江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题.doc

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

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- 18 -

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、单项选择题（共8小题）.
1.化简：（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据排列数的性质求解即可.
【详解】由题意，.
故选：B
【点睛】本题考查排列数的运算，属于基础题.
2.下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.
【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵，∴A错；∵，∴B错；∵，C错；D正确.
【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.
3.（a+b）5的展开式中a3b2的系数为（ ）
A. 20 B. 10 C. 5 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a3b2的系数.
【详解】解：（a+b）5的展开式的通项公式为：Tr+1•a5﹣r•br；
令5﹣r＝3可得r＝2；
∴（a+b）5的展开式中a3b2的系数为：10.
故选：B.
【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查求特定项展开项的系数，属于基础题
4.已知，，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用条件概率公式计算可得结果.
【详解】由条件概率公式得.
故选：B.
点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.
5.在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正态分布的图像和性质得得解.
【详解】由正态分布的图像和性质得.
故选B
【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（ ）
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
由51＝52﹣1，然后将512020展开，求其余数，然后令余数与a的和能被13整除即可.
【详解】解：512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020
.
因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，
所以上式被13除，余数为，
所以要使512020+a能被13整除，因为a∈Z，且0≤a＜13，只需a+1＝13即可，
故a＝12.
故选：D.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理解决整除问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键．
7.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926＜＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）
A. 2280 B. 2120 C. 1440 D. 720
【答案】A
【解析】
【分析】
整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了 倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列.
【详解】由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有，
而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，
故得到的数字大于3.14的不同情况有.
故选：A
【点睛】本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
8.若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.
9.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）

A. -3是的一个极小值点；
B. -2和-1都是的极大值点；
C. 的单调递增区间是；
D. 的单调递减区间是．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由导函数与单调性、极值的关系判断．
【详解】当时，，时，
∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．
故选：ACD.
【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．
10.将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 18
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，有2种解法，
解法1，先将4人分三组，再将分好的三组全排列，由分布计数原理计算可得B正确；
解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，由分布计数原理计算可得C正确；即可得答案；
【详解】解：根据题意，
解法1，先将4人三组，有C42种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A33种情况，则有C42A33种分配方法，B正确；
解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C31C42种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，有A22种情况，则有C31C42A22种分配方法，C正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查排列组合的应用，分组分配问题，可以先分组后分配，也可以直接分配，解题的关键是分析思路，做到不重不漏，属于基础题.
11.已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意利用二项式系数的性质,求得n的值即可.
【详解】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了根据二项式系数最大的项求参数的问题,当为偶数时,最大的二项式系数为,当为奇数时, 最大的二项式系数为与.属于基础题.
12.关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在处的切线方程为
B. 当时，存在唯一极小值点且
C. 对任意，在上均存在零点
D. 存在，在上有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】
直接法，逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线的交点问题.
【详解】选项A，当时，，，所以，
故切点为，，所以切线斜率，
故直线方程为：，即切线方程为：，选项A符合题意；
选项B，当时，，，，
恒成立，所以单调递增，
又，，
故存在唯一极值点，不妨设，
则，即，
，选项B符合题意；
对于选项，，
令，即，
当，且显然没有零点，故，且，
所以，则令，，
令，解得，，，
所以单调递减，单调递增，
有极小值，
单调递增，单调单调递减，
有极大值，
故选项C，任意均有零点，不符合，选项D，
存在，有且只有唯一零点，此时，
故选：ABD.
【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，及参数的处理，数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分.只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置.
13.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为___________.
【答案】0.009
【解析】
由相互独立事件的概率计算公式，三人项目标各发枪一次，
目标没有被击中的概率为：
14.已知函数，则_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出，结合导数的定义，即可求出的值.
【详解】解：∵，∴，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了导数的定义，考查了导数的计算，本题的关键是求出函数的导数.
15.设随机变量ξ的概率分布列为，，则　　　　.
【答案】
【解析】
∵所有事件发生的概率之和为1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴，∴c=，∴ P（ξ=k）=，∴P（ξ=2）=．故答案为．
16.若对任意x＞0，恒有，则实数a的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，构造函数，求得导数和单调性，原题转化为，结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合不等式恒成立思想可得所求范围.
【详解】解：由不等式，可得，
设，则，
设，
当0＜t＜1时，；当t＞1时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
因此，
因此在上单调递增，由
得eax≥x2，即，设，，
当x＞e时，，函数单调递减，
当0＜x＜e时，，函数单调递增，
从而的最大值为，故.
故答案为:.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数最值的求解.本题的难点是构造函数，通过导数求函数的最值.运用导数求最值时，通常求出定义域、导数后，根据导数为零的解，确定函数的单调性，从而确定函数的最值.
四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.有5名男生，4名女生排成一排.
（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？
（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？
【答案】（1）504
（2）43200
【解析】
【分析】
（1）从9人中取3人排除一列，用排列数表示即可
（2）可用插空法求解，先排5个男生，再把4个女生插入空中，即得解
【详解】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人
从中选出3人排成一排，共有种排法；
（2）可用插空法求解，先排5名男生有种方法，
5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有种方法
故共有种方法
【点睛】本题考查了排列数的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
18.已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.
【答案】（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，
（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.
【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，
由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，
则，
解可得a，b＝-1，
（2）由（1），
易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，
又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），
所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.
【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题
19.某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.
（1）求乙同学答对2个题目的概率；
（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m，n的概率分布和数学期望.
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式直接计算概率即可；
（2）由题可知，随机变量m服从超几何分布，所有可能取值为1，2，3；随机变量n服从二项分布，所有可能取值为0，1，2，3；然后分别根据超几何分布、二项分布求概率的方式逐一求出每个m、n的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）由题意知乙同学答对题目个数n～B（3，），
乙同学答对2个题目的概率为P.
（2）甲同学答对题目个数m所有可能取值1，2，3，
P（m＝1），P（m＝2），P（m＝3）.
∴m的分布列为

