基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究.pdf

第 卷第 期 年 月系统工程与电子技术 文章编号：（）网址：收稿日期：；修回日期：；网络优先出版日期：。网络优先出版地址：基金项目：国家自然科学基金（，）资助课题通讯作者引用格式：朱天高，刘勇，李开龙，等基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究系统工程与电子技术，（）：犚犲 犳 犲 狉 犲 狀 犮 犲犳 狅 狉犿犪 狋：，（）：基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究朱天高，刘勇，李开龙，赵仁杰（海军工程大学电气工程学院，湖北 武汉 ；海军工程大学舰船与海洋学院，湖北 武汉 ；海装驻北京地区军事代表局，北京 ）摘要：惯导姿态、速度状态量同时纳入一个群中，且按照误差的两种定义可构成李群左误差模型和右误差模型。针对基于欧拉角的两种李群误差模型进行了比较研究，分析了两种李群误差模型的差异。针对捷联惯性导航系统（，）全球定位系统（，）和 多普勒计程仪（，）两种典型组合导航系统应用，提出合适的误差模型选择方案。车载和船载实验结果表明，两种李群误差模型分别更适用于 和 组合导航系统，尤其是在大失准角条件下效果更为显著，两种李群误差模型具有更好的定位精度、收敛速度和稳定性。关键词：捷联惯导系统；组合导航；误差模型；李群；欧拉角中图分类号：文献标志码：犇犗犐：犃狀 犪 犾 狔 狊 犻 狊犪 狀 犱犮 狅犿狆 犪 狉 犻 狊 狅 狀狅 犳犈狌 犾 犲 狉犪 狀 犵 犾 犲 狊犫 犪 狊 犲 犱 犲 狉 狉 狅 狉犿狅 犱 犲 犾犫 犪 狊 犲 犱狅 狀犔 犻 犲犵 狉 狅 狌 狆 狊狅 犳狋 犺 犲狊 狋 狉 犪 狆 犱 狅狑狀犻 狀 犲 狉 狋 犻 犪 犾狀 犪 狏 犻 犵 犪 狋 犻 狅 狀狊 狔 狊 狋 犲犿 ，（犆狅 犾 犾 犲 犵 犲狅 犳犈 犾 犲 犮 狋 狉 犻 犮 犪 犾犈狀犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀犵，犖犪 狏 犪 犾犝狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔狅 犳犈狀犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀犵，犠狌 犺 犪 狀 ，犆犺 犻 狀 犪；犆狅 犾 犾 犲 犵 犲狅 犳犛犺 犻 狆犪 狀犱犗犮 犲 犪 狀，犖犪 狏 犪 犾犝狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔狅 犳犈狀犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀犵，犠狌 犺 犪 狀 ，犆犺 犻 狀 犪；犚犲 狆 狉 犲 狊 犲 狀 狋 犪 狋 犻 狏 犲犅狌 狉 犲 犪 狌狅 犳犖犪 狏 犪 犾犃狉犿犪犿犲 狀 狋犇犲 狆犪 狉 狋犿犲 狀 狋犻 狀犅犲 犻 犼 犻 狀犵，犅犲 犻 犼 犻 狀犵 ，犆犺 犻 狀 犪）犃犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋：，（）（）（），犓犲 狔狑狅 狉 犱 狊：（）；引言以捷联惯导系统（，）为核心，其他定位系统（全球定位系统（，）、多普勒计程仪（，）等，为辅助信息源，实时修正构成捷联惯性基组合导航系统。