资源描述
直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；
3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
（2）若于，，则。
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面。
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化。
要点二、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
要点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法。
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：
在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．
垂直间的关系可按下面的口诀记忆：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清．
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件．
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝．
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见．
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线．
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面．
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间．
【典型例题】
类型一：直线与平面垂直的性质
例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）。
（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；
（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c。
【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行。（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c。
证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇。
∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇。
又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，
∴AB⊥。
（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇。
又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面。
∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c。
∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面。
故c∥AB。
【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直。如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明。
举一反三：
【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若⊥m，m，则⊥ B．若⊥，∥m，则m⊥
C．若∥，m，则∥m D．若∥，m∥，则∥m
【答案】B
【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）证明：PD⊥平面ABE．
【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
【解析】
（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．
（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．
举一反三：
【变式1】如图，三角形ABCD中，，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）求证：AC⊥平面EBC；
（3）求几何体ADEBC的体积V。
【答案】（1）（2）证明详见解析；（3）．
【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，
又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴GM∥BE，且，
NF∥DA，且，
又∵ADEB为正方形 ∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC平面ABC，
∴GF∥平面ABC
（2）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE
（3）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，
∵C—ABED是四棱锥，
∴
类型二：平面与平面垂直的性质
例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
【解析】已知：，，，求证：。
证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，
∵，∴⊥PA，⊥PB。
∵PA，PB，PA∩PB=P，
∴。
证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，
∵，，∴，，∴m∥n。
又，∴m∥，∴m∥，∴。
证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使。
∵，且，∴。
同理，∴，即与m重合。
∴。
【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键。证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷。由此可见，我们必须熟练掌握这一推论。
举一反三：
【变式1】已知△ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1平面ABC，AA1=3a。如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角D—AE—C的正弦值。
【解析】 ∵AA1⊥平面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥平面ABC。
又CC1平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABC。
作DH⊥AC于H，DH⊥平面AEC，作HF⊥AE于F，连接DF，
则DF⊥AE，∴∠DFH是二面角D—AE—C的平面角。
在Rt△ADC中，。
在Rt△ADE（易证得）中，。
在Rt△DHF中，。
∴二面角D—AE—C的正弦值为。
【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等。
类型三：综合应用
例4．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，，点G为AC的中点。
（1）求证：EG∥平面ABF；
（2）求三棱锥B—AEG的体积；
（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。
【思路点拨】（1）取AB中点M，连接MG，则EF∥MG，①即得证。
（2）转换三棱锥B—AEG为E—ABG即可求得体积。
（3）只要证明AE⊥CDE即可。
【答案】（1）略（2）（3）略
【证明】（1）证明：取AB中点M，连FM，GM。
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且，
又∵FE∥，
∴GM∥FE且GM=FE。
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM。
又∵EG平面ABF，FM平面ABF，
∴EG∥平面ABF。
（2）作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E—ABG的高
∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴ △AEF是正三角形
∴ ∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴
∴ 三棱锥BAEG的体积为
（3）平面BAE⊥平面DCE，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴ CD⊥平面AFED，
∴ CD⊥AE
∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AEF=60°，
∴ ∠FAD=120°
又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得
∴
∴ ED⊥AE
又∵ ED∩CD=D
∴ AE⊥平面DCE
又 AE面BAE
∴ 平面BAE⊥平面DCE
例5．如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化。
【解析】
(Ⅰ)因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC，
又因为DE平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB．
(Ⅱ)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC．
所以DE⊥A1D．DE⊥CD．
所以DE⊥平面A1DC．
而A1F平面A1DC，
所以DE⊥A1F．
又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE．
所以A1F⊥BE．
(Ⅲ)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．
所以平面DEQ即为平面DEP．
由(Ⅱ)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C．
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP．
所以A1C⊥平面DEP．
从而A1C⊥平面DEQ．
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．
举一反三：
【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。
证明 ： （1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F。
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC。
又PA平面PAC，所以DF⊥PA。
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA。
又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，
所以PA⊥平面ABC。
（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）。
因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE。
又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE。
所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB。
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，
所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形。
【总结升华】 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的。因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的。
【变式2】如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P—ABCD的体积．
【答案】（1）略；（2）．
【证明】（1）AE⊥PD
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
∴PA⊥AE
PA∩AD=A，且PA平面PAD，AD平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD平面PAD
∴AE⊥PD
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，
Rt⊥EAH中，，
当AH最短时，即AH⊥PD时，△AEH面积的最小
此时，．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．
【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．
【变式3】如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）略（2）
【解析】
（I）取AB中点E，连结DE、SE，
∴ 四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
∵ 侧面为等边三角形
∴
又∵SD=1，，
∴为直角．
又∵，
∴ AB⊥平面SDE，
∴．
又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
∴SD⊥平面SAB．
（II）作垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG
∵ AB⊥平面SDE，
∴ 平面ABCD⊥平面SED．
∴ SF⊥平面ABCD，
∵
∴ ，
又 ∵FG⊥BC，
∴ BC⊥平面SFG，
∵
∴ 平面SBC⊥平面SFG．
作，H为垂足，则FH⊥平面SBC．
又∵在中， ，
在中，
∴ ，即F到平面SBC的距离为．
∵ ED//BC，
∴ ED//平面SBC，∴ E到平面SBC的距离d也是．
设AB与平面SBC所成的角为α，则．
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