基于深度学习的高中数学教学设计研究--以“椭圆及其标准方程”为例.pdf

数学教学通讯投稿邮箱：课例评析基于深度学习的高中数学教学设计研究以“椭圆及其标准方程”为例李毅广东省清远市佛冈县第一中学5 1 1 6 0 0摘要】高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，培养学生的高阶思维和关键能力.研究者认为，教学设计是构建教师深度教学的关键点与促进学生深度学习的起点.因此，文章拟采用案例研究法，从教学设计角度，借助“问题导学”和“说数学”“数学写作”等教学手段具体阐述如何促进学生深度学习.【关键词深度学习；教学设计；问题导学；说数学；数学写作引言郑毓信教授指出：我们应将帮助学生学会“深度学习”看成“深度教学”的一个重要目标，“深度教学”的实践性分析，具体地说，除去理论直接的教学含义外，我们又将主要强调这样四点：联系；问题引领；交流和互动；努力帮助学生学会学习 1.普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版2 0 2 0 年修订）明确强调，要重视学生的数学交流能力的培养.“说数学”和“数学写作”是数学交流的重要形式之一,对培养学生的数学核心素养，促进学生深度学习具有重要作用 2。深度学习的概述所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程 3.从数学教育的角度来看，深度（层）学习应当切实避免数学学习的肤浅化、浅层化，应该真正学会思考、学会学习，达到更大的思维深度才是实现深度学习的关键.深度学习不只是数学教育的内在要求,也是对于浅度学习的必要纠正，更是现代社会与教育整体发展，即时代对于数学教育的更高要求叫.案例描述下面以笔者在清远市高中数学“点教研”上的一节市级公开课“椭圆及其标准方程”的教学实录为例进行论述.1.创设情境，导入新课(1)展示生活中的椭圆图片.教师：数学中的椭圆又是怎样的呢？学生：欣赏图片，抽象出椭圆.设计意图激发学生思考和想象，让学生对椭圆产生感性认识，从而体验生活中的数学美.(2)实验探究椭圆的画法.问题1 历史上画椭圆的方法有哪些？学生：课前查阅相关资料，了解历史上椭圆的画法，完成一篇数学研究报告。教师：用手机拍照后展示几位学生课前完成的研究报告.问题2 给你一根细绳和一支铅笔，如何画圆和椭圆？教师：邀请两组学生到黑板上画圆和椭圆，其他学生同桌合作，画出圆和椭圆.学生：两组学生到黑板上体验画圆和椭圆的过程基金项目：广东省教育科学规划课题“基于深度学习的高中数学教学案例研究”（2 0 1 9 YQJK500)和清远市教育科研课题“基于核心素养的高中数学建模教学案例研究”（2 0-2 9).作者简介：李毅（1 9 8 0 一），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，荣获2 0 2 2 年清远市教坛标兵，2 0 1 9 年“一师一优课、一课一名师”市级优课、县级优课.2023年8 月（下旬）2023 年8 月(下旬)教师：引导学生观察图形.学生：观察图形,归纳出a,b,c的几何意义.设计意图让学生体会数形结合思想和方程思想，更深入理解椭圆方0程中字母的含义，促进学生深度学习.问题9 如果椭圆的焦点在y轴图1图2设计意图激活学生已有的知识和经验，使学生学会建系技巧和策略.问题7 化简根式Vx+c)+y+V(x-c)+y=2a的方法有哪些？教师：要求学生结合导学案，提前推导，通过多媒体展示自己的成果，并且上讲台说自已的推导方法.学生：方法1,直接平方去根号，运算量相当大，方法2，移项后去根号一一教材上提供的解法，运算量小了很多.方法3,构造等差数列,巧妙化简，运算量更小.方法4，利用三角函数构造参数方程，再结合同角三角函数的关系化简即可，运算量又变小了.教师：比较上述几种化简方法，哪一种更简单?学生：方法2 和方法4 更简单.设计意图通过比较，让学生自主探寻最简洁的方程推导方案，充分暴露学生的思维过程，使学生由被动接受教材或教师提供的方法，变成主动获取，锻炼学生的数学关键能力，渗透数形结合思想方法，提升学生的理性思维能力和数学核心素养，并让学生感受椭圆方程、椭圆图形的对称美和简洁美.教师：观察x,2的系数以及常数项,考虑怎样能让方程(-c)x2+ay=a(-c2)更简洁?学生：全体口答.问题8 观察图3，你能在图中找出表示a,c,Va-c的线段吗？M0F图3上，那么椭圆方程又如何？教师：引导学生类比推理学生：类比得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.方法1：焦点的坐标变为F（0,-c),F(0,c),重复上面的推导过程。