2018-2019学年人教A版高中数学必修二：直线、平面垂直的性质(知识讲解+例题演练).doc

直线、平面垂直的性质【学习目标】1掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：3直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（2）若于，则。（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。要点二、平面与平面垂直的性质1性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法。2平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁 垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件 面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。（1）若a，b都平行于平面，求证：AB；（2）若a，b分别垂直于平面，且，求证：ABc。【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB，可先证明线与线的平行。（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明ABc。证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b。a，b，aa，bb。又AB，ABb，ABa，ABb，AB。（2）如图，过B作BB，则ABBB。又ABb，AB垂直于由b和BB确定的平面。b，bc，BB，BBc。c也垂直于由BB和b确定的平面。故cAB。【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直。如题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明。举一反三：【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A若m，m，则 B若，m，则mC若，m，则m D若，m，则m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。例2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明：AECD；（2）证明：PD平面ABE 【思路点拨】（1）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，从而证得CDAE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AEPC，由（）知CDAE，从而AE面PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE。【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又CDAC，PAAC=A，CD面PAC，AE面PAC，故CDAE（2）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得PA=AC，E是PC的中点，AEPC，由（1）知CDAE，从而AE面PCD，故AEPD由（1）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，PD面ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们举一反三：【变式1】如图，三角形ABCD中，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。 （1）求证：GF底面ABC；（2）求证：AC平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V。【答案】（1）（2）证明详见解析；（3）【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图） G、F分别是EC和BD的中点HGBC，HFDE，又ADEB为正方形，DEAB，从而HFABHF平面ABC，HG平面ABC，HFHG=H，平面HGF平面ABCGF平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图） G、F分别是EC和BD的中点GMBE，且，NFDA，且，又ADEB为正方形 BEAD，BE=ADGMNF且GM=NFMNFG为平行四边形GFMN，又MN平面ABC，GF平面ABC证法三：连接AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F是AE中点，GFAC，又AC平面ABC，GF平面ABC（2）ADEB为正方形，EBAB，GF平面ABC又平面ABED平面ABC，BE平面ABCBEAC又CA2+CB2=AB2ACBC，BCBE=B，AC平面BCE（3）连接CN，因为AC=BC，CNAB，又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED。三角形ABC是等腰直角三角形，CABED是四棱锥，类型二：平面与平面垂直的性质例3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。【解析】已知：，求证：。证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA，PB，PA，PB。PA，PB，PAPB=P，。 证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，mn。又，m，m，。证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使。，且，。同理，即与m重合。【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键。证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷。由此可见，我们必须熟练掌握这一推论。举一反三：【变式1】已知ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移ABC到A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1平面ABC，AA1=3a。如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角DAEC的正弦值。【解析】 AA1平面ABC，CC1AA1，CC1平面ABC。又CC1平面ACE，平面ACE平面ABC。作DHAC于H，DH平面AEC，作HFAE于F，连接DF，则DFAE，DFH是二面角DAEC的平面角。在RtADC中，。在RtADE（易证得）中，。在RtDHF中，。二面角DAEC的正弦值为。【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等。类型三：综合应用例4如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，ADFE，AFE=60，且平面ABCD平面ADEF，点G为AC的中点。 （1）求证：EG平面ABF；（2）求三棱锥BAEG的体积；（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。【思路点拨】（1）取AB中点M，连接MG，则EFMG，即得证。（2）转换三棱锥BAEG为EABG即可求得体积。（3）只要证明AECDE即可。【答案】（1）略（2）（3）略【证明】（1）证明：取AB中点M，连FM，GM。G为对角线AC的中点，GMAD，且，又FE，GMFE且GM=FE。四边形GMFE为平行四边形，即EGFM。又EG平面ABF，FM平面ABF，EG平面ABF。（2）作ENAD，垂足为N，由平面ABCD平面AFED，面ABCD面AFED=AD，得EN平面ABCD，即EN为三棱锥EABG的高 在AEF中，AF=FE，AFE=60， AEF是正三角形 AEF=60，由EFAD知EAD=60， 三棱锥BAEG的体积为（3）平面BAE平面DCE，证明如下：四边形ABCD为矩形，且平面ABCD平面AFED， CD平面AFED， CDAE 四边形AFED为梯形，FEAD，且AEF=60， FAD=120又在AED中，EA=2，AD=4，EAD=60，由余弦定理，得 EDAE又 EDCD=D AE平面DCE又 AE面BAE 平面BAE平面DCE例5如图1，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2()求证：平面；()求证：；()线段上是否存在点，使平面？说明理由【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化。【解析】()因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC，又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB()由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC所以DEA1DDECD所以DE平面A1DC而A1F平面A1DC，所以DEA1F又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE所以A1FBE()线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQBC又因为DEBC，所以DEPQ所以平面DEQ即为平面DEP由()知，DE平面A1DC，所以DEA1C又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP所以A1C平面DEP从而A1C平面DEQ故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ 举一反三： 【变式1】如下图，已知三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足。 （1）求证：PA平面ABC；（2）当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形。证明 ： （1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DFAC于F。因为平面PAC平面ABC，且交线为AC，所以DF平面PAC。又PA平面PAC，所以DFPA。作DGAB于G，同理可证DGPA。又因为DG、DF都在平面ABC内，且DGDF=D，所以PA平面ABC。 （2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）。因为E是PBC的垂心，所以PCBE。又已知AE是平面PBC的垂线，所以PCAE。所以PC平面ABE，所以PCAB。又因为PA平面ABC，所以PAAB，所以AB平面PAC，所以ABAC，即ABC是直角三角形。【总结升华】 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直面面垂直来实现的。因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的。【变式2】如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E、F分别是BC、PC的中点（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若AHE面积的最小值为，求四棱锥PABCD的体积【答案】（1）略；（2）【证明】（1）AEPD因为四边形ABCD是菱形，ABC=60，ABC为等边三角形因为E是BC的中点，AEBC，结合BCAD，得AEADPA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAEPAAD=A，且PA平面PAD，AD平面PADAE平面PAD，又PD平面PADAEPD（2）由（1），EA平面PAD，EAAH，即AEH为直角三角形，RtEAH中，当AH最短时，即AHPD时，AEH面积的最小此时，又AD=2，所以ADH=45，所以PA=2【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想【变式3】如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，()证明：；()求与平面所成角的正弦值【答案】（1）略（2）【解析】 （I）取AB中点E，连结DE、SE， 四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 侧面为等边三角形 又SD=1，为直角又， AB平面SDE， 又SD与两条相交直线AB、SE都垂直 SD平面SAB （II）作垂足为F，FGBC，垂足为G，连结SG AB平面SDE， 平面ABCD平面SED SF平面ABCD， ，又 FGBC， BC平面SFG， 平面SBC平面SFG作，H为垂足，则FH平面SBC又在中， ，在中， ，即F到平面SBC的距离为 ED/BC， ED/平面SBC， E到平面SBC的距离d也是设AB与平面SBC所成的角为，则