江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题.doc

江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题年级：姓名：- 18 -江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1.化简：（ ）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】直接根据排列数的性质求解即可.【详解】由题意，.故选：B【点睛】本题考查排列数的运算，属于基础题.2.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.【详解】根据函数的求导公式可得，A错；，B错；，C错；D正确.【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.3.（a+b）5的展开式中a3b2的系数为（ ）A. 20B. 10C. 5D. 1【答案】B【解析】【分析】直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a3b2的系数.【详解】解：（a+b）5的展开式的通项公式为：Tr+1a5rbr；令5r3可得r2；（a+b）5的展开式中a3b2的系数为：10.故选：B.【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查求特定项展开项的系数，属于基础题4.已知，则等于（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件概率公式计算可得结果.【详解】由条件概率公式得.故选：B.点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.5.在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正态分布的图像和性质得得解.【详解】由正态分布的图像和性质得.故选B【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设aZ，且0a13，若512020+a能被13整除，则a（ ）A. 0B. 1C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】由51521，然后将512020展开，求其余数，然后令余数与a的和能被13整除即可.【详解】解：512020（521）2020（152）2020.因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，所以上式被13除，余数为，所以要使512020+a能被13整除，因为aZ，且0a13，只需a+113即可，故a12.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理解决整除问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键7.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）A. 2280B. 2120C. 1440D. 720【答案】A【解析】【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了 倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列.【详解】由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数字大于3.14的不同情况有.故选：A【点睛】本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.8.若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，所以可变形为令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，故，解得故选：A【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. -3是的一个极小值点；B. -2和-1都是的极大值点；C. 的单调递增区间是；D. 的单调递减区间是【答案】ACD【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断【详解】当时，时，是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反10.将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 18【答案】BC【解析】【分析】根据题意，有2种解法，解法1，先将4人分三组，再将分好的三组全排列，由分布计数原理计算可得B正确；解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，由分布计数原理计算可得C正确；即可得答案；【详解】解：根据题意，解法1，先将4人三组，有C42种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A33种情况，则有C42A33种分配方法，B正确；解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C31C42种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，有A22种情况，则有C31C42A22种分配方法，C正确；故选：BC.【点睛】本题考查排列组合的应用，分组分配问题，可以先分组后分配，也可以直接分配，解题的关键是分析思路，做到不重不漏，属于基础题.11.已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】ABC【解析】【分析】由题意利用二项式系数的性质,求得n的值即可.【详解】已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n8或n9故选：ABC.【点睛】本题主要考查了根据二项式系数最大的项求参数的问题,当为偶数时,最大的二项式系数为,当为奇数时, 最大的二项式系数为与.属于基础题.12.关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 当时，在处的切线方程为B. 当时，存在唯一极小值点且C. 对任意，在上均存在零点D. 存在，在上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】直接法，逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线的交点问题.【详解】选项A，当时，所以，故切点为，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：，选项A符合题意；选项B，当时，恒成立，所以单调递增，又，故存在唯一极值点，不妨设，则，即，选项B符合题意；对于选项，令，即，当，且显然没有零点，故，且，所以，则令，令，解得，所以单调递减，单调递增，有极小值，单调递增，单调单调递减，有极大值，故选项C，任意均有零点，不符合，选项D，存在，有且只有唯一零点，此时，故选：ABD.【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，及参数的处理，数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分.只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置.13.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为_.【答案】0.009【解析】 由相互独立事件的概率计算公式，三人项目标各发枪一次，目标没有被击中的概率为： 14.已知函数，则_.【答案】2【解析】【分析】先求出，结合导数的定义，即可求出的值.【详解】解：，故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的定义，考查了导数的计算，本题的关键是求出函数的导数.15.设随机变量的概率分布列为，则.【答案】【解析】所有事件发生的概率之和为1，即P（=0）+P（=1）+P（=2）+P（=3）=1，c=， P（=k）=，P（=2）=故答案为16.若对任意x0，恒有，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，构造函数，求得导数和单调性，原题转化为，结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合不等式恒成立思想可得所求范围.【详解】解：由不等式，可得，设，则，设，当0t1时，；当t1时，故在上单调递减，在上单调递增，因此，因此在上单调递增，由得eaxx2，即，设，当xe时，函数单调递减，当0xe时，函数单调递增，从而的最大值为，故.