基于线性规划模型钢材下料问题最优切割方案研究.pdf

科学技术创新 2023.23基于线性规划模型钢材下料问题最优切割方案研究田飞，符学勇（海南经贸职业技术学院，海南 海口）随着钢铁行业降本增效的日益深入,在钢材切割下料过程中有效提高钢材利用率,是每一个企业提高经济效益降低成本的重要途径。因而,关于钢材下料问题的研究越来越得到各施工企业的重视,也是国内外学者备受关注的热点问题,他们针对下料问题尝试使用线性规划法、分支定界法、动态规划法、启发式算法、模拟退火算法、遗传算法、演化算法等1-5选择最佳排样切割方案,提高钢材利用率,节省钢材,降低产品的生产成本。韩丹6开发了钢结构产品排样系统,系统可以快速从数据库中匹配出最符合产品尺寸的材料板材,然后提供高质量的排样方案。李宁7通过计算机辅助编程提高切割效率和切割质量。胡伟8通过新技术的手段深挖节材空间,来减少机加工切削余量,降低调质热处理的能耗,对后道工序降本。田双9针对单一规格的一维下料问题,建立一维下料问题的多目标数学模型,并阐述了求解该类问题的主要思路。鞠云鹏10针对二维矩形板件排板利用率问题,提出了一种矩形板件优化组合的排板算法。目前国内对该问题的研究大多数关注点是在计算机编程算法上,或者是较为简单的一维下料问题。而我们的研究视角是根据订单需求,满足不同情况下的下料问题。不同的下料策略,通过逐级优化和组合原理,建立了不同的线性规划模型,确定了最优的切割方式。1问题及数据来源问题及数据来源于 2021 年第十一届 MathorCup高校数学建模挑战赛 D 题“钢材制造业中的钢材切割下料问题”11。需要解决以下问题:(1)对工厂所有的原料,使用最少的张数,满足对5 种卷料的要求(不考虑浮动比例)并尽量提高总的成材率,给出切割方案。(2)对工厂所有的原料,使用最少的张数,满足对所有订单的要求(不考虑浮动比例)并尽量提高总的成材率,给出切割方案。2模型的建立与求解2.1问题 1在此问题中不考虑切割设备与钢板之间的摩擦等损耗、钢材原料厚度和切割的刀片厚度,假设设备排刀架上可以以任意间距排刀。按照零件的需求量,进行几种成品的配套优选,从而得出最佳下料方案。2.1.1按照零件需求量,进行几种成品的配套优选建立数学模型STEP1 对余料长度方向上建立约束条件:(1)且有作者简介院田飞（1981-），男，本科，副教授，研究方向：应用数学。符学勇（2002-），男，本科在读，研究方向：财务管理。摘要：随着钢铁行业降本增效的日益深入，在钢材切割下料过程中有效提高钢材利用率，是每一个企业提高经济效益降低成本的重要途径。本文就是根据原材料的数目、订单需求为约束条件，以成材率最高和原材料使用量最少为目标函数建立线性规划模型，求解出较优的切割方案，为钢铁企业节约原材料、降低产品成本、提高企业经济效益提供理论依据。关键词：钢材下料；线性规划；最优切割方案；成材率中图分类号院TP301.6文献标识码院A文章编号院2096-4390渊2023冤23-0194-052,11mij qjt qkmjkmFLbZd W 0F 194-2023.23 科学技术创新且如果则;如果则其中:F 表示第 q 种切割方式下长度方向的余料；表示原料长度；表示第 q 种切割方式下 Zj在 Li方向上能被排下的个数；Zj表示订单长度,其中；表示第 q 种切割方式下 Wj在 Mi方向上能被排下的个数；表示订单的宽度。其中有。STEP2 对切割矩阵建立约束条件,(2)式中:表示第 j 个订单在方向上被排下的个数；表示原材料 i 的宽度；表示组成切割矩阵的各个数值；表示订单 j 的宽度；表示第 n种切割方法。STEP3建立成品面积最小的目标函数(3)且有:且为整数其中:Si表示原材料 i 的面积；Rq表示第 q 种切割方式使用的次数；表示第 q 种切割方式下余料面积；表示第 j 的订单的 Wj在 Mi方向上能被排下的个数。STEP4 使用新易优化板材切割系统计算统计得出最佳切割方案。一共需要排 12 次刀,第 1 次排刀使用材料 1,可切割出订单一 1 块,订单二 0 块,订单三 4块,订单四 10 块,订单五 0 块；第 2 次排刀使用材料 1,可切割出订单一 6 块,订单二 2 块,订单三 0 块,订单四0 块,订单五 4 块,以后以此类推,112 次切割方案详见表 1。STEP5 建立总切割次数最少的线性规划模型:(4)其中:pi表示编号为 i 的原料；Rj表示第 j 种排刀切割的次数；Y 表示总切割次数。使用新易优化板材切割系统对模型(4)进行求解,得出每种材料的使用情况详见表 2。STEP6 通过新易优化板材切割软件的“原片剩料”功能,列举出所有余料,并按照余料标准(a.长度不小于 50 000 cm,且宽度不小于 100 cm;b.长度和宽度,其中一个不小于 2 000 cm,另一个不小于 1 000 cm，满足其一即可),判断每份余料是否满足余料回库要求,并计算出余料面积总和。余料可回收情况如表 3 所示。由表 3 可知:可回库余料总面积 H1:100994728.6389 cm2。