对于捷联惯性基组合导航系统，组合导航模型的构建是最为核心的部分之一。组合导航模型主要分为基 系统工程与电子技术第 卷本模型和误差模型，一般采用误差模型进行组合导航。误差模型的选取对于组合导航性能的影响极大，因此如何构建合适的误差模型至关重要 。近年来，李群这一数学模型被引入惯导误差模型的构建，引起众多学者的关注 。在传统误差定义中，姿态误差定义在特殊正交群（，（），而其他状态误差均定义于欧式空间中 。若将姿态、速度状态量引入一个群中，可构成特殊欧式群（，（），从而构建新的误差模型 。在构建误差模型时，根据误差定义的不同，可分为左乘和右乘，对于观测量也存在左不变与右不变之分 。因此，如何针对不同的观测量选取相对应的误差模型，是实现高精度组合导航的关键所在。文献 提出载体系四元数误差模型，并证明该误差模型更适用于 组合导航。文献 提出基于欧拉角的李群左误差模型和右误差模型，证明将左误差模型应用于 组合导航的效果更佳。文献 提出地球系下的李群左误差模型和右误差模型，进行 与（）两种组合导航实验，对误差模型的选取提出了有效的方法。以上对于误差模型的应用选择均取得诸多成果，但针对基于欧拉角的两种李群误差模型的选取和适用差异性等的研究还十分缺乏。基于此，本文以 和 两种典型组合导航应用为研究对象，通过车载实验与船载实验探究李群左、右误差模型的适用性能差异，为不同应用场景的误差模型选取提供了有益的思考。李群模型定义坐标系如下：记地心惯性坐标系为犻系，地球坐标系为犲系，选择“右 前 上“载体坐标系为犫系，计算载体坐标系为犫 系，“东 北 天”地理坐标系为导航坐标系，记为狀系，计算导航坐标系为狀 系。李群与李代数李群是指具有连续（光滑）性质的群，每个李群对应一个李代数 。特殊正交群和特殊欧式群由矩阵乘法分别与旋转矩阵集合和变换矩阵集合组合，主要用来描述刚体运动，分别用（）和（）表示：（）犚（）犚犚犐，（犚）（）（）犜犚 狋 犚犚（），狋犚烅烄烆烍烌烎（）式中：犚为旋转矩阵；狋为平移向量。（）的逆矩阵为犜犚 狋 犚犚狋（）（）李代数位于向量空间，是李群对应一种结构。（）和（）对应的李代数分别为（）犚，（）犚（）（）犚（），犚（）（）犚烅烄烆烍烌烎（）式中：（）表示反对称矩阵；为三维的旋转向量；为三维的平移向量。李群与李代数之间的转换可通过映射实现，（）和（）的映射关系如下：（）（）犑 狏（）式中：表示矩阵映射，犑表示（）的雅可比矩阵，表示如下：犑 犐（）犪 犪（）（犪）（）式中：犪表示单位向量。李群捷联惯导更新模型导航坐标系下（）空间中捷联惯导更新方程为犆狀犫犆狀犫（犫犻 犫）（狀犻 狀）犆狀犫（）狏狀犆狀犫犳犫犻 犫（狀犻 犲狀犲 狀）狏狀犵狀（）狆犕狆 狏狏狀（）犕狆 狏（犚犕犺）犔（犚犖犺）熿燀燄燅（）式中：犆狀犫为由犫系到狀系的方向余弦矩阵，犫犻 犫为计算惯性器件误差的陀螺输出量；狀犻 狀狀犻 犲狀犲 狀表示导航系下运动角速度，由地球自转和载体线性运动引起，狀犻 犲为由导航系下地球自转角速度，狀犲 狀为由载体运动引起的牵连角速度。