数学期望E（m）.
乙同学答对题目个数n～B（3，），n的所有可能取值为0，1，2，3，
P（n＝0），P（n＝1），
P（n＝2），P（n＝3）.
∴n的分布列为:

数学期望E（n）.
【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验，二项分布，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题.
20.已知，n∈N*.
（1）设f(x)＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
①求a0+a1+a2+…+an；
②若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；
（2）设f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n，求.
【答案】（1）①；②n＝12或13；（2）(2n+1﹣2﹣n)
【解析】
【分析】
（1）①可令x＝1，代入计算可得所求和；②可得f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n的通项公式，ar最大即为ar≥ar﹣1，且ar≥ar+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；
（2）由f(x)＝[1+(x+1)]n，可得br＝C，r＝0，1，…，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和.
【详解】解：（1）①由(x+2)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，
可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+an，
即a0+a1+a2+…+an＝3n；
②f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n，
可得ar2n﹣rxr，r＝0，1，…，n，
若在a0，a1，a2，…，an中，ar最大，
可得，即为，
化为，由于r＝4时为a4唯一的最大值，
可得n＝12，13；
（2）由f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n，
且f（x）＝[1+(x+1)]n，可得br＝C，r＝0，1，…，n，
则，
由••，
则(C)(2n+1﹣2﹣n).
【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，考查组合数的性质．解题关键是掌握二项式展开式通项公式，在展开式中第项系数为，则由可得系数最大项的项数．
21.已知函数f（x）＝x2﹣x+alnx（a＜0），且f（x）的最小值为0.
（1）求实数a的值；
（2）若直线y＝b与函数f（x）图象交于A，B两点，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1＜x2，A，B两点的中点M的横坐标为x0，证明：x0＞1.
【答案】（1）a＝﹣1（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
(1)先对f(x)求导，然后由的正负确定f(x)的单调性，求出f(x)的最小值，再根据f(x)的最小值为0求出a的值；
(2)由(1)得a＝﹣1，设f(x1)＝f(x2)＝b，得到0＜x1＜1＜x2，再设h(x)＝f(x)﹣f(2﹣x)(0＜x＜1)，然后判断h(x)的单调性，然后结合条件证明x0＞1成立即可.
【详解】解：(1)(x＞0).
∵a＜0，∴1﹣8a＞0，
令＝0，得，且x1＜0，x2＞0，
