初二四边形综合提高练习题(附详解).doc

初二四边形综合提高练习题（附详解）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求AB,AC的长；
（2）求证：AE=DF；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC=,求菱形ABCD的面积．

3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D.
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．
（1）求证：DE⊥DM；
（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

5．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．
（1）求两个正方形重叠部分的面积；
（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．

6．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（备注：在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
（1）求证：AE=EF．
（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点 ”其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由．

8．已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上， O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．
（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，
①直线 AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．
②□OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．
③四边形AECG是否可以形成菱形？ 如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．
（2）在点A、C移动的过程中，若点B不在x轴上，且当□OABC为正方形时，直接写出点C的坐标．

9．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求AE的长；
（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

试卷第3页，总3页

参考答案
1．（1）AB=5，AC=10.（2）证明见解析；（3）能，当t=时，四边形AEFD为菱形．（4）当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形.
【解析】（1）设AB=x,则AC=2x.由勾股定理得，(2x)2-x2=(5)2,得x=5，故AB=5，AC=10.
（2）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．
（3）能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=5，∴AC=10．∴AD=AC-DC=10-2t．若使□AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=.即当t=时，四边形AEFD为菱形．
（4）①∠EDF=90°时，10-2t=2t，t=．②∠DEF=90°时，10-2t=t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．故当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形.
2．（1）证明见解析；（2）菱形ABCD的面积为
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB∥CD.；
又∵BE=AB， ∴BE=CD.
∵BE∥CD, ∴四边形BECD是平行四边形.
（2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD∥CE.
∴∠ABO=∠E=60°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD,OA=OC. ∴∠BOA=90°，
∴∠BAO=30°.
∵AC=, ∴OA=OC=. ∴OB=OD=2. ∴BD=4.
∴菱形ABCD的面积=
3．（1）证明见解析；（2）－2
试题解析：
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF， ∴BE=CF．
（2）∵四边形ABDF是菱形， ∴AB∥DF， ∴∠ACF＝∠BAC＝45°．
∵AC=AF， ∴∠CAF＝90°，即△ACF是以CF为斜边的等腰直角三角形， ∴CF＝．
又∵DF=AB＝2， ∴CD＝－2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
4．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，
在△DCE和△MDA中，， ∴△DCE≌△MDA（SAS）， ∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．
又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠MDA=90°， ∴DE⊥DM；
（2）解：四边形CENF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD．
∵BF=AM， ∴MF=AF+AM=AF+BF=AB， 即MF=CD，
又∵F在AB上，点M在BA的延长线上， ∴MF∥CD， ∴四边形CFMD是平行四边形，
∴DM=CF，DM∥CF，
∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM， ∴四边形DENM都是矩形， ∴EN=DM，EN∥DM，
∴CF=EN，CF∥EN， ∴四边形CENF为平行四边形．
5．（1）1；（2）
解：解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
∵BO⊥AC， ∴∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°， ∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，， ∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF， 又S△AOE=S△BOF
∴S两个正方形重叠部分=SABO=S正方形ABCD=×4=1；
（2）如图，

∵正方形的面积为4， ∴AD=AB=2，
∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，
∴C1F=OC1=1，AG=1 ∴C1G=3，
根据勾股定理，得AC1=．
6．（1）、证明见解析；（2）、t=10；（3）、t=或12，理由见解析.
试题解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB=AC=×60=30cm
∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t ∴DF=AE
（2）、能。
∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10
∴当t=10时，AEFD是菱形
（3）、若△DEF为直角三角形，有两种情况：
①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。
②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形
试题解析：
（1）证明：取AB的中点G，连接EG
∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°
∵点E是边BC的中点 ∴AM=EC=BE ∴∠BGE=∠BEG=45°
∴∠AGE=135°，
∵CF平分∠DCG， ∴∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°－∠FCG=135°， ∴∠AGE=∠ECF
∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∵∠AEB+∠GAE=90°， ∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，∠GAE=∠CEF，AG=CE，∠AGE=∠ECF∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF
（2）证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，
∴BM=BE∴∠BME=45°∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分线， ∴∠DCF = 45°. ∴∠ECF = 135°.
∴∠AME = ∠ECF .
∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°, ∴∠BAE = ∠CEF.
∴△AME ≌ △ECF（ASA). ∴AE=EF.
8．（1）①是，定点（3，0），②可以，12，③可以，3；（2）（4，2）或（4，-2）
试题解析：（1）①根据题意得：∠ADO=∠CFB=90°， 
∵四边形ABCD是平行四边形，  ∴OA∥BC，OA=BC，  ∴∠AOD=∠CBF， 
在△AOD和△CBF中， ∴△AOD≌△CBE（AAS），  ∴OD=BE=2
∴OB的中点坐标为（3，0） ∴直线 AC是经过一个定点（3，0）
②可以
易证∠OCF=∠CBF，得∠OCB=90°，由OABC是平行四边形得OABC是矩形，
在RtΔOCB中，CF2=BF×OF=2×4=8 ∴CF=
∴SΔOCB=×6×= ∴S矩形OABC=
③可以，3 （2）（4，2）或（4，-2）
9．(1)5；(2)6或；(3).
试题解析：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4， ∴CD=AB=9，∠D=90°， ∴DE=9﹣6=3，
∴AE==5；
（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，， 解得t=．
综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形；
（3）假设存在．
∵EA平分∠PED， ∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP， ∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA， ∴， 解得t=．
∴满足条件的t存在，此时t=.
考点：四边形综合题．
答案第3页，总4页