基于函数思想的高中数学解题探究.pdf

解题技巧与方法 数学学习与研究 基于函数思想的高中数学解题探究基基基基基于于于于于函函函函函数数数数数思思思思思想想想想想的的的的的高高高高高中中中中中数数数数数学学学学学解解解解解题题题题题探探探探探究究究究究朱坤密（云南省曲靖市民族中学，云南 曲靖）【摘要】函数思想是解决数学问题的一种思维策略，培养学生基于函数思想解题的能力可有效发展学生思维，达到提高学生问题解决效率的目的目前，部分学生在进行数学解题的过程中时常会被复杂的公式、烦琐的表象困扰，难以找到突破口，解题效率与质量不尽如人意为提高学生解题效率，发展学生思维能力，文章从函数思想在高中解题中的常用方法以及应用意义出发，立足函数思想与数学解题的内在关联，探讨如何在不等式、数列、立体几何等题型练习中应用函数思想，降低解题难度旨在帮助学生在函数思想的引领下，实现思维能力的发展【关键词】函数思想；高中数学；解题；教学策略解题教学是高中数学教学中的重点内容，以问题为导向引导学生在解题过程中能深化理论知识的理解，顺利地完成知识的迁移与运用掌握数学意味着善于解题，函数思想贯穿学生高中学习的整个阶段，在解题教学中引导学生基于函数思想解决问题，不仅能帮助其利用函数将各个零散知识进行串联，构建完善的知识体系，而且能提高学生的思维能力，使学生掌握举一反三、一题多解等技能，对其后续学习发展大有裨益因此，教师需要深入解析函数思想的基本内涵，并结合高中生思维能力及教学内容，完善解题教学形式，帮助学生灵活运用，提高其解题能力一、函数思想在高中数学解题中的常用方法现阶段在高中数学解题教学中，大部分教师在应用函数思想解题时通常会采用整体法、递推法及归纳假设法，为更好地发挥函数思想的价值引领，笔者对以上三种常用方法进行解释“整体”即为由内在关系部分所组成的体系对象，各个组成部分之间存在某种联系整体法需要学生细致阅读题目信息，明确数学问题整体与局部之间的关联，基于整体角度对数学问题进行整合，使用函数思想进行求解此种方法对学生思维能力以及知识迁移能力具有较高要求递推法通常适用于具有规律的数学题，学生可以利用函数思想结合题目中的线索，根据递推关系构建与之相应的函数，如在高中阶段常见的等差数列、等比数列等运用递推法，可提高解题效率部分数学题目由于学生不了解其中的具体性质，在解题过程中可以借助函数思想从整体角度出发进行归纳与假设，得到结果后再以逆推的方法将结果带入原式进行验证二、在数学解题教学中应用函数思想的意义函数思想主要体现了处于变化中的量和量之间的关系帮助学生养成运用函数思想解决数学问题的习惯具有以下价值：基于函数思想解决问题可以通过函数的意义综合不同知识点，使得函数成为主线串联各知识点，帮助学生构建更为完善的知识体系，掌握复杂数学知识，提高学习效率；运用函数思想解决数学问题，可以帮助学生摆脱在过往解题过程中无序思考的问题，养成严谨的逻辑思维，根据函数的本质及概念探寻其与题目的内在联系，在解题中深化对相关数学知识的理解；在解题教学中渗透函数思想可以帮助学生提高解题能力，使学生形成具备运用函数思想解题的意识，从多种角度探寻数学问题与函数之间的内在联系，逐渐养成一题多解、举一反三的基本能力由此可见，在高中数学解题教学中渗透函数思想，能帮助学生在提高解题能力的同时形成严谨的逻辑思维，构建知识体系，对其核心素养的形成具有积极的促进作用因此，教师需要及时转变自身教育理念，向学生传授函数思想解题的基本方法，帮助学生形成良好的自主探究意识三、在数学解题教学中应用函数思想的策略（一）函数思想在不等式问题中的应用不等式是学生接触高中阶段数学学习的初始章节，也是学生接触一元二次函数的重要基础为帮助学生提高问题解决能力，在解决不等式相关问题的过程中，教师可以引导学生回顾初中阶段学习过的一次函 解题技巧与方法 数学学习与研究 数与不等式知识，从实际情境中抽象出一元二次不等式的求解过程，建立起不等式与函数之间的内在联系，从而利用函数的观点将其统一整合，凸显数学知识的联系性与整体性，便于学生轻松解决不等式问题以人教版 版数学教材必修第一册“二次函数与一元二次方程、不等式”一课教学为例，在本课学习中，教师可以设计这样的一道问题：某知名化妆品工厂引进了一款全新的美白产品，已知这条生产线所生产的产品数量（件）与创造的价值（元）存在 的函数关系若该工厂老板想在“双十一”期间，利用一周实现该产品 元以上创收，则工厂这一周内大约需要产生多少件该产品？