在上＞0，递增；在上＜0，递减，
∴函数f(x)在时，取最小值0，
又f(1)＝0，∴，解得a＝﹣1.
(2)证明：由(1)得a＝﹣1，函数f(x)＝x2﹣x﹣lnx，
设f(x1)＝f(x2)＝b(b＞0)，则0＜x1＜1＜x2，
设h(x)＝f(x)﹣f(2﹣x)(0＜x＜1)，
则h(x)＝x2﹣x﹣lnx﹣(2﹣x)2+(2﹣x)+ln(2﹣x)＝2x﹣2﹣lnx+ln(2﹣x)，
，
∴h(x)为减函数，∴h(x1)＞h(1)＝0，
即h(x1)＝f(x1)﹣f(2﹣x1)＞0，
∴f(2﹣x1)＜f(x1)，即f(2﹣x1)＜f(x2)，
又x1＜1，∴2﹣x1＞1，又当x＞1时，f(x)为增函数，
∴2﹣x1＜x2，∴x1+x2＞2，
∴x0＞1.
【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数研究函数零点与方程根的问题．首先根据函数的单调性确定0＜x1＜1＜x2，然后引入函数h(x)＝f(x)﹣f(2﹣x)(0＜x＜1)，通过的单调性得出结论．
22.已知函数f(x)＝lnx﹣x2+ax，g(x)＝ex﹣e，其中a＞0.
(1)若a＝1，证明：f(x)≤0；
(2)用max{m，n}表示m和n中的较大值，设函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，讨论函数h(x)在(0，+∞)上的零点的个数.
【答案】(1)证明见解析；(2)当0＜a≤1时，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零点；当a＞1时，h(x)在(0，+∞)上也有1个零点
【解析】
【分析】
(1)对f(x)求导，然后求出f'(x)的零点，再判断f(x)的单调性，然后求出f(x)的最大值，进而证明f(x)≤0成立；
(2)由条件知h(x)在区间(1，+∞)上不可能有零点，然后根据条件考虑在区间(0，1)上和x＝1处时h(x)的零点情况即可.
【详解】解：(1)(x＞0)，
令f'(x)＝0，则x＝1或(舍)，
∴当x∈(0，1)时，＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，+∞)时，＜0，f(x)单调递减，
∴f(x)≤f(x)max＝f(1)＝0.
(2)是上的增函数，，
在区间(1，+∞)上，g(x)＞0，∴h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＞0，
∴h(x)在区间(1，+∞)上不可能有零点.
下面只考虑区间(0，1)上和x＝1处的情况.
由题意f(x)的定义域为(0，+∞)，.
令＝0可得(负值舍去).
在(0，x0)上＞0，f(x)为增函数，在(x0，+∞)上＜0，f(x)为减函数，
∴f(x)max＝f(x0).
①当a＝1时，x0＝1，∴f(x)max＝f(1)＝0.
∵在区间(0，1)上，g(x)＜0，且g(1)＝0，
∴此时h(x)存在唯一的零点x＝1.
②当0＜a＜1时，.
∵，∴.
∴，
于是f(x)＜0恒成立，结合函数g(x)的性质，
可知此时h(x)存在唯一的零点x＝1.
③当a＞1时，，∴f(x)在(0，1)上递增.
又∵f(1)＝a﹣1＞0，，
∴f(x)在区间(0，1)上存在唯一的零点x＝x1.
结合函数g(x)的性质，可知x＝x1是h(x)唯一的零点.
综上，当0＜a≤1时，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零点x＝1；
当a＞1时，h(x)在(0，+∞)上也有1个零点.
【点睛】本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数零点个数问题，实质上都要用导数研究函数的单调性，研究最值，掌握导数与单调性的关系是解题关键．