STEP7 计算成材率jFZkmFWkmi,0j qb1,0mqb,0j qb1,0mqb(1,2,10)iL i L,j qb1,2,3,jmL,t qdkmWkm1,2,2kmmmL,j qj qijabM W,km qt qikmad M XijM WjWiMiM,j qajWnX1nqqqMinSRS,1mqiij qjjjSLMaZ W,1nj qqjqaRD0qR qSijM W表 1问题 1 钢材切割下料的 12 种最佳排刀方案排刀方案 订单一 订单二 订单三 订单四 订单五 使用的材料 1 1 0 4 10 0 2 6 2 0 0 4 3 4 2 5 0 2 材料 1 4 0 0 0 9 0 5 0 4 2 3 0 材料 6 6 4 1 0 0 1 7 0 4 4 0 0 8 4 1 1 0 0 材料 7 9 0 0 5 0 1 10 0 0 2 2 2 11 0 0 4 0 2 12 1 1 1 2 0 材料 8 1011njijiMinYRnp（其中）195-科学技术创新 2023.23其中:V 表示原材料的成材率;Fj表示订单 j 的面积;Hi表示总可回收的余料面积。2.1.2结论对于问题 1,在考虑到使用最少张数的原材料并尽量提高总的成材率的情况下,按照订单需求量,建立线性规划模型,得出 12 种最佳排刀方案、每种方案的切割次数、原材料的使用情况、余料可回收情况以及并算出成材率。2.2问题 2问题 2 与问题 1 相比增加了订单需求以及原材料种类,由于未涉及卷料和板料在剪切台上工作差异,所以参照问题 1 的模型更改订单需求,重新计算求出最佳方案。2.2.1按照零件需求量,利用问题 1 的数学模型,计算切割方案STEP1 再次利用问题 1 中数学模型(1)-(3),通过新易优化板材切割系统计算得出最佳切割方案,一共需要排 17 次刀,即:切割 17 次,第 1 次切割使用材料 1,切割出订单一 3 个,订单三 4 个,订单四 6 个,订单六 3个,订单七 16 个,订单十 1 个,订单十一 2 个,订单十三2 个,订单十四 22 个,第 117 次切割方案详见表 4。STEP2 使用新易优化板材切割系统对模型(4)进行重新求解,针对问题 2 得出每种材料的使用情况详见表 5。因此,可回库余料总面积 H2:128192220.829 cm2。STEP4 计算成材率为:2.2.2结论由于问题 2 中仅增加了订单的数量,比问题 1 中多出十种板料,其他条件不变,按照问题 1 中的方法解决,得出 17 种排刀方案、每种原材料使用情况、余料回收情况并算出成材率。3结论针对钢材切割下料两个具体问题,建立了线性规划模型,得出较优的切割方案,该方案有效地避免了大材小用,小材浪费的情况,大大提高了钢材的成材率,为企业降低了生产成本。该模型也可以推广到其他客户订单中使用,只要修改原材料和订单数据即可。参考文献1Gilmore P.C.Gomory R.E.A lineat programmingapproach to the Cutting stock problem-partJ.Oper原ations Research,1963,11:863-888.2HARALDDYCKHOFF.A New Linear Program 原511101100%92.53%jjjiiiF XHVS N原材料名称 长度/cm 宽度/cm 库 存数量 本次使 用量 材 料 1 148623.91 1519.91 5 5 材 料 6 138570.39 844.99 10 4 材 料 7 98641.28 1184.54 12 5 材 料 8 114074.27 879.02 9 4 使用总数量：18 长度/cm 宽度/cm 数量（张）原材料序号 剩余总面积/cm2 5133.91 845.76 3 1 13026167.16 54787.74 178.11 3 1 29274733.11 2435.32 1519.91 1 1 3701467.221 3267.39 1519.91 1 1 4966138.735 90568.78 131.41 1 1 11901643.38 5932.48 1184.54 3 7 21081779.58 4624.53 1184.54 2 7 10955881.53 54787.74 111.1 1 7 6086917.914 总可回库余料面积和：100994728.6389 表 2问题 1 每种原材料使用情况表 3问题 1 余料可回收情况521101100%95.95%jjjiiiF XHVS N196-2023.23 科学技术创新ming Approach ti the Cutting stock problem J.Op原erations Resesrch 1981,29:1092-1104.3Gerhard Wiischer,Thomas Gau.Heuristics for theInteger One dimensional Cutting stock problemJ.ORSpektrum,1996,18:131-144.4Chen Chunen-lung S,Hart Stephen M,Tham WaiMui.A simulated annealing heuristic for the one di原mensional Cutting stock problemJ.European Journalof Operation Research,1996,93:522-535.5Meghad