福建省三明一中2021届高三数学上学期第一次月考试题.doc

福建省三明一中2021届高三数学上学期第一次月考试题

福建省三明一中2021届高三数学上学期第一次月考试题

年级：
姓名：

9

福建省三明一中2021届高三数学上学期第一次月考试题
一、单项选择题：
1．已知复数，则（ ）．
A． B．1 C． D．2
2．下列函数中，周期为的奇函数为（ ）．
A． B．
C． D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分．若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）．

A． B． C． D．
5．已知，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
6．将两枚均匀的骰子投掷一次所得的点数分别为，．已知，则的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．中，，为线段上任一点，则（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．不确定
8．已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多项选择题：每小题有多个正确选项．
9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．
A．
B．
C．若，则复平面内对应的点位于第四象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（ ）．

A． B．
C． D．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，，，则为钝角三角形
C．若，，，则符合条件的三角形不存在
D．若，则为直角三角形
12．设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ ）．
A．在有且仅有3个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点
C．在单调递增 D．的取值范围是
三、填空题：
13．展开式中含项的系数为______．（用数学作答）
14．来自甲、乙、丙3个班级的5名同学站在一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有甲班的同学相邻的站法种数为______．
15．已知平面向量，，其中，，，则______；若为实数，则的最小值为______．
16．在扇形中，，为弧上的动点，若，则的取值范围为______．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤．
17．已知，，．
（1）求向量与所成角的余弦值；
（2）若，求实数的值．
18．已知函数，其中向量，．
（1）若为锐角三角形，求的取值范围；
（2）保持上每点的纵坐标不变，将横坐标缩小到原来的一半得到函数，求在区间的单调递增区间．
19．在中，角，，所对的边分别为，，，其中，．
（1）若，求角；
（2）若，且的面积为，求的周长．
20．某上市公司成立二十周年期间举行了一场“公司是我家”的知识竞赛．为了解本次竞赛成绩的情况，从中随机抽取了部分职工的成绩（单位：分，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图回答下列问题．
组别
分组
频数
频率
第1组

8

第2组

第3组

20

第4组

第5组

2

合计

（1）求出，，，的值；
（2）在抽取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工进行宣讲，求所抽取的2名职工来自同一组的概率；
（3）在（2）的条件下，用表示所抽取的2名职工来自第5组的人数，求的分布列及数学期望．
21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求角；
（2）若点满足，求的长．
22．一台机器的重要系统由5个元件组成，各个元件是否正常工作相互独立，且每个元件正常工作的概率均为上，若系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能够正常工作．
（1）求该系统不能正常工作的概率；
（2）为提高该系统的工作性能，拟增加两个功能一样的其它品牌元件，且每个元件正常工作的概率均为，则满足什么条件时，可以提高整个系统的工作性能？

参考答案
1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A
9．AD 10．ABC 11．ACD 12．ACD
13．60 14．24 15．（1）2 （2） 16．
17．解：（1）∵，，∴．
设向量与所成角为，
则，
所以向量与所成角的余弦值为．
（2）∵，
又∵，
∵可知，解得．
18．解：（1）
．
由已知，，
即，∴．
（2）依题意，，
令，时，函数单调递增，
解得，
联立，解得，
即在区间的单调递增区间为．
19．解：（1）由正弦定理可得，
∵，∴，所以，∴．
（2）由已知，
∴．
又，∴，∴，
∴，
由余弦定理得，，
∴，
所以的周长为20．
20．解：（1）由题意可知
解得，，，．
（2）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工，有种情况．
设事件随机抽取的2名职工来自同一组，则，
故随机抽取的2名职工来自同一组的概率为．
（3）由（2）可知，的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为

0
1
2

∴．
21．解：（1）法一：由题设及正弦定理得，
又，
所以．
由于，所以．
又，所以．
法二：由题设及余弦定理可得，
化简得．
因为，所以．
又，所以．
（2）由正弦定理易知，解得．
又，所以，即．
在中，因为，，所以，
所以在中，，，，
由余弦定理得，
所以．
22．解：（1）设系统不能正常工作的概率为，
依题意，．
（2）设增加两个新元件后，该系统能正常工作的概率为，
若两个新元件都不能正常工作，则系统能够正常工作的概率为
，
若两个元件中仅有一个能正常工作，则系统能够正常工作的概率为
，
若两个元件都能够正常工作，则系统能够正常工作的概率为
，
则，
由得，
所以当每个新元件正常工作的概率超过时，能够提高整个系统的工作性能．