山东省淄博市沂源县第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题.doc

山东省淄博市沂源县第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

山东省淄博市沂源县第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题

年级：
姓名：

17

山东省淄博市沂源县第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在等差数列{an}中，a1+a2＝3，a5+a6＝7，则a9+a10＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11

2.设函数f（x）＝x，则＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S4﹣S3＝，则数列{an}的前4项和为（　　）
A． B． C． D．

4.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”．注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（　　）

A．3 B．12 C．24 D．48
5.若曲线f（x）＝在点（1，f（1））处的切线过点（﹣1，0），则函数f（x）的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）

6.已知正项等比数列{an}中a9＝9a7，若存在两项am、an，使，则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
7.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：
①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；
②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；
③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8.若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（　　）
A．2e B．e C．1 D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。
9.设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（　　）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5＞S6

10.设点P是曲线y＝ex﹣x+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（　　）
A．[） B．[，）
C．[0，） D．[0，）∪[，π）

11.下列说法中正确的是（　　）
A．若数列{an}前n项和Sn满足，则an＝2n﹣1
B．在等差数列{an}中，满足a1＝20，S10＝S16，则其前n项和Sn中S13最大
C．在等差数列{an}中，满足a5＝3，则数列{an}的前9项和为定值
D．若tanx＝2，则
12.已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（　　）
A．﹣2ln2﹣ B．﹣ln2﹣ C．0 D．ln2﹣
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝4S5＝100，则an的通项公式为　　　．

14.已知函数f（x）＝f'（3）x2+5x，则f'（1）＝　　　　．

15.曲线f（x）＝sinxcos2x在点（，f（））处的切线方程为　　　　．
16.定义max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，
令h（x）＝max{f（x），g（x）}，则h（x）的极大值为　　　　．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在等比数列{an}中
（1）已知a1＝13，q＝﹣2，求a6；
（2）已知a3＝20，a6＝160，求Sn

18.设函数
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．

19.已知函数f（x）＝x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若0＜a≤1，求f（x）的单调区间．

20.在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a3﹣a2＝8，又a1、a5的等比中项为16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．

21.设数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣a1，且a1，a2+2，a3成等差数列，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值；
（3）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Rn．

22.已知函数f1（x）＝ax2+bx+c，f2（x）＝ex．
（1）当a＝，b＝1，c＝0时，设f（x）＝mf2（x）﹣f1（x），且函数f（x）在R上单调递增．
①求实数m的取值范围；
②设h（x）＝（x2﹣3m）f2（x），当实数m取最小值时，求函数h（x）的极小值．
（2）当a＝0，b＞1，c＝1时，证明：函数g（x）＝f2（x）﹣f1（x）有两个零点．
高二阶段性测试数学试题参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】D
【分析】根据等差数列的性质可得：（a1+a2）+（a9+a10）＝2（a5+a6），即可求出．
【解答】解：（a1+a2）+（a9+a10）＝2（a5+a6），则a9+a10＝2×7﹣3＝11，
故选：D．
【知识点】等差数列的性质

2.【答案】B
【分析】根据题意，由导数的定义可得＝f′（1），求出f（x）的导数，求出f′（1）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，＝＝f′（1），
又由f（x）＝x，则f′（x）＝1，则有f′（1）＝1，
则有＝1；
故选：B．
【知识点】导数及其几何意义、变化的快慢与变化率
3. 【答案】A
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得a4＝，由等比数列的通项公式可得q的值，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a1＝2，S4﹣S3＝，即a4＝，
则q3＝＝，则q＝，
故数列{an}的前4项和S4＝＝，
故选：A．
4. 【答案】C
【分析】根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列{an}，由等比数列的定义可得数列{an}是公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和可得S7＝＝127a1＝381，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列{an}，则数列{an}是公比为2的等比数列，
又由“共灯三百八十一”，则有S7＝＝127a1＝381，解可得a1＝3，
则中间层的灯盏数a4＝a1q3＝24，
故选：C．
【知识点】等比数列的前n项和
5. 【答案】D
【分析】先利用导数求出函数在（1，f（1））处的切线方程，然后将点（﹣1，0）代入切线方程，即可求出a的值，最后利用导数的符号大于零即可求解．
【解答】解：由题意得，
所以k＝，且f（1）＝．
故函数f（x）在（1，f（1））处的切线为：
，将点（﹣1，0）代入得a＝1．
则，由f′（x）＜0得x＜0且x≠﹣1．
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）．
故选：D．