方法2：由学生动手列式，得到Vx+(y+c)2+Vx2+(y-c)=2a,引导学生观察方程的结构特征,用类比的方法得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为茶+宗a26212=1(ab0).设计意图引导学生利用类比思想、化归思想探求焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生体会问题的本质所在，简化运算。问题1 0 如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？学生：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上。教师：引导学生完成导学案表格内容(见表1).表1焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程焦点坐标a,b,c之间的关系焦点位置的判断设计意图强化学生对椭圆方程的理解,有助于教学目标的实现,培养学生的归纳能力,为后续学习做铺垫.例1 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.(1)到F(-1,0),F,(1,0)的距离之和为4 的点M的轨迹数学教学通讯投稿邮箱：(2)到F,(-1,0),F,(1,0)的距离之和为2 的点M的轨迹.(3)到F,(-1,0),F,(1,0)的距离之和为1 的点M的轨迹.学生：全体口答(过程略）.变式训练：已知椭圆禁2516(1)若椭圆上任一点C到一个焦点的距离为6,则点C到另一个焦点的距离为(2)若C为椭圆上任一点,则CF,F2的周长为_；若CD为过左焦点F的弦,则FCD的周长为例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0）,并且经过点(5_3),求它的标准方程，22教师：投影学生典型的案例，让学生上讲台讲解求解思路.学生：学生讲解,并板书解题过程.设计意图锻炼学生书面和口头表达的能力,发展学生的数学关键能力，促进学生深度学习。3.课堂小结教师：1)本节课学习的主要知识是什么？（2)求椭圆标准方程的常用方法是什么？（3)本节课涉及哪些数学思想方法？学生：学生回忆本节课所学内容，从内容、方法、思想三个方面进行归纳.设计意图训练学生的概括和表达能力，促进学生深度学习，提升学生的数学学科核心素养.4.课堂练习(1)动点P到两个定点F(-4,0),F(4,0)的距离之和为8,则点P的轨迹为(）A.椭圆C.直线F,F,(2)精圆芸+=1 上一点P到一2516个焦点的距离等于3,则它到另一个焦点的距离是(）A.5B.6课例评析(3)求适合下列条件的椭圆的标渗透数学文化，“解析几何”知识内容准方程:a-4,b=1,焦点在x轴上;a=无疑是很好的载体首先，学者对圆4,c=V15,焦点在y轴上;a+b=10,锥曲线知识内容的研究历史悠久.其c=2V5.次，圆锥曲线知识内容是高中阶段的核心知识，对学生数学思维品质的提学生：独立完成课堂限时训练.1+=1.教师：巡视学生课堂限时训练的情况，利用多媒体投影展示典型案例,给予鼓励性评价和建议.设计意图及时巩固本节课所学知识,训练学生的解题能力.5.课后作业作业1：人教版A版教材4 9 页A组第1 题和第2 题.作业2：(1)方程Ax?+By=1能表示哪些我们学过的曲线？(2)请同学们课后查阅历史上研究椭圆的相关资料，自选主题，完成一篇与椭圆有关的数学研究报告。设计意图设置不同层次的作业，满足不同学生的需求，锻炼学生的数学理性思维能力和表达能力.案例分析与讨论“数学学习共同体”，就是在一个教学班中,为了促进学生数学知识的增长和数学能力的提高，以及使学生形成一定的情感、态度和价值观，教师和学生结合成一个数学学习团体该团体所从事的是数学学习的实践活动，学生在数学上的发展则是通过数学实践活动而实现 4。因此,笔者从以下四个方面阐述本节课的教学设计是如何构建“数学学习共同体”，从而促进学生深度学习的.1.教学设计以任务导学，驱动学生主动了解数学文化，促进学生深度学习普通高中数学课程标准(2 0 1 7B.线段F,F2年版2 0 2 0 年修订）中特别强调要“注D.不能确定重数学文化的渗透”,要“不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”例如笔者设置活动让学生在课前查阅资料，了解椭圆的画法，并完成数学写作活动，C.7D.8升有重要作用.让学生课前查阅资料，正是把数学文化带入课堂，体现数学文化的实践价值，引导学生主动学习,提高教学的时效性,更是促进学生深度学习.2.