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沪教版高一数学3.1 函数的基本概念 讲义（无答案）第九讲：函数的概念【引例】下面我们举例对函数关系作进一步的分析，以便引入更为确定的语言来表达函数概念.（1）在研究学生好奇心指标随年龄增长的变化规律时，通过某次实验得到的数据如图所示.在这个图像中，给定1015岁的每一个年龄（以岁为单位），就对应一个好奇心指标.你能这个图中了解到哪些信息？（2）农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为31个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图.在玉米生长的31个时间段内，给定生长的某个时间段，就可从这张图中查到与这个时间段相应的玉米植株的高度.（3）下表列出了我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值.年份生产总值（亿元）199878 345199982 067200089 442200195 9332002102 398在这张表中给定1998年到2002年中的任一年，都可从表中查到当年的国内生产总值.（4）电路中的电压，电流与电阻之间的变化规律，用欧姆定律表示，即.这个公式表明，在电路中，电压（）不变，电流（）与电阻（）的变化成反比例关系只要测出电路中的电阻值，就可由上述公式计算出唯一的电流值.1.什么是函数？试评注函数的要素.如果在某个变化的过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，是的函数，记作.2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|xA 叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系探究若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定如函数yx与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如ysin x与ycos x，其定义域都为R，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数常见基本初等函数的定义域：(1)分式函数中分母不等于零。(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0。 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R。 (4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R. (5) ylogax(a0且a1)的定义域为(0，) (6)ytan x的定义域为. (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约3相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数例1求下列函数的定义域：（1）；（2）； （3）. 练习1 （1）； （2）；（3）.例2 判断下列各题两函数是否为同一函数？（1），；（2），；（3），；（4），.练习2判断下列各题两函数是否为同一函数？（1），；（2），；（3），.练习3 有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一个函数(2)函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数(4)若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_例3求函数，在处的函数值和值域.练习4 设集合Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列4个图形，其中能表示定义域为M，值域为N的函数关系的有_(填序号)例4（1）若是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求；（3）已知函数，求.练习5（1）已知，求，；（2）已知，求；（3）已知，求.课堂练习（1）判断下列曲线所确定的与之间的关系，哪些是函数关系（1） （2） （3） （4）（2）作出下列函数的图像并求出其值域： ，； ； .（3）设是任意的一个实数，是不超过的最大整数，试问和之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像.复合函数的定义域和值域 问 什么是复合函数？说明（1）复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。（2）称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。（3）与表示不同的复合函数。（4）若的定义域为，则复合函数中，注意：的值域.例5已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a等于()A. B.C2 D9练习6 设函数，求练习7 （1）若函数的定义域是，求的定义域；（2）若的定义域是，求函数的定义域；（3）已知定义域是，求定义域.（4）已知函数定义域是，求实数的取值范围.练习8 已知函数定义域是，求的定义域.【试总结复合函数求定义域的题型和方法】例6（1）已知 求；（2）已知 ，求.练习9（1）已知 ，求；（2）已知，求.（3）设函数的定义域为，则函数的定义域为 ；函数的定义域为_； （4）若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。（5）知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。【试总结复合函数求解析式的题型和方法】例7（1）已知是一次函数，满足，求；（2）已知，求.练习10（1）已知，求和；（2）已知，求.（3）设的定义域是，求的定义域.练习11 (1)已知f(1)x2，求出f(x)的解析式(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，试求出f(x)的解析式问 什么是分段函数？试总结几种常见的分段函数类型.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数例8 设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_ 练习12 写出下列函数的解析式并作出函数的图像：（1）设函数，当时，；当时，；（2）设函数，当时，；当时，；当时，例9已知函数，满足，且，.求，.练习13已知一个函数的定义域为区间，当时，对应法则为，当时，对应法则为，试用解析法与图像法分别表示这个函数.练习14已知函数，（1）求，的值；（2）若，求实数的值；（3）若，求实数的取值范围.练习15（1）设定义在上的函数，求的值.（2）定义新运算：当时，；当时，.函数，求实数的值.课堂练习1. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_.2. 作出下列函数的图像：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.3. 已知自变量与因变量之间有下列关系，写出函数表达式，并作出各函数的图像：（1）；（2）.4.（1）已知函数，满足，且，求，.（2）已知函数，满足，且，求，.5. 作函数的图像，并求，.6. 某学生离开家去学校,为了锻炼身体,开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图中轴表示离学校的距离，轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是（ ）7. 已知函数，若，求的值.11. 记为中的最小者，设，若，求.9下列各组中的两个函数是同一函数的为_(填序号)y1，y2x5；y1，y2；f(x)x，g(x)；f(x)，F(x)x；f1(x)()2，f2(x)2x5.10函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是_11已知f(x)若f(x)3，则x的值为_12函数y的定义域为_13设f(x)，g(x)，则fg(3)_，gf()_.14已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.15 (1)若f(x1)2x21，求f(x)的表达式；(2)若2f(x)f(x)x1，求f(x)的表达式；(3)若函数f(x)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，求f(x)的表达式作业1. 函数的定义域为_.2. 设是一次函数，且，则.3. 函数的定义域是，则其值域是_.4. 若，为一个正常数，且，则.5. 若已知函数，分别由下表给出：123131123321则的值_；满足的的值_.6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A与； B与；C与； D与；7. 若，则下列等式成立的是（ ）A；B；C；D.8. 已知，求的解析式.9. 已知函数，（1）求，的值； （2）求的值； （3）求的解析式.10. 已知函数的定义域为，求（）的定义域.11. 已知函数的定义域为，求（）的定义域.12. 设函数的定义域为，且，求函数的定义域.13. 已知的定义域为，求的定义域.14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是_.15. 若的定义域是，则的定义域是_.16. 设函数定义域是，求函数的定义域.17. 已知函数，又知，则.18. 已知函数，又知，则.19 已知函数，求.20 已知，求的解析式.21. 已知二次函数满足，且，求.13 / 13