2021-2022学年高中数学-第二章-解三角形-1.2-余弦定理课时素养评价北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第二章 解三角形 1.2 余弦定理课时素养评价北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第二章 解三角形 1.2 余弦定理课时素养评价北师大版必修5

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2.1.2 余弦定理
课时素养评价
(20分钟　35分)
1.设△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+c=2b,3sin B=5sin A,则C= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为3sin B=5sin A,
所以由正弦定理可得3b=5a,
所以a=b.因为a+c=2b,所以c=,
所以cos C==-,
因为C∈(0,π),所以C=.
【补偿训练】
在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sin Csin B,则A等于 (　　)
A.60° B.45° C.120° D.30°
【解析】选C.由正弦定理得a2-c2-b2=bc,
结合余弦定理得cos A==-,
又A∈(0,π),所以A=120°.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论不正确的是 (　　)
A.a2=b2+c2-2bccos A B.asin B=bsin A
C.a=bcos C+c cos B D.acos B+bcos A=sin C
【解析】选D.选项A,是余弦定理,所以该选项正确;
选项B,实际上是正弦定理=的变形,
所以该选项是正确的;
选项C,由于sin A=sin(B+C),所以sin A=sin Bcos C+cos Bsin C,所以a=
bcos C+ccos B,所以该选项正确;
选项D,acos B+bcos A=2R(sin Acos B+sin Bcos A)=2Rsin C(R为△ABC的外接圆半径),不一定等于sin C,所以该项是错误的.
3.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.cos B===+≥,因为0<B<π,所以B∈.
4.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则·=　　　　. 
【解析】在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则·=ca·cos B=
ca·=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.
答案:19
5.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是　　　　. 
【解析】只需让3和a所对的边均为锐角即可.
故解得2<a<.
答案:2<a<
6.在△ABC中,若ccos B=bcos C,cos A=.
(1)求sin B的值.
(2)若b=2,求a.
【解析】方法一:(1)由ccos B=bcos C,
结合正弦定理得sin Ccos B=sin Bcos C,
故sin(B-C)=0,因为0<B<π,0<C<π,
所以-π<B-C<π,
所以B-C=0,B=C,故b=c.
因为cos A=,所以由余弦定理得3a2=2b2,
再由余弦定理得cos B=,故sin B=.
(2)由(1)知b=c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=4+4-2×2×2×=,则a=.
方法二:(1)由余弦定理和ccos B=bcos C得
c×=b×,化简得b=c,
cos A===,故3a2=2b2,
即a=b,又由cos A=,知sin A=,
由正弦定理得sin B==×=.
(2)因为cos A=,所以sin A=,
由正弦定理得a===.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cos2=,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为cos2=及2cos2-1=cos A,所以cos A=,即=,
所以a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,=,则A= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为=,所以由正弦定理得=,化简得b2+c2-a2=bc,
所以cos A===.
又因为0<A<π,所以A=.
3.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由余弦定理可知cos C===,
可得=3,又由余弦定理可知:
cos B===.
4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC= (　　)
A.5 B. C.2 D.1
【解析】选B.由面积公式得:×1×sin B=,
解得sin B=,
所以B=45°或B=135°,当B=45°时,由余弦定理得:AC2=1+2-2cos 45°=1,所以AC=1,
又因为AB=1,BC=,
所以此时△ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;
所以B=135°,由余弦定理得:AC2=1+2-2cos 135°=5,所以AC=.
【误区警示】本题易由sin B=直接得出B=45°,从而产生错误.
5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若bsin A-acos B=0,且b2=ac,则的值为 (　　)
A.2 B. C. D.4
【解析】选A.在△ABC中,因为bsin A-acos B=0,且b2=ac,
由正弦定理得sin Bsin A-sin Acos B=0,
因为A∈(0,π),则sin A>0,
所以sin B-cos B=0,
即tan B=,解得B=,
由余弦定理得b2=a2+c2-2acosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3b2,
即4b2=(a+c)2,解得=2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos B=cos C,a=,则S△ABC=　　　　. 
【解析】因为cos B=cos C,
所以=,结合c=b,
化简得a=b,从而有b2+c2=a2,
即△ABC为直角三角形,将c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以S△ABC=bc=.
答案:
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则的值为
　　　　. 
【解析】因为a2=b2+c2,所以b2=a2-c2.
所以cos B===.
所以==.
答案:
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+
accos B+abcos C的值是　　　　. 
【解析】因为cos A=,
所以bccos A=(b2+c2-a2).
同理accos B=(a2+c2-b2),abcos C=(a2+b2-c2),
所以bccos A+accos B+abcos C=(a2+b2+c2)=.
答案:
8.若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是　　　　. 
【解析】①若x>3,则x所对角的余弦值<0且2+3>x,解得<x<5.
②若x<3,则3所对角的余弦值<0且x+2>3,解得1<x<.
故x的取值范围是(1,)∪(,5).
答案:(1,)∪(,5)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b)(a-b)=c(c-b).
(1)求角A的大小;
(2)若a=bcos C,c=2,求△ABC的面积S.
【解析】(1)由a2-b2=c2-bc,可得cos A==,又A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理得sin A=sin(B+C)=sin Bcos C,
即cos Bsin C=0.
因为sin C≠0,故cos B=0,
所以B=,又c=2,所以a=2,
所以S==2.
10.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,
所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,
所以cos A==-,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由(1)知A=,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A=AC2
+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.
因为AC·AB≤(当且仅当AC=AB时取等号),所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-=(AC+AB)2,
解得:AC+AB≤2(当且仅当AC=AB时取等号),
所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+2,
所以△ABC周长的最大值为3+2.

1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,sin(A+C)=,且A,B,C成等差数列,则C的大小为　　　　. 
【解析】在△ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C=π-B,
即B=,sin(A+C)=,
即为sin B=,即有b2=c2+ac,
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,即有a=2c,b=c,cos C=
==,
又因为C为三角形的内角,所以C=.
答案:
2.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).

(1)若c=5,求sin A的值;
(2)若A为钝角,求c的取值范围.
【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0),
所以AB=5,当c=5时,BC=5,
所以AC= =2.
由余弦定理知cos A===.
因为0<A<π,
所以sin A= ==.
(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),
所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2,
由余弦定理得cos A=.
因为A为钝角,所以cos A<0,
即AB2+AC2-BC2<0,
所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c<0,所以c>.
故c的取值范围为.