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数最值的求解.本题的难点是构造函数，通过导数求函数的最值.运用导数求最值时，通常求出定义域、导数后，根据导数为零的解，确定函数的单调性，从而确定函数的最值.四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.有5名男生，4名女生排成一排.（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？【答案】（1）504（2）43200【解析】【分析】（1）从9人中取3人排除一列，用排列数表示即可（2）可用插空法求解，先排5个男生，再把4个女生插入空中，即得解【详解】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人从中选出3人排成一排，共有种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有种方法故共有种方法【点睛】本题考查了排列数的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题.18.已知函数f（x）ax3+bx23x在x1和x3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在4，4内的最值.【答案】（1）a，b1（2）f（x）min，f（x）max【解析】【分析】（1）先对函数求导，由题意可得3ax2+2bx30两个根为1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【详解】解：（1）3ax2+2bx3，由题意可得3ax2+2bx30的两个根为1和3，则，解可得a，b-1，（2）由（1），易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，又f（4），f（1），f（3）9，f（4），所以f（x）minf（4），f（x）maxf（1）.【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题19.某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m，n的概率分布和数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式直接计算概率即可；（2）由题可知，随机变量m服从超几何分布，所有可能取值为1，2，3；随机变量n服从二项分布，所有可能取值为0，1，2，3；然后分别根据超几何分布、二项分布求概率的方式逐一求出每个m、n的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.【详解】（1）由题意知乙同学答对题目个数nB（3，），乙同学答对2个题目的概率为P.（2）甲同学答对题目个数m所有可能取值1，2，3，P（m1），P（m2），P（m3）.m的分布列为数学期望E（m）.乙同学答对题目个数nB（3，），n的所有可能取值为0，1，2，3，P（n0），P（n1），P（n2），P（n3）.n的分布列为:数学期望E（n）.【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验，二项分布，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题.20.已知，nN*.（1）设f(x)a0+a1x+a2x2+anxn，求a0+a1+a2+an；若在a0，a1，a2，an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值；（2）设f(x)b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+bn(x+1)n，求.【答案】（1）；n12或13；（2）(2n+12n)【解析】【分析】（1）可令x1，代入计算可得所求和；可得f(x)(x+2)n(2+x)n的通项公式，ar最大即为arar1，且arar+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；（2）由f(x)1+(x+1)n，可得brC，r0，1，n，推得，再由二项式定理，计算可得所求和.【详解】解：（1）由(x+2)na0+a1x+a2x2+anxn，可令x1，可得3na0+a1+a2+an，即a0+a1+a2+an3n；f(x)(x+2)n(2+x)n，可得ar2nrxr，r0，1，n，若在a0，a1，a2，an中，ar最大，可得，即为，化为，由于r4时为a4唯一的最大值，可得n12，13；（2）由f(x)b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+bn(x+1)n，且f（x）1+(x+1)n，可得brC，r0，1，n，则，由，则(C)(2n+12n).【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，考查组合数的性质解题关键是掌握二项式展开式通项公式，在展开式中第项系数为，则由可得系数最大项的项数21.已知函数f（x）x2x+alnx（a0），且f（x）的最小值为0.（1）求实数a的值；（2）若直线yb与函数f（x）图象交于A，B两点，A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），且x1x2，A，B两点的中点M的横坐标为x0，证明：x01.【答案】（1）a1（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)先对f(x)求导，然后由的正负确定f(x)的单调性，求出f(x)的最小值，再根据f(x)的最小值为0求出a的值；(2)由(1)得a1，设f(x1)f(x2)b，得到0x11x2，再设h(x)f(x)f(2x)(0x1)，然后判断h(x)的单调性，然后结合条件证明x01成立即可.【详解】解：(1)(x0).a0，18a0，令0，得，且x10，x20，在上0，递增；在上0，递减，函数f(x)在时，取最小值0，又f(1)0，解得a1.(2)证明：由(1)得a1，函数f(x)x2xlnx，设f(x1)f(x2)b(b0)，则0x11x2，设h(x)f(x)f(2x)(0x1)，则h(x)x2xlnx(2x)2+(2x)+ln(2x)2x2lnx+ln(2x)，h(x)为减函数，h(x1)h(1)0，即h(x1)f(x1)f(2x1)0，f(2x1)f(x1)，即f(2x1)f(x2)，又x11，2x11，又当x1时，f(x)为增函数，2x1x2，x1+x22，x01.【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数研究函数零点与方程根的问题首先根据函数的单调性确定0x11x2，然后引入函数h(x)f(x)f(2x)(0x1)，通过的单调性得出结论22.已知函数f(x)lnxx2+ax，g(x)exe，其中a0.(1)若a1，证明：f(x)0；(2)用maxm，n表示m和n中的较大值，设函数h(x)maxf(x)，g(x)，讨论函数h(x)在(0，+)上的零点的个数.【答案】(1)证明见解析；(2)当0a1时，h(x)在(0，+)上有唯一的零点；当a1时，h(x)在(0，+)上也有1个零点【解析】【分析】(1)对f(x)求导，然后求出f(x)的零点，再判断f(x)的单调性，然后求出f(x)的最大值，进而证明f(x)0成立；(2)由条件知h(x)在区间(1，+)上不可能有零点，然后根据条件考虑在区间(0，1)上和x1处时h(x)的零点情况即可.【详解】解：(1)(x0)，令f(x)0，则x1或(舍)，当x(0，1)时，0，f(x)单调递增，当x(1，+)时，0，f(x)单调递减，f(x)f(x)maxf(1)0.(2)是上的增函数，在区间(1，+)上，g(x)0，h(x)maxf(x)，g(x)g(x)0，h(x)在区间(1，+)上不可能有零点.下面只考虑区间(0，1)上和x1处的情况.由题意f(x)的定义域为(0，+)，.令0可得(负值舍去).在(0，x0)上0，f(x)为增函数，在(x0，+)上0，f(x)为减函数，f(x)maxf(x0).当a1时，x01，f(x)maxf(1)0.在区间(0，1)上，g(x)0，且g(1)0，此时h(x)存在唯一的零点x1.当0a1时，.，.，于是f(x)0恒成立，结合函数g(x)的性质，可知此时h(x)存在唯一的零点x1.当a1时，f(x)在(0，1)上递增.又f(1)a10，f(x)在区间(0，1)上存在唯一的零点xx1.结合函数g(x)的性质，可知xx1是h(x)唯一的零点.综上，当0a1时，h(x)在(0，+)上有唯一的零点x1；当a1时，h(x)在(0，+)上也有1个零点.【点睛】本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数零点个数问题，实质上都要用导数研究函数的单调性，研究最值，掌握导数与单调性的关系是解题关键