--2012年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案).doc

2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当时，函数的最大值为__18___.
2、在中，已知则___4____.
3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为________.
5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_______.
6、已知是正实数，的取值范围是________.
7、在四面体中，,,该四面体的体积为____________.
8、已知等差数列和等比数列满足：则______.（）
9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在中，角对应的边分别为，证明：
（1）
（2）

12、已知为实数，，函数.若.
（1）求实数；
（2）求函数的单调区间；
（3）若实数满足，求证：

13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.

14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．已知集合N，且N，则 1 ．
2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则．
3．函数的值域为．
4．已知，，则．
5．已知数列满足：为正整数，

如果，则 5 ．
6．在△中，角的对边长满足，且，则．
7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．
8．设是方程的三个根，则的值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以，得，
所以 ． ------------------------------------------4分
令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分
所以,即 . ------------------------------------------12分
于是，当时,

，
因此, ------------------------------------------16分

10．已知正实数满足，且，求的最小值．
解 令，，则
．----------------------------------------5分
令 ，则 ，且．------------------------------10分
于是
． ------------------------------15分
因为函数在上单调递减，所以．
因此，的最小值为． ------------------------------------------20分

11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围．
解 ．
由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增. ------------------------------------------5分
（1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．
在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．
结合得． ------------------------------------------10分
（2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.
在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．
易知，所以不符合． ------------------------------------------15分
综上可知：的取值范围为． ------------------------------------------20分
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为________________．
2．已知，，则_______________．
3．已知数列满足：为正整数，如果，则 ．
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 ．
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为_______________．
7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为_______________．
8．设表示不超过的最大整数，则 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．

10．已知正实数满足，且，求的取值范围．

11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
（1）当且时，求△的面积的最小值；
（2）若（为常数），证明：直线过定点．

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．函数的值域为．
2．已知，，则．
3．已知数列满足：为正整数，

如果，则 5 ．
4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 185 ．
5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．
6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．
7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为．
8．设表示不超过的最大整数，则 2012 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以，得，
所以 ． ------------------------------------------4分
令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以. ------------------------------------------8分
所以,即 . ------------------------------------------12分
于是，当时,

，
因此, ------------------------------------------16分

10．已知正实数满足，且，求的取值范围．
解 令，，则
．----------------------------------------5分
令 ，则 ，且．------------------------------10分
于是
． ------------------------------15分
因为函数在上单调递减，所以．
又，所以． --------------------------------------20分

11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．
（1）当且时，求△的面积的最小值；
（2）若（为常数），证明：直线过定点．
解 所在直线的方程为，其中，代入中，得
，
设，则有，从而
．
则．
所在直线的方程为，其中，同理可得．
------------------------------------------5分
（1）当时，，，，，．
又，故，于是△的面积

，
当且仅当时等号成立．
所以，△的面积的最小值为. ------------------------------------------10分
（2），
所在直线的方程为，
即． ------------------------------------------15分
又，即，代入上式，得，
即 ．
当时，有，即为方程的一组解，
所以直线恒过定点． ------------------------------------------20分

2012年上海市高中数学竞赛
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .

2.已知正整数满足: ,则的最小可能值是 .

3.若，,
，则 .
4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 .

5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则 .

6．方程的非负整数解 .

7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）
8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 .

二、解答题
9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．
求的表达式，并写出x的取值范围．

10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值．

11．（本题满分16分）正实数满足，求证：
（1）；
（2）．

12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：
（a） ；
（b） A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．
（1）求的值；
（2）求证：．

2012年上海市高中数学竞赛答案
1、 2、92
3、11 4、
5、 6、
7、 8、4025
9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
． ①
…………………（2分）
在△OBC中，由余弦定理
，
所以 ， ②
由①，②得 ． ③
…………………（5分）
所以
，
故 ，
所以 ． …………………（10分）
由③可得，，故．
因为，结合②，③可得
，
解得（结合） ．
综上所述，，． …………………（14分）
10．解 ．
当时，，此时
，
且当时不等式等号成立，故．
…………………（6分）
当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时
．
综上所述， …………………（14分）
11．证 （1）记，由平均不等式
．
…………………（4分）
于是 ，
所以 ，
而，所以，即，从而
． …………………（10分）
（2）又因为
，
所以 ，
故 ． …………………（16分）
12．解 （1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故．
又
都不满足 （b），故．
而集合满足（a），（b），所以．
…………………（6分）
（2）首先证明
． ①
事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为．
令，由于，故．
又，所以，集合，且B满足（a），（b）．从而
． …………………（10分）
其次证明：
． ②
事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为．令
，
由于 ，
所以，且．而
，
，
从而B满足（a），（b），于是
． …………………（14分）
由①，②得 ． ③
反复利用②，③可得

