2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(Word解析版)2014.4.doc

2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2014.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1设集合，若，则（ ）A B C D2函数的定义域为（ ） A B C. D3设，则（ ）A B C D4若直线是函数的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，在（ ）单调递减A B C D 5若，则（ ）A B C D6设，都是非零平面向量，且，不共线，则关于的方程的解的情况是（ ）A至多有一个解 B至少有一个解 C至多有两个解 D可能有无数个解7设函数，若过点的动直线与该函数图像交于个点，则这个点的纵坐标之和为（ ）A B C D 8设函数，则关于的方程的实根个数为（ ） A B C D9设是有理数集，集合，在下列集合：（1），（2），（3），（4）中，和相同的集合有（）A 1个 B2个 C 3个 D4个10在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点顺时针旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，记为的最大值，则（） A B C D 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11设扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是 .12已知，均为单位向量，且，的夹角为，若，则与的夹角为 .13方程的解集为 .14如图，扇形的半径为，圆心角为，为上一点， 点为线段上一点，且，则的最小值为 .15若关于的方程 有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为 .16求值：= .（用数字作答）17函数的值域是 . 三、解答题：本大题共3小题，共51分18（本题满分15分）已知函数，且.（I）求；（II）当时，求函数的值域.19（本题满分18分）已知向量，函数.（I）当时，求的值域；（II）当且仅当时，取最小值，求正数的取值范围；（III）是否存在正数，使得对于任意的，为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20（本题满分18分）已知、是关于的二次方程的两个实根，且，函数（I）求的值；（II）试判断在区间内的单调性，并说明你的理由；（III）求证：对任意的正数，都有2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1设集合，若，则（）解析：设，则，故选B.2函数的定义域为（）A B C. D解析： ，即或，故选C.3设，则（）A B C D解析：，故选B.4若直线是函数的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，在（ ）单调递减A B C D 解析：，故的最小正值为，此时，在 上单调递增，在上单调递减，故选B.5若，且，则（ ）ABCD解析：由题意，故，选A.6设，都是非零平面向量，且，不共线，则关于的方程的解的情况是（） A至多有一个解 B至少有一个解 C至多有两个解 D可能有无数个解解析：由平面向量基本定理知，存在唯一确定的，使得，故选A.7设函数，若过点的动直线与该函数图像交于个点，则这个点的纵坐标之和为（）A B C D 解析：函数关于点中心对称，故选D.8设函数，则关于的方程的实根个数为（）A2 B3 C4 D5解析：由题意知，或，又 或，故根集为，选C 9设是有理数集，集合，在下列集合：（1），（2），（3），（4） 中，和相同的集合有（）A 1个 B2个 C 3个 D4个解析：易证集合（1）（2）（3）都与相同，但集合（4）与不同，因为集合（4）中的元素必为非负数，选C 10在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点顺时针旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，记为的最大值，则（）A B C D解析：可分三段画出图像，有两部分图像平行于轴，逆时针旋转坐标轴，由图像可知选C.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 .解析：设半径为，圆心角为，则，解得 12已知，均为单位向量，且，的夹角为，若，则与的夹角为 .解析：， ，故与的夹角为 13方程 的解集为 . 解析：若，解得 或；若，解得或，验证成立；若，解得 或，故解集为14如图，扇形的半径为，圆心角为，为上一点，点为线段上一点，且，则的最小值为 .15若关于的方程 有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为 .解析：由题意知结论与无关，不妨设，则为方程的两个实根，故，即.而为方程的两个实根，故，故，即，故答案为.16求值：= （用数字作答）解析：17函数的值域是 解析：只需考虑的情形即可 ，其中，均为锐角，且，故当时，；当时， 故的值域为 三、解答题：本大题共3小题，共51分18（本题满分15分）已知函数，且.（I）求；（II）当时，求函数的值域.（1）因为，所以，又，故； -5分（2）由（1）得， ，所以， -10分因为，所以，即，即， 因此，函数的值域为. -15分19（本题满分18分）已知向量，函数.（I）当时，求的值域；（II）当且仅当时，取最小值，求正数的取值范围；（III）是否存在正数，使得对于任意的，为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）当时，故值域为. -3分（2） -6分令，则当且仅当时，取最小值.当时，的对称轴为，故此时在处取最小值；-9分当时，单调递减，故在处取最小值；当时，若在处取最小值，则的对称轴为，即，故. -12分综上所述，； （3）设为定值，故，即， -15分故 （可通过赋值得到），解得，经检验，成立. -18分20（本题满分18分）已知、是关于的二次方程的两个实根，且，函数（I）求的值；（II）试判断在区间内的单调性，并说明你的理由；（III）求证：对任意的正数，都有 解：（）是方程的两个根， ， -2分 ，同理，故. -6分（）在上单调递增. -9分设 ，其中 ，则， 因为，故，所以，在上单调递增 -12分（），. -15分由（）可知，同理， ， -18分2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 11 页 共 4 页