2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(Word解析版)2014.4.doc

2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2014.4
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．设集合，，
，若，，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ▲ ）
A． B． C. D．
3．设，，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．若直线是函数的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，在（ ▲ ）单调递减
A． B． C． D．
5．若，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．设，，都是非零平面向量，且，不共线，则关于的方程的解的情况是（ ▲ ）
A．至多有一个解　 B．至少有一个解 C．至多有两个解 D．可能有无数个解
7．设函数，若过点的动直线与该函数图像交于个点，则这个点的纵坐标之和为（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．设函数，，则关于的方程的实根个数为（ ▲ ）
A． B． C． D．
9．设是有理数集，集合，在下列集合：
（1），（2），（3），（4）中，和相同的集合有（▲）
A． 1个 B．2个 C． 3个 D．4个
10．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点顺时针旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，记为的最大值，则（▲）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.
11．设扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是 ▲ .
12．已知，均为单位向量，且，的夹角为，若，，
则与的夹角为 ▲ .
13．方程的解集为 ▲ .
14．如图，扇形的半径为，圆心角为，为上一点，
点为线段上一点，且，
则的最小值为 ▲ .
15．若关于的方程 有且仅有四个实根，其中
，且，则的取值范围为 ▲ .
16．求值：= ▲ .（用数字作答）
17．函数的值域是 ▲ .

三、解答题：本大题共3小题，共51分．
18．（本题满分15分）已知函数，，
且.
（I）求；
（II）当时，求函数的值域.

19．（本题满分18分）已知向量，，函数.
（I）当时，求的值域；
（II）当且仅当时，取最小值，求正数的取值范围；
（III）是否存在正数，使得对于任意的，为定值？若存在，求出的值；
若不存在，说明理由.

20．（本题满分18分）已知、是关于的二次方程的两个实根，且，函数．
（I）求的值；
（II）试判断在区间内的单调性，并说明你的理由；
（III）求证：对任意的正数，，都有．

2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．设集合，，
，若，，，则（▲）
解析：设，，，，则
，故选B.
2．函数的定义域为（▲）
A． B． C. D．
解析： ，即或，故选C.
3．设，，，则（▲）
A． B． C． D．
解析：，故选B.
4．若直线是函数的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，在（ ▲ ）单调递减
A． B． C． D．
解析：，，故的最小正值为，此时，在 上单调递增，在上单调递减，故选B.
5．若，且，则（ ▲ ）
A．　　　 B． 　　　C． 　　　　D．
解析：由题意，

故，选A.
6．设，，都是非零平面向量，且，不共线，则关于的方程的解的情况是（▲）
A．至多有一个解　 B．至少有一个解 C．至多有两个解 D．可能有无数个解
解析：由平面向量基本定理知，存在唯一确定的，使得，故选A.
7．设函数，若过点的动直线与该函数图像交于个点，则这个点的纵坐标之和为（▲）
A． B． C． D．
解析：函数关于点中心对称，故选D.
8．设函数，，则关于的方程的实根个数为（▲）
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：由题意知，或，又 或，故根集为，选C ．
9．设是有理数集，集合，在下列集合：
（1），（2），（3），（4） 中，和相同的集合有（▲）
A． 1个 B．2个 C． 3个 D．4个
解析：易证集合（1）（2）（3）都与相同，但集合（4）与不同，因为集合（4）中的元素必为非负数，选C．
10．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点顺时针旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，记为的最大值，则（▲）
A． B． C． D．
解析：可分三段画出图像，有两部分图像平行于轴，逆时针旋转坐标轴，由图像可知选C.
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.
11．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 ▲ .
解析：设半径为，圆心角为，则，解得
12．已知，均为单位向量，且，的夹角为，若，，
则与的夹角为 ▲ .
解析：，，， ，故与的夹角为
13．方程 的解集为 ▲ .
解析：若，解得 或；若，解得或，验证成立；若，解得 或，故解集为
14．如图，扇形的半径为，圆心角为，为上一点，点为线段上一点，且，
则的最小值为 ▲ .
15．若关于的方程 有且仅有四个实根，其中
，且，则的取值范围为 ▲ .
解析：由题意知结论与无关，不妨设，则为方程的两个实根，故，即.而为方程的两个实根，故，故，即，故答案为.
16．求值：= ▲ （用数字作答）
解析：

．
17．函数的值域是 ▲
解析：只需考虑的情形即可

，其中，均为锐角，且，，
故当时，；
当时，，
故的值域为 ．
三、解答题：本大题共3小题，共51分．
18．（本题满分15分）已知函数，，
且.
（I）求；
（II）当时，求函数的值域.
（1）因为，
所以，又，故； ----------5分
（2）由（1）得，
，
所以， ----------10分
因为，所以，
即，即，
因此，函数的值域为. ----------15分
19．（本题满分18分）已知向量，，函数.
（I）当时，求的值域；
（II）当且仅当时，取最小值，求正数的取值范围；
（III）是否存在正数，使得对于任意的，为定值？若存在，求出的值；
若不存在，说明理由.
解：（1）当时，，故值域为. ----------3分
（2） ----------6分
令，则当且仅当时，取最小值.
当时，的对称轴为，故此时在处取最小值；----9分
当时，单调递减，故在处取最小值；
当时，若在处取最小值，则的对称轴为，即，
故. ----------12分
综上所述，；
（3）设为定值，
故，
即， ----------15分
故 （可通过赋值得到），解得，
经检验，成立. ----------18分
20．（本题满分18分）已知、是关于的二次方程的两个实根，且，函数．
（I）求的值；
（II）试判断在区间内的单调性，并说明你的理由；
（III）求证：对任意的正数，，都有 ．
解：（Ⅰ）∵是方程的两个根，
∴， ----------2分
∴ ，同理，
故. ----------6分
（Ⅱ）在上单调递增. ----------9分
设 ，其中 ，则，
因为，
故，所以，
∴在上单调递增． ----------12分
（Ⅲ）∵，，
∴. ----------15分
∴由（Ⅱ）可知，，同理，
∴， ----------18分

2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 11 页 共 4 页