2019年高考数学全国一卷导数.doc

已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
分析：（1）设，则，在存在唯一极大值点的问题就转化为在有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。
（2） 这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即
。
首先来画一下函数图象。

从图象上可以大致确定零点一个为一个在区间上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。
解：（1）设，则，
.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
（2） 的定义域为.
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而，在没有零点.
（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点.