江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题.doc

江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

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- 19 -

江苏省盐城中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（共10小题）.
1.（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理的性质写出结果即可.
【详解】因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查.
2.已知函数，其导函数为，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可以求出导函数，从而可得出的值.
【详解】解：∵，∴，∴.
故选：C.
【点睛】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题.
3.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5.由此能求出这个两位数是偶数的概率.
解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，
基本事件总数n＝3×3＝9，
这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5.
∴这个两位数是偶数的概率为p.
故选：D.
本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ）
A. 5 B. 15 C. 10 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，可得选项.
【详解】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，
故，
故选：C.
【点睛】本题主要考查二项式系数性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题.
5.已知正态密度曲线的函数关系式是f（x），设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ）
A. 10与8 B. 10与2 C. 8与10 D. 2与10
【答案】B
【解析】
【分析】
把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解.
【详解】解：∵f（x），
∴平均数μ＝10，标准差σ＝2.
故选：B.
【点睛】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题.
6.设n∈N*，则1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余数为（ ）
A. 0 B. 8 C. 7 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论.
【详解】解：因为C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n＝（1+8）n＝9n；
故除以9的余数为0；
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理及应用，解题时需注意组合数性质及二项式定理的合理运用，属于基础题.
7.在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：运动员甲获胜的次数记为，则，；
考点：1.二项分布；
8.设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+anxn，若a0+a1+a2+a3+……+an＝64，则展开式中系数最大的项是（ ）
A. 15x2 B. 21x3 C. 20x3 D. 30x3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得 a0+a1+a2+…+an＝（1+1）n＝64，得 n＝6，由此求得展开式中系数最大的项.
【详解】因为 a0+a1+a2+…+an＝（1+1）n＝64，得 n＝6，故展开式中系数最大的项是第四项；即x3＝20x3；
故选：C.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题.
9.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
按甲乙分情况求解即可
【详解】若甲、乙一起（无其他人）有 种
若甲、乙与另一人一起（三人一起）有种 ，共18+18=36种
故选B
【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分类讨论思想，是基础题
10.设函数，若a是从1，2，3三个数中任取一个，b是从2，3，4，5四个数中任取一个，那么恒成立的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先把的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，即可得出答案.
【详解】

当且仅当时，取“＝”，
∴，
于是恒成立就转化为成立.
设事件A：“恒成立”，
则基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
所以，
故选：D
【点睛】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）
11.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. P（X＝1）＝E（X） B. E（3X+2）＝4
C. D（3X+2）＝4 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据随机变量X服从两点分布，其中，则P（X＝1），代入期望和方差公式，进行运算即可得解.
【详解】随机变量X服从两点分布，其中，
∴P（X＝1），
E（X），
D（X）＝（0）2（1）2，
在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；
在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；
在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；
在D中，D（X），故D错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查了两点分布及其期望和方差的计算，以及期望性质的应用，属于基础题.
12.已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据的单调性得到正确；不是单调递增得到错误；根据不是单调递减得到错误；根据条件得到单调递增，得到，代换得到答案.
【详解】设，函数单调递增，则
即，正确；
设不是恒大于零，错误；
不是恒小于零，错误；
故，函数单调递增
故
即

即，正确.
故选
【点睛】本题考查了函数的单调性判断不等式，意在考查学生对于函数单调性的综合应用.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数在f（x）＝﹣x在[1，2]上的最大值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】
先求导数，得单调性，进而得出最大值.
【详解】因为，所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，
故答案为：0.
【点睛】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值，属于基础题.
14.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=_____.

【答案】0.7
【解析】
随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，
∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3，∴P(ξ<2)=1−0.3=0.7．
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1.
15.设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020,若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a,则实数a＝_______.
【答案】0
【解析】
【分析】
结合所求式子与已知的式子特点,可以对原函数求导,然后利用赋值法求解即可.
【详解】对已知的式子两边同时求导可得：
2020a（1+ax）2019,
令x＝1则：2020a（1+a）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020,
又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a,
所以（1+a）2019＝1,所以a＝0.
故答案为：0.
【点睛】本题考查了二项式定理的系数的性质、赋值法的应用.同时考查了学生的运算能力,属于中档题.
16.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有______种.（以数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】
根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案.
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、Grace不参与该项任务，
在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51＝5种情况，
剩余4人，平均分成2组，有3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22＝2种情况，
此时一共有5×3×2＝30种方案；
②、Grace参与该项任务，
在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52＝10种情况，
而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，
则此时一共有10×1＝10种方案；
则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案；
故答案为：40.
【点睛】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分）
17.有4名学生和2位老师站成一排合影.
（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？
（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？
【答案】（1）240种；（2）480种
【解析】
【分析】
（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；