犳犫犻 犫表示比力，犵狀为重力加速度，狏狀狏狀犲，狏狀狀，狏狀狌表示狀系下速度，狆犔，犺表示载体位置（纬度、经度和高度），犚犕和犚犖分别表示地球子午圈和卯酉圈曲率半径。同时，将姿态矩阵犆狀犫与速度狏狀纳入李群中，则可构成李群状态量犆狀犫狏狀（）（）对式（）求逆，可得其逆矩阵为犆犫狀犆犫狀狏狀（）（）李群状态误差模型根据误差定义的不同，误差模型可分为左误差模型和右误差模型，即和。本节详细推导两种误差模型，并分析其特点和差异。李群右误差模型李群右误差定义为第 期朱天高等：基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究 狉犆狀犫犆犫狀狏狀犆狀犫犆犫狀狏狀熿燀燄燅犪狉狏狉（）（）式中：犆犫狀和狏狀为含误差的导航参数，由惯导解算所得。犪狉和狏狉为新定义的右误差模型中的姿态和速度误差。设狉为右误差模型的失准角误差，当狉取极小值时，根据李群和李代数之间关系可得 犪狉犆狀犫犆犫狀 （狉）犐（狉）（）狏狉狏狀犆狀犫犆犫狀狏狀 狏狀（狏狀）狉（）式中：狏狀狏狀狏狀。分别对式（）、式（）求导，可得右误差模型的姿态和速度误差微分方程为狉狀犻 狀狉 狀犻 狀犆狀犫犫犻 犫犖（狏狀）狀犻 狀狉犖狏狉（犖犖）狆狉犆狀犫犫犻 犫（）狏狉（狏狀）（狀犻 犲）（犵狀）狉（狀犻 犲狀犲 狀）狏狉（狏狀）犖 狆狉（狏狀）犆狀犫犫犻 犫犆狀犫 犳犫犻 犫（）右误差位置误差微分方程为 狆狉犖狉 狏（狏狀）狉犖狉 狏狏狉犖狉 狉 狆狉（）式中：犖 犻 犲 犔 犻 犲 犔熿燀燄燅 犖犚犕犺犚犖犺 犔犚犖犺熿燀燄燅犖狏狀犖（犚犕犺）狏狀犈（犚犖犺）狏狀犈（犚犖犺）犔 狏狀犈 犔（犚犖犺）熿燀燄燅犖狉 狉狏狀犖（犚犕犺）狏狀犈 犔（犚犖犺）犔 狏狀犈（犚犖犺）犔熿燀燄燅犖狉 狏犚犕犺（犚犖犺）犔熿燀燄燅对于惯性传感器而言，如果只考虑常值漂移与随机游走噪声，则有 犫犻 犫犫犵（）犳犫犻 犫犫犫（）式中：犫为陀螺常值漂移误差；犫为加速度计常值漂移误差；犵和犫分别为对应的白噪声。定义右误差模型状态误差为犱狓狉狉狏狉 狆狉犫犫（）由式（）式（）可得基于欧拉角的李群右误差模型在导航系下的状态误差方程为犱狓狉犉狉犱狓狉犌狉犫（）式中：犉狉为系统矩阵；犌狉为噪声转移矩阵；犫为过程噪声向量，它们的表达式分别如下：犉狉犖（狏狀）狀犻 狀犖（犖犖）犆狀犫（狏狀）（狀犻 犲）（犵狀）（狀犻 犲狀犲 狀）（狏狀）犖（狏狀）犆狀犫犆狀犫犖狉 狏（狏狀）犖狉 狏犖狉 狉熿燀燄燅（）犌狉犆狀犫（狏狀）犆狀犫犆狀犫熿燀燄燅（）李群左误差模型李群左误差定义为犾犆犫狀犆狀犫犆犫狀（狏狀狏狀）熿燀燄燅犪犾狏犾（）（）式中：犪犾和狏犾为新定义的左误差模型中的姿态和速度误差。设犾为左误差模型的失准角误差，当犾取极小值时犪犾犆犫狀犆狀犫 （犾）犐（犾）（）狏狉（狏狀狏狀）犆犫狀 狏狀（）式中：狏狀狏狀狏狀。