2021-2022学年高中数学-第二章-解三角形-1.2-余弦定理学案北师大版必修5.doc

2021-2022学年高中数学 第二章 解三角形 1.2 余弦定理学案北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第二章 解三角形 1.2 余弦定理学案北师大版必修5

年级：
姓名：

1.2　余 弦 定 理

导思
1.余弦定理的内容是什么?
2.余弦定理可以解决哪些问题?
1.余弦定理
公式表达
语言描述
a2=b2+c2-2bccos A
b2=a2+c2-2accos B
c2=a2+b2-2abcos C
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
【说明】对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.

(1)余弦定理和勾股定理有什么关系?
提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(2)观察余弦定理的符号表示及推论,你认为余弦定理可用来解哪类三角形?
提示:①已知两边及其夹角,解三角形;
②已知三边,解三角形.
2.余弦定理的变形
cos A= __,cos B= __, 
cosC= __. 

在△ABC中,若c2=a2+b2,则该三角形是什么三角形?
提示:因为c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,故cos C==0,所以C=90°,从而△ABC为直角三角形.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)余弦定理仅适用于锐角三角形或钝角三角形. (　　)
(2)若已知两边和一边所对的角,不能用余弦定理解三角形. (　　)
(3)在△ABC中,若sin2C>sin2A+sin2B,则△ABC为钝角三角形. (　　)
(4)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. (　　)
提示:(1)×.余弦定理对任意三角形都成立.
(2)×.如已知a,b和A可利用公式a2=b2+c2-2bccos A求c,进而可求角B和C.
(3)√.根据正弦定理可得c2>a2+b2,故a2+b2-c2<0,所以cos C=<0,,故C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
(4)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该三角形唯一.
2.某同学用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形,则他将 (　　)
A.画不出任何满足要求的三角形
B.画出一个锐角三角形
C.画出一个直角三角形
D.画出一个钝角三角形
【解析】选D.令长度较长的边所对的角为θ,则cos θ=<0,所以他将画出一个钝角三角形.
3.(教材二次开发:例题改编)为测出小区的面积,进行了一些测量工作,所得数据如图所示,则小区的面积为 (　　)

A. km2 B. km2
C. km2 D. km2
【解析】选D.如图,连接AC,

AC==,
则∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC是直角三角形,
所以S△ABC=.
因为∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°,
所以△ADC是等腰三角形,
3=2×AD2-2AD2cos 150°,AD2=6-3,
S△ADC=AD2sin 150°=.
S四边形ABCD=+=(km2).
关键能力·合作学习
类型一　余弦定理的应用(逻辑推理)

1.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则A等于 (　　)
A. B.
C.或 D.
2.在△ABC中,已知面积为S,且4S=a2+b2-c2,则角C的度数为 (　　)
A.135° B.45° C.60° D.120°
3.在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶,求△ABC中最大角的度数.
【解析】1.选D.因为a2=b2+c2+bc,
所以b2+c2-a2=-bc.
由余弦定理的推论得cos A===-,
又0<A<π,所以A=.
2.选B.由cos C=,可得a2+b2-c2=2abcos C,
故由4S=a2+b2-c2得4××absin C=2abcos C,
整理可得tan C=1,
又因为角C为△ABC的内角,所以C=45°.
3.因为a∶b∶c=2∶∶,
所以令a=2k,b=k,c=k(k>0),由b<a<c,
知C为△ABC最大内角,cos C===-,又0°<C<180°,所以C=
150°.

利用余弦定理解三角形的方法
(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况:
①若已知角是其中一边的对角,有两种解法,一种方法是利用正弦定理先求角,再求边;另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
②若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求解.
(2)已知三角形的三边或其比值解三角形:
①已知三角形三边求角时,可先利用余弦定理求角,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时,要根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏解.
②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边解三角形.
【补偿训练】
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=________. 
【解析】依题意得2b×=a×+c×,即a2+c2-b2=ac,
所以2accos B=ac>0,cos B=.
又0<B<π,所以B=.
答案:
类型二　三角形的形状判断(逻辑推理、数学运算)
【典例】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,确定△ABC的形状.
四步
内容
理解
题意
判断三角形的形状,即判断该三角形是怎样的特殊三角形.
思路
探求
可利用余、正弦定理,将2cos Asin B=sin C化为三角形边或角之间的关系,进而得出结论.
书写
表达
方法一:由正弦定理得=,
由2cos Asin B=sin C,有cos A==.
又由余弦定理得cos A=,
所以=,
即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,
即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方法二:因为A+B+C=180°,
所以sin C=sin(A+B),
又因为2cos Asin B=sin C,
所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin(A-B)=0.
又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B.
又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得(a+b)2-c2=3ab,
所以a2+b2-c2+2ab=3ab,
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理得cos C===,
又0°<C<180°,
所以C=60°.
所以△ABC为等边三角形.
题后
反思
本题求解的关键是正确应用正、余弦定理.