（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数.
【详解】（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种.
（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种.
【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题以及捆绑法，插空法的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
18.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

0
1
2
3

（1）求的值；
（2）求的数学期望.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出，利用对立事件概率计算公式能求出．
（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望.
【详解】解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，
∴，

（2）由（1）可得分布列为

0
1
2
3

故数学期望为：
.
【点睛】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
19.在（x+2）10的展开式中，求：
（1）含x8项的系数；
（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，
【答案】（1）180；（2）1
【解析】
【分析】
（1）先求出展开式的通项，令通项中x的指数为8，求出k的值即可；

（2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r的值.
【详解】（1）二项式展开式的通项如下：
，由已知令10﹣r＝8，所以r＝2.所以含x8项的系数为.
（2）第3r项与第r+2项的二项式系数相等，
则，即3r﹣1＝r+1或3r﹣1+r+1＝10.解得r＝1或（舍）.
故r的值为1.
【点睛】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力.属于基础题.
20.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.
（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布；
（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望.
【答案】（1）见解析；（2）①；②分布列见解析，16
【解析】
【分析】
（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列.
（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率.
②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列和数学期望.
【详解】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，
1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，
P（X＝0），
P（X＝1），
∴X的分布列为：
X
0
1
P

（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，
∴顾客乙中奖的概率为：P.
②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），
∴Y的可能取值为0，10，20，50，60，
P（Y＝0），
P（Y＝10），
P（Y＝20），
P（Y＝50），
P（Y＝60），
∴随机变量Y的概率分布列为：
Y
0
10
20
50
60
P

E（Y）16.
【点睛】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
21.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.

（1）求得分在上的频率；
（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）

认为此项学习十分必要
认为此项学习不必要
50岁以上
400
600
50岁及50岁以下
800
200

根据上述数据，计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附：，其中.

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】（1）0.3（2）70.5分 （3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和为求得上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出的值，由此判断出有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
【详解】（1）依题意，所求频率.
（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：
中间值
45
55
65
75
85
95
频率
0.1
0.15
0.2
03
0.15
0.1

∴ ，
即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.
（3）依题意，.
因为，
故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查列联表独立性检验，属于中档题.
22.已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率，从而得到切线方程；（Ⅱ）通过导数可知单调性由的符号决定；分别在、两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调区间；（Ⅲ）通过变量迁移可将问题变为在上恒成立的问题；由与的符号易判断；构造函数，根据导函数正负可知时满足题意；而当时，由于存在使得，从而可知时，不等式不成立；由此总结可得结果.
【详解】（Ⅰ）当时，
，
函数在点处的切线方程为
（Ⅱ）由题意，

（ⅰ）当时，
令，得；，得
所以在单调递增，单调递减
（ⅱ）当时，
令，得；，得或
所以在单调递增，在，单调递减
（Ⅲ）令，
当时，，单调递增，则
则对恒成立等价于
即，对恒成立.
（ⅰ）当时，，，
此时，不合题意，舍去
（ⅱ）当时，令，
则
其中对，
令，则在区间上单调递增
①当时，
所以对，，则在上单调递增
故对任意，
即不等式在上恒成立，满足题意
②当时，由
又且在区间上单调递增
所以存在唯一的使得，且时，
即，所以在区间上单调递减
则时，，即，不符合题意
综上所述，
【点睛】本题考查求解曲线在某点处的切线、讨论含参数函数单调性问题、恒成立问题的求解，涉及到导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值、最值的知识.处理本题中的恒成立问题的关键是能够通过变量迁移的方式，成功的将问题转化为只有单一变量的恒成立问题；变量迁移的方法通常是在变量较多且迁移变量后，新函数的单调性易于判断的情况下使用.