． …………………（16分）

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合，，则=（ ）
A、 B、 C、 D 、
2、正方体中与截面所成的角是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知，，
则“”是“在上恒成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，
设,，则=（ ）
A 、 B 、 C、 D 、2
5、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）
A 、 B 、 C、 D 、
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A、 B、 C、 D、

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、如图，正方形的边长为3，为的
中点，与相交于，则的值是 ．
8、的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）
9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为 ．
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角满足，则的最大值是 ．
12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，
满足条件“”的概率是 ．

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数，
（I）求函数在上的最大值与最小值；
（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．

14、已知，满足，
（I）求的最小值；
（II）当取最小值时，求的最大值．

15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和
的中点，求直线在轴的截距的取值范围．

16、设函数在上的最大值为（）．
（I）求数列的通项公式；
（II）求证：对任何正整数，都有成立；
（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、 8、 9、0 10、14 11、 12、
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、解：（I）由条件知， （5分）
由知，，于是
所以时，有最小值；
当时，有最大值． （10分）
（II）由条件可知
对任意的恒成立，
∴
∴
∴ , （15分）
由知或。
若时，则由知，这与矛盾！
若，则（舍去），，
解得，所以，． （20分）
14、解：（I）因为 （5分）
，等号成立的条件是，
当时，可取最小值2． （10分）
（II）当取最小值时，，从而，
即，令，则 （15分）
从而或者（舍去）
故 在单减，
所以在时，有最大值． （20分）

15、解：将直线与双曲线方程联立得
化简得①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）
由题设知方程①有两负根，因此，解得．（10分）
设，则有，

故的中点为，
所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）
当时，，其取值范围是
所以的取值范围是． （20分）

16、解：（I），
当时，由知或者， （5分）
当时，，又，，故；
当时，，又，，故；
当时，，
∵时，；时，；
∴在处取得最大值，即
综上所述，． （10分）
（II）当时，欲证 ，只需证明
∵

所以，当时，都有成立． （15分）
（III）当时，结论显然成立；
当时，由（II）知

．
所以，对任意正整数，都有成立． （20分）

目 录

第一章 总论 1
1.1项目提要 1
1.2结论与建议 3
1.3 编制依据 4
第二章 项目建设背景与必要性 5
2.1项目背景 5
2.2 项目建设必要性 7
第三章 市场与需求预测 8
3.1 优质粮食供求形势分析 8
3.2 本区域市场需求预测 8
3.3 服务功能 10
3.4 市场竞争力和市场风险预测与对策 10
第四章 项目承担单位情况 12
4.1 基本情况 12
4.2 主要业务范围和业务能力 12
4.3 人员构成 12
4.4 主要技术成果获奖情况及转化能力 13
4.5 现有基础和技术条件 15
4.6 资产与财务状况 16
4.7 项目技术协作单位情况 16
第五章 建设规模与产品方案 17
5.1建设规模确定的原则和依据 17
5.2建设规模及服务种类 18
第六章 项目选址与建设条件 19
6.1 项目选址原则与要求 19
6.2 项目建设用地情况 19
6.3项目用地位置 20
6.4自然与资源条件 20
6.5水资源优势 21
6.6 社会经济条件 22
6.7 粮田基本情况 22
6.8项目实施的有利条件 26
6.9 对环境的影响 26
第七章 工艺技术方案和设备选型 27
7.1 工艺技术方案 27
7.2 设备选型 29
第八章 项目建设方案与建设内容 32
8.1 项目建设方案 32
8.2 项目建设内容与规模 34
第九章 环境保护与安全生产 36
9.1 环境保护 36
9.2 安全生产 36
第十章 组织管理与实施进度 38
10.1 项目组织管理 38
10.2 项目实施各阶段的管理方案 39
10.3 工程招投标方案 39
10.4 项目建成后的运行管理与机制 40
10.5 运行经费解决方案 41
10.6 实施进度 41
第十一章 投资估算与资金来源 44
11.1 投资估算 44
11.2资金来源 45
第十二章 效益分析 46
12.1 经济效益 46
12.2 社会效益 47
12.3 生态效益 47
第十三章 结论与建议 48
13.1 综合评价 48
13.2 结论意见 48
13.3 问题与建议 48

45