判断三角形形状的两条途径
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
提醒:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不要直接约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

在△ABC中,已知(a2+c2-b2)cos2=acsin Asin B(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为 (　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选A.在△ABC中,因为(a2+c2-b2)cos2
=acsin Asin B,
所以·2cos2=sin Asin B,
由余弦定理得cos B·2cos2=sin Asin B,
所以cos B(cos A+1)=sin Asin B,
即cos Bcos A-sin Bsin A+cos B=0,
即cos(A+B)+cos B=0,
即cos(π-C)+cos B=0,
即cos C=cos B.即C=B.
即△ABC是等腰三角形.
类型三　正、余弦定理的应用(数学运算)
【典例】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos ∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
【思路导引】(1)可利用正弦定理求出sin∠ADB,再求出cos∠ADB.
(2)可利用诱导公式求出cos∠BDC,再利用余弦定理求BC.
【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由题设知,=,
所以sin ∠ADB=.
由题意知,∠ADB<90°,
所以cos ∠ADB==.
(2)由题意及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=.

在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos ∠BDC=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=2A,a+c=10,cos A=.求:(1)的值;(2)b的值.
【解析】(1)因为cos A=,所以由正弦定理得===2cos A=.
(2)由(1)知=,
又a+c=10,两式联立得a=4,c=6.
由余弦定理得42=b2+62-12b×,
即b2-9b+20=0,解得b=4或b=5.
当b=4时,a=b,所以B=A,
又A+B+C=180°,且C=2A,所以A=B=45°,
所以cos A=cos 45°=≠,不符合题意,舍去;
当b=5时,经检验符合题意,所以b=5.
综上知b的值为5.

正、余弦定理的综合应用
(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段.
(2)在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理,还是余弦定理,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用某个定理的信息.
(3)解题时注意三角恒等变换的应用.

1.如图,在△ABC中,D是BC上的点,且AC=CD,2AC=AD,AB=2AD,则sin B=
(　　)

A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意设AD=2x,则AC=CD=x,AB=4x,在△ADC中,由余弦定理可得cos∠ADC==,所以sin∠ADB=sin∠ADC==,所以在△ADB中,由正弦定理得sin B===.
2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选C.由于sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,
根据正弦定理可知a2≤b2+c2-bc,
故cos A=≥.
又A∈(0,π),所以A的范围为.
3.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;
(2)若sin A+sin C=,求C.
【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos 150°,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2.
△ABC的面积为×2×2×sin 150°=;
(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,
所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=sin(30°+C),
故sin(30°+C)=.而0<C<30°,
所以30°+C=45°,故C=15°.
课堂检测·素养达标
1.若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段 (　　)
A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
【解析】选B.因为三角形最大边对应的角的余弦值cos θ==>0,所以能组成锐角三角形.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,
cos A=-,则= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,
由余弦定理推论可得-=cos A=,
所以=-,
所以=,
即=×4=6.
3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若<0,则△ABC (　　)
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
【解析】选C.因为=cos C<0,
所以C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=7,若△ABC的面积为,则其周长是________. 
【解析】根据余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=49.
根据面积公式:S=bcsin A=bc=,
故bc=15.
故(b+c)2=b2+c2+bc+bc=64,
故b+c=8,故周长为15.
答案:15
5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且2asin B=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
【解析】(1)由2asin B=b及正弦定理=,
得sin A=.因为A为锐角,所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36,
又b+c=8,所以bc=,
所以S△ABC=bcsin A=××=.