教学设计以问题导教，引导学生主动学习和思考，促进学生深度学习以问题链为载体，将数学思想方法渗透到具体知识内容的教学中，通过探究式教学，让学生自觉主动地探索知识，促进学生深度思考.例如笔者在引入新课时设问：“给你一根细绳和一支铅笔，如何画圆和椭圆？”在辩析概念时又提问：“你认为在椭圆的定义中，我们需要注意哪些关键词句？在化简椭圆的标准方程时再提问：“化简根式V(x+c)+y?+V(x-c)+y=2a的方法有哪些？”本节课设计问题链，引导学生主动去学习和思考，培养学生的理性思维和创新意识问题链教学模式是以学生自主学习为主的新型教学模式,通过问题的探究和情境的设置，不仅能够充分调动学生学习的主动性,还能够培养学生的关键能力，促进学生深度学习.3.通过“说数学”活动锻炼学生的数学交流能力，促进学生深度学习建构主义学习观认为，“学习是个体积极主动的建构过程”5 本节课作为新授课，笔者设计“说数学”活动突破了本节课的教学难点一一椭圆标准方程的推导化简如果按照传统教学方法授课一一先让学生安静作答，然后由教师直接讲解推导方法，那么绝大多数学生对问题的思考不为师生所知.如此教学无法呈现学生对问题的思考过程.因此，笔者让学生说出自已对数学问题的思在课堂教学中充分渗透数学文化.(下转第4 5 页）2023 年8 月(下旬)教学实践认知水平由浅人深、由易到难的问的圆，再从现有图形出发，让学生寻题既可以调动学生学习的积极性，又找Vab，最终带领学生用图形语言能拓展学生思维的广度与深度，有助表述基本不等式。通过解决这些具于学习能力的提升.有层次性、梯度性的问题，深化学生例如本节课教学，笔者首先带领对知识的理解.学生从熟悉的情境出发，引出基本不最后，教师设计问题时应关注问等式；其次引导学生证明基本不等式，题的拓展性，引导学生多角度、多层从“数”的角度出发，从符号语言到文次、多方位进行思考，使学生真正把字语言再到图形语言，通过不同语言握知识本质，实现知识的融会贯通.的表征深化学生对基本不等式的理例如本节课教学,笔者引导学生对基解；最后通过基本不等式的适度变形，本不等式进行变形，这样既让学生从让学生从不同角度认识和理解基本更高的角度理解了基本不等式的本不等式这既符合学生的认知发展规律，又顺应学生的思维发展，有助于激发学生的数学学习兴趣和学习信心另外，理解基本不等式的几何意义是本节课的一个教学难点,为了突破这一难点，笔者先引导学生利用线段表示，然后引出半径为22质，又为接下来应用基本不等式解决问题奠定了坚实的基础.总之，在数学教学中，教师应从教学实际出发，精心设计问题，进而在问题的引领下培养学生的学习能力，发展学生的数学思维，提升学生的学习品质和学习质量.(上接第1 7 页)考全过程，引导学生“说知识”“说过程”“说反思”，就是为了暴露学生的数学思维状况，让学生展示自我建构数学知识的过程，是学生口头表达的具体表现，能有效提高学生的数学交流能力,从而促进学生深度学习 6.4.通过不同层次的作业发展学生的科学精神，促进学生深度学习普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版2 0 2 0 年修订明确指出：“高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握,更关注数学学科核心素养的形成和发展评价既要关注学生学习的结果,更要重视学生学习的过程.”笔者设计了不同层次的作业让学生课后去探究,尤其是研究性作业，不仅可以帮助学生巩固本节课所学知识，还能锻炼学生的关键能力，发展学生的数学核心素养数学写作的设置，让学生将自已对数学知识和数学学习过程的认识与理解、对数学学习的感想与体会用文字表达出来，锻炼学生的数学表达能力，从而促进学生深度学习 7 结束语笔者借助一节市级公开课的预设与生成,反思本节课的教与学通过设计“问题驱动”“说数学”“数学写作”等活动，发展学生的高阶思维，训练学生的数学关键能力，从而促进学生深度学习，发展学生的数学核心素养.参考文献：1郑毓信.数学教育文选 M.上海：华东师范大学出版社，2 0 2 1.2钟进均在高中数学教学中开展说数学活动的实验研究 J数学教育学报,2 0 0 8,1 7(0 5):9 8-1 0 2.3刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养 M.北京：教育科学出版社，2018.4 张晓贵数学课堂教学的社会研究M合肥：安徽教育出版社,2 0 0 7.5喻平.数学教育心理学 M.南宁：广西教育出版社，2 0 0 4.6钟进均高中“说数学”案例研究M.广州：广东经济出版社,2 0 1 7.7 钟进均.中学生数学写作研究 M.长春：吉林人民出版社，2 0 1 8.2023年8 月（下旬）445