分别对式（）、式（）求导，可得左误差模型的姿态和速度误差微分方程为犾犫犻 犫犾 犫犻 犫犆犫狀狀犻 狀犫犻 犫犾犆犫狀犖犆狀犫狏犾犆犫狀（犖犖）狆犾 犫犻 犫（）狏犾珘犳犫犻 犫犾（犆犫狀（狏狀）犖犆狀犫（犫犻 犫）犆犫狀（狀犻 犲）犆狀犫）狏犾犆犫狀（狏狀）（犖犖）狆犾 犳犫犻 犫（）左误差模型位置误差微分方程为 狆犾犖狉 狏犆狀犫狏狉犖狉 狏 狆犾（）定义左误差模型状态误差方程为犱狓犾犉犾犱狓犾犌犾犫（）式中：犉犾和犌犾的表达式分别为 系统工程与电子技术第 卷犉犾（犫犻 犫）犆犫狀犖犆狀犫犆犫狀（犖犖）犐（珟犳犫犻 犫）（犆犫狀（狏狀）犖犆狀犫（犫犻 犫）犆犫狀（狀犻 犲）犆狀犫）犆犫狀（狏狀）（犖犖）犐犖狉 狏犆狀犫犖狉 狏熿燀燄燅（）犌狉犐犐熿燀燄燅（）实验验证 李群误差模型分析与比较在实际应用中，误差模型的选择可以根据观测值的“不变”类型来确定，“不变”观测值有以下两种定义 ：“左不变”观测：狔 犫（）“右不变”观测：狔犫（）式中：犫是一个常值向量。若观测量满足式（）“左不变”观测条件，则在组合导航模型中应用状态左误差模型会更有利，反之，如果观测量满足式（）“右不变“观测条件，则在组合导航模型中应用状态右误差模型会更有利。对于 组合系统，可以提供导航系下的速度狏狀和位置狆的观测信息。若选用速度和位置观测狔狏狀狆，可以写成如下形式：狏狀狆 熿燀燄燅 犆狀犫狏狀狆 熿燀燄燅 熿燀燄燅犫狏犫狆（）式中：犫狏和犫狆均为常值向量，速度和位置观测满足左不变观测定义。因此，提供的观测信息属于左不变观测。对于 组合导航系统，可以提供载体系下的速度狏犫的观测信息。若选用速度观测狔狏犫，可以写成以下形式：狏犫熿燀燄燅犆狀犫犆狀犫狏狀犆狀犫狆熿燀燄燅熿燀燄燅犫 狏（）式中：犫 狏为常值向量，速度观测满足右不变观测定义。因此，提供的观测信息属于右不变观测。此外，组合导航关注的重点在于姿态，也可以从姿态误差定义角度来进行讨论。左、右误差模型姿态误差定义分别为犾犆犫狀犆狀犫犆犫狀（狏狀狏狀）熿燀燄燅（）狉犆狀犫犆犫狀狏狀犆狀犫犆犫狀狏狀熿燀燄燅（）观察左、右误差模型中的姿态表示部分，可以看出，右误差为犆狀犫犆犫狀，左误差为犆犫狀犆狀犫。根据矩阵的链式法则，分析可得：在状态右误差模型中，姿态误差是存在于导航系下的，姿态部分可以表示为犆狀犫犆犫狀，而在状态左误差模型中，姿态误差是存在于载体系下的，姿态部分可以表示为犆犫 狀犆狀犫。结合不变观测理论和观测值模型分析可知，在 组合导航模型中，提供的是导航系下的速度和位置信息，该模型的姿态误差主要存在于载体系下，因而对应使用状态左误差模型的效果要优于使用右误差模型的效果。在 组合导航模型中，提供的是载体系下的速度信息，模型姿态误差主要存在于导航系下，因而对应使用状态右误差模型的效果优于左误差模型的使用效果。综上分析，和 分别对于状态左误差模型和状态右误差模型效果最佳。下面通过跑车和跑船实验，利用实测数据比较两种状态误差模型的组合导航效果，验证实验结果是否与本节理论分析一致。犛 犐 犖犛犌犘 犛组合导航实验本节开展实验验证，主要对基于欧拉角的李群状态左误差模型、李群状态右误差模型以及传统误差模型进行对比分析。为方便后续描述，将这种模型分别记为 、和 ，状态量的具体表示分别如下：狓犾狏犾 狆犾犫犫（）狓狉狏狉 狆狉犫犫（）狓 狏狀 狆 犫犫（）对于 组合导航系统，上文已给出姿态、速度和位置误差微分方程。量测量选择速度和位置，则种模型的量测矩阵分别为犎犾犆狀犫犆狀犫熿燀燄燅（）犎狉狏狀犐犐熿燀燄燅（）犎犐犐（）根据状态误差模型不同，反馈校正也有所差别，表达式分别如下：犆狀犫，犆狀犫 （犾）狏狀 狏狀犆狀犫狏犾狆 狆 狆烅烄烆犾（）第 期朱天高等：基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究 犆狀犫，（狉）犆狀犫狏狀 狏狀（狏狀）狉狏狉狆 狆 狆烅烄烆狉（）犆狀犫，（）犆狀犫狏狀 狏狀 狏狀狆 狆烅烄烆狆（）下面进行车载实验，对误差模型进行对比分析。