解析 在解决此问题的过程中，教师首先应指导学生仔细读题，整理重要线索，根据题意得到不等式，并通过移项得出 然后，教师可以指导学生根据“方程 ，方程有两个实数根，”，运用函数思想，画出二次函数 的图像（如图）：图 结合图像教师可以指导学生主求解，得到不等式解集，且因为 的数值只能取整数，所以得到这条生产线所生产的该产品数量在 件时，这家工厂可以利用一周实现该产品 元以上创收在完成解题后，为发展学生的逆向推理思维，教师还可以鼓励学生将所求数值代入原式进行计算，从而帮助学生进一步掌握运用函数思想解决不等式的基本方法在解决不等式相关问题的过程中，教师通过引导学生基于函数思想进行解题，可以帮助学生进一步体会利用函数观点统一方程及不等式的数学思想方法，从而有效提高学生解决问题的质量与效率（二）函数思想在数列问题中的应用近年来，高考试卷中经常出现数列问题，许多学生在计算过程中极容易陷入惯性思维，出现结果计算失误从而导致丢分的问题基于这一情况，在讲解数列问题的过程中，教师可以利用函数思想，指导学生将数列视为一种特殊的函数，将数列中的数字视为自变量，根据函数思想当自变量不断增大时便可以得到相应数值的函数，最后根据图像完成数列问题的解答以人教版 版数学教材必修第二册“等差数列”一课教学为例，在讲解等差数列的通项公式时，教师利用一次函数知识指导学生完成对通项公式（）的记忆，可为学生提供了这样的一道问题，并指导学生运用函数思想求解：已知等差数列的前 项和为，若 ，公差 ，求 的最大值，以及取得最大值时 的值在本题计算过程中若直接采用等差数列计算方法列出 的等式极难容易计算数值，针对这一情况，教师便可以指导学生基于函数思想对题目进行分析：根据已知条件可得到为递减数列，可以将问题转化为“求的所有正项数的和”，得到，将 视为二次函数（）（如图）：图 观察图像内容可看出 关于 的图像开口向下，故而可以利用二次函数求解：由 得到应为递减数列，又由 （）（），得到，所以，即当 的值为 或 时，的数值最大，得到 的最大值为 在解决完此道问题后，为发展学生一题多解的能力，教师还可以鼓励学生自主尝试其他的解题方法，并借机对题目进行调整，提出：如果当 时，是否有最大值？从而引导学生向更深处探索数列问题是高中数学教学中的重点项目，引导学生使用函数思想解决数列问题，可以帮助学生避免在解题技巧与方法 数学学习与研究 复杂的运算中迷失方向，借助函数的相关性质，以清晰的图像高效且迅速地解决此类问题，从而在训练中提高解题准确率，为学生后续参与高考做好准备（三）函数思想在立体几何中的应用在解答立体几何相关问题的过程中，为帮助学生掌握函数思想在解析几何解题过程中的应用，教师可以发挥技术手段的优势，整理并搜集其他地区的高考试题或模拟练习题，帮助学生在训练中了解题型的特点，掌握良好的解题技巧，提高自身解题能力以人教版 版数学教材必修第二册“空间点、直线、平面之间的位置关系”一课教学为例，在本课教学中，教师可向学生提供了 高考真题江西卷中的一道问题：如图，已知正四棱锥 所有的棱长都为，点 是侧棱 上一动点，过点 垂直于 的截面将正四棱锥分成上、下两部分记（），截面下部分体积为（），则函数 （）的图像大致为（）图 基于此问题，部分学生尝试设，交于点，使得 成为 的中点，令截面为三角形，设截面交 于，交 于，交 于，交 于，连接，的方法进行求值计算然而由于题目中所需要假设的信息过多，大部分学生都在解题过程中出现失误这时，教师便可以有意识地指导学生运用函数思想，根据函数定性法观察图形，可知当 时随着 的增大（）单调递减，且速度增快；当 时，随着 的增大（）单调递减的速度越来越慢，根据 四个选项，不难发现只有 选项中的图像才符合，故而选出正确答案与此同时，教师还可以引导学生根据线性函数相关知识采用排除法尝试进行求解在这一环节中，学生发现利用函数思想可以便捷地计算得出结果，在教师的引导下掌握解题技巧在立体几何中运用函数思想解决相关问题，能够帮助学生更好地掌握几何知识，但是由于立体几何时常出现在大题中，运用函数思想解题计算量相对较大，因而教师在指导学生训练的过程中也要注意对学生耐心、专注力的培养，防止其出现计算失误等情况，影响其数学成绩结 语综上所述，在高中数学解题教学中渗透函数思想，能够帮助学生掌握科学的解题方法，提高自身思维能力，在函数思想的指引下构建完善的知识体系为提升解题教学质量，教师应深入分析函数思想的具体内涵，并结合高中生的思维能力以及教学内容进行设计，保障每一名学生都能够在良好的学习环境中取得收获，积累知识相信在广大教师的共同努力下，高中数学解题教学质量将会得到稳定提升，学生能够通过解题训练提高数学成绩，发展自身综合能力【参考文献】石舢函数思想在高中数学中的应用教学考试，（）：吴小妹寻味数学思想方法，探索数学解题策略数学学习与研究，（）：邵春燕，高中数学解题教学中函数思想的应用数理天地（高中版），（）：马建文基于函数思想的高中解题教学策略学周刊，（）：李德祥基于函数思想的高中数学解题研究高考，（）：