HMA Jahromi,Reza Tavakkoli-Moghaddam,Ahmad Makuietc.Solving an one dimensional cuttingstockproblembysimulatedannealingandtabu 排刀方案 订单一 订单二 订单三 订单四 订单五 订单六 订单七 订单八 订单九 订单十 订单十一 订单十二 订单十三 订单十四 订单十五 1 3-4 6-3 16-1 2-2 22-2 3-8-31-4 21 14-16 3-5 10-6-4 6-5-16-材料 1 5-6-3-2-1 1-3-4 6-9-2-2 7-5-4-材料 6 8 3 1-2-6-3 9-4 3-1 4-6-1-10 4 1-1-10 2-3 11 4 1-1 4-1-12-4 4-5-13 4 2-16-14 2 1-3-1-材料 7 15-4-材料 8 16 1-5-15-12-17-5-10 4-8-材料10 表 4问题 2 钢材切割下料的 17 种排刀方案长度/cm 宽度/cm 数量（张）原材料序号 剩余总面积/cm2 54787.74 178.11 1 1 9758244.371 90568.78 131.41 1 1 11901643.38 88702.26 251.27 1 1 22288216.87 88702.26 251.27 1 1 22288216.87 54787.74 178.11 1 1 9758244.371 54787.74 178.11 1 1 9758244.371 54787.74 111.1 1 7 6086917.914 53479.79 187.67 1 7 10036552.19 106959.58 214.44 1 8 22936412.34 总可回库面积和：128192220.829 原材料名称 长度/cm 宽度/cm 原料库存 使用量数量 材料 1 148623.91 1519.91 5 5 材料 6 138570.39 844.99 10 3 材料 7 98641.28 1184.54 12 8 材料 8 114074.27 879.02 9 1 材料 10 58023.82 1785.45 10 2 使用总数量：19 表 5问题 2 每种原材料使用情况表 6问题 2 的余料可回收情况197-科学技术创新 2023.23Research on Optimal Cutting Scheme ofSteel Blanking Problem Based on Linearprogramming ModelTian Fei,Fu Xueyong(Hainan College of Economics and Business,Haikou,China)Abstract:With the deepening of cost reduction and efficiency increase in the steel industry,effectivelyimproving the utilization rate of steel during steel cutting and cutting is an important way for every enterpriseto improve economic efficiency and reduce costs.This paper is based on the number of raw materials,orderdemand as constraints,with the highest yield and the least use of raw materials as the objective function toestablish a Linear programming model,solve the optimal cutting scheme,and provide a theoretical basis foriron and steel enterprises to save raw materials,reduce product costs,and improve economic efficiency of en原terprises.Key words:steel blanking;linear programming;optimal cutting scheme;yieldsearch J.Journal of industrial Engineering Interna原tionalm2012,8:24.6韩丹等.钢材切割的最佳选材与优化排样的研究J.现代机械,2015,2(28):18-21.7李宁等.提高钢材利用率J.山东工业技术,2015,8(15):1.8胡伟等.运用仿真模拟提高锻件钢材利用率J.铸造与冲压,2020,6(1):26-30.9田双等.基于 Lingo 的求解一维下料问题简易算法设计与实现J.产业与科技论坛,2021,20(7):45-47.10鞠云鹏等.基于动态择优组合的板材切割下料算法J.青岛科技大学学报(自然科学版),2021,42(4):88-93.11https:/