微电子机械系统（，）车载实验平台主要包括（）、接收机以及高精度的作为参考系统的光纤惯导，实验一共持续 。的性能指标如表所示，接收机的速度精度小于，位置精度小于，采样频率为。组合导航系统采用速度和位置作为观测量，实验过程全程都能够较好地接收信号。表犕犈犕犛性能指标犜 犪 犫 犾 犲犛 狆 犲 犮 犻 犳 犻 犮 犪 狋 犻 狅 狀 狊狅 犳犕犈犕犛参数陀螺仪加速度计测量范围 犵更新频率 精度等级 犵首先设置初始失准角为 和 进行组合导航实验，由于实验过程采用速度和位置作为观测量，因此重点比较姿态量的估计结果。图和图是姿态估计误差结果。由图可知，种模型的姿态失准角均可收敛至较小范围，但在不同失准角条件下，种模型的航向角估计误差有一定变化，纵倾角和横滚角估计误差仍几乎重合。因此，在小失准角条件下，种误差模型均适用。图 姿态估计误差 图 姿态估计误差 接下来设置初始失准角为 、以及 ，进行组合导航实验。由上述实验可知，种误差模型的纵倾角和横滚角的估计差别不大，故而重点关注航向角姿态估计。图图为航向角估计误差。观察图可知，相比于 模型，模型和 模型在大失准角条件下有较大优势，可快速收敛到较小误差。尤其是从图和图可知，模型的航向角估计误差最小也是在 以上，已无法进行组合导航，而 模型和 模型航向角估计误差仍可收敛到 以下，且误差曲线波动较小，可进行高精度稳定的组合导航。相比于 模型，模型的姿态估计效果整体更优，精度更高，收敛速度更快，误差曲线波动更小。实验结果表明，基于李群的误差模型的姿态估计效果优于常规的线性误差模型，模型整体优于 模型，此实验结果与上文 组合导航中左误差模型要优于右误差模型的理论分析保持一致。图 航向角估计误差 系统工程与电子技术第 卷图 航向角估计误差 图 航向角估计误差 图 航向角估计误差 犛 犐 犖犛犇犞犔组合导航实验对于 组合导航系统，选取速度作为量测量，由于需考虑的刻度系数因子，则 、种误差模型的状态量分别具体表示如下：狓犾狏犾 狆犾犫犫犓（）狓狉狏狉 狆狉犫犫犓（）狓 狏狀 狆 犫犫犓（）则种模型的量测模型分别为狕犾（狏狀）犾犆狀犫狏犾狏狀犓犇狕狉狏狉狏狀犓犇狕（狏狀）狏狀狏狀犓烅烄烆犇（）下面通过船载实验对李群左、右误差模型进行对比分析。实验数据是从一套安装有惯性测量单元（，）和的船载实验系统中采集得到的。表和表分别为和的主要性能指标。实验船上同时安装了一个单天线的接收机，用于接收数据，输出速度和位置信息，其数据更新率为。利用输出数据和输出数据进行组合导航，生成参考姿态、速度和位置信息，分别作为实验中的姿态、速度和位置参考基准。船载试验在长江中进行，实验系统开机后 内保持系泊状态，然后试验船开始航行，航行时间大约为。记录整个运动过程中的和的原始数据以及输出的速度和位置数据。本文选取其中 船载实测数据用于组合导航仿真实验验证。