；
（2） 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最 终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中 。假设。
（i） 证明：为等比数列；
（ii） 求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为。以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
（1） 求C和l的直角坐标方程；
（2） 求C上的点到l距离的最小值。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a、b、c为正数，且满足abc = 1。证明：
（1）
（2）
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