表犐犕犝性能指标犜 犪 犫 犾 犲犛 狆 犲 犮 犻 犳 犻 犮 犪 狋 犻 狅 狀 狊狅 犳犐犕犝参数陀螺仪加速度计测量范围 犵更新频率 精度等级 犵标度因数重复性 表犇犞犔性能指标犜 犪 犫 犾 犲犛 狆 犲 犮 犻 犳 犻 犮 犪 狋 犻 狅 狀 狊狅 犳犇犞犔参数测速精度（）测速范围（）更新频率底跟踪深度 本实验首先在初始失准角条件下进行组合导航实验，种误差模型的差别较小，限于篇幅原因在此不予以展示。下面主要介绍初始失准角为 时进行的组合导航实验。姿态估计误差如图图所示，种误差模型的姿态误差估计相差较小，最终均可收敛至较小且保持稳定。第 期朱天高等：基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究 图纵倾角估计误差 图横滚角估计误差 图航向角估计误差 对于 组合导航而言，只有速度输出，因此速度和位置的估计精度是非常重要的导航参数指标。图 和图 为东向速度误差和北向速度误差，对于东向速度误差，模型的误差最大，模型和 模型的误差较小。对于北向速度误差，种模型相差不大，基本保持一致，由此可以看出 模型和 模型要优于 模型。图 和图 分别为纬度误差和经度误差，图 为轨迹对比图。由图可知，模型纬度误差最小，模型纬度误差次之，模型纬度误差最大。而对于经度误差，模型则要优于 模型和 模型。通过图 中的轨迹对比可发现，模型和 模型明显优于 模型，模型则要略微优于 模型。因此，由实验结果可以得出，模型最佳，模型稍次之，模型最差。故而对于 组合导航系统，模型为最佳组合导航方式，与上文右误差模型最适合 组合导航系统的理论分析取得了相互印证。图 东向速度误差 图 北向速度误差 图 纬度误差 系统工程与电子技术第 卷图 经度误差 图 轨迹对比 结论本文对基于欧拉角的两种李群误差模型进行了比较研究，提出了针对 和 两种典型的组合导航应用的误差模型选择方案，并对该方案进行了理论分析。通过车载实验和船载实验验证了本文提出的误差模型选择方案的有效性。实验结果表明，李群左误差模型和右误差模型分别更适用于 和 组合导航系统，分别具备更好的定位效果。本文所提方案在实际组合导航系统的误差模型选择上具有较大的优势，具有良好的工程应用价值，同时也为其他组合导航模型的构建拓宽了思路。参考文献赵仁杰，李开龙，胡柏青，等基于改进四元数阻尼误差模型的 初始对准算法系统工程与电子技术，（）：，（）：严恭敏捷联惯导算法与组合导航原理西安：西北工业大学出版社，：，（）：，：，（）：，（）：，：，：，：，：，（）：，：，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：毛玉良，陈家斌，宋春雷，等捷联惯导姿态误差模型分析中国惯性技术学报，（）：，（）：第 期朱天高等：基于欧拉角的李群捷联惯导误差模型分析与比较研究 ，（）：（），（）：，蒋宁基于李群描述的捷联惯性导航系统研究北京：北京工业大学，：，廖涛涛，敬忠良，李哲，等基于李群的视觉惯性自适应组合导航算法信息与控制，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，：一组 跑车数据 ：作者简介朱天高（），男，硕士研究生，主要研究方向为惯性导航技术及应用。刘勇（），男，教授，硕士，主要研究方向为组合导航与智能化测控系统。李开龙（），男，讲师，博士，主要研究方向为惯性技术及应用。赵仁杰（），男，助理工程师，硕士，主要研究方向为惯性技术及应用。