6.【答案】A
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正项等比数列{an}中a9＝9a7，
所以q2＝＝9，即q＝3，
若存在两项am、an，使，
则＝27a12，
所以m+n＝5，m＞0，n＞0，m≠n），
则＝（）＝＝5，
当且仅当且n+m＝5即m＝1，n＝4时取等号，
故选：A．
【知识点】等比数列的通项公式
7. 【答案】D
【分析】根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调性，根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断出①②④的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率，判断出③的对错．
【解答】解：由导函数y＝f′（x）的图象知
f（x）在（﹣∞，﹣3）单调递减，（﹣3，+∞）单调递增
所以①﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，即最小值点
故①对②不对
∵0∈，（﹣3，+∞）
又在（﹣3，+∞）单调递增
∴f′（0）＞0
故③错
∵f（x）在（﹣3，+∞）单调递增
∴y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增
故④对
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件
8. 【答案】C
【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果．
【解答】解：∵，
∴＜，
据此可得函数f（x）＝在定义域（0，a）上单调递增，
其导函数：f′（x）＝＝﹣≥0在（0，a）上恒成立，
据此可得：0＜x≤1，
即实数a的最大值为1．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。

9. 【答案】BC
【分析】由a1＞0且S6＝S9，利用求和公式可得：a8＝0，d＜0．即可判断出结论．
【解答】解：a1＞0且S6＝S9，∴6a1+d＝9a1+d，化为：a1+7d＝0，可得a8＝0，d＜0．
S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6．
故选：BC．
【知识点】等差数列的性质、等差数列的前n项和
10.【答案】CD
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由指数函数的值域，可得斜率的范围，由正切函数的图象和性质，可得倾斜角的范围．
【解答】解：y＝ex﹣x+的导数为y′＝ex﹣，
由ex＞0，可得切线的斜率k＞﹣，
由tanα＞﹣，可得0≤α＜或＜α＜π，
则C，D正确，
故选：CD．
11. 【答案】BCD
【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差数列的性质和三角函数的定义判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：数列{an}前n项和Sn满足，当n＝1时，解得a1＝2，当n≥2时，，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，
故，故A错误．
对于B：等差数列{an}中，满足a1＝20，S10＝S16，
所以：a11+a12+a13+a14+a15+a16＝0，
则a13+a14＝0，由于a1＞0，所以d＜0，故a13＞0，a14＜0，
所以其前n项和Sn中S13最大，故项B正确．
对于C：等差数列{an}中，满足a5＝3，
，
则数列{an}的前9项和为定值，故C正确；
对于D：若tanx＝2，当x为第一象限角时：则，则；
当x为第三象限角时，，则，故D正确；
故选：BCD．
【知识点】等差数列的性质

12. 【答案】BCD
【分析】求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b＞2lnx﹣x2﹣3x，设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞）），根据函数的单调性求出b的范围即可．
【解答】解：∵f'（x）＝3x2+6x+b，
∴可设f（x）＝x3+3x2+bc+c，又f（0）＝0，故c＝0，
从而f（x）＝x3+3x2+bx，
∴g（x）＝f（x）﹣2xlnx＝x3+3x2+bx﹣2xlnx，
则g（x）的定义域是（0，+∞），
则g（x）＞0可化为x2+3x+b﹣2lnx＞0，即b＞2lnx﹣x2﹣3x，
设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞）），
则φ′（x）＝﹣2x﹣3＝，
令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，令φ′（x）＜0，解得：x＞，
故φ（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
故当x＝时，φ（x）取得最大值φ（）＝﹣2ln2﹣，
要使g（x）＞0恒成立，则b＞﹣2ln2﹣即可，
故选：BCD．
【知识点】利用导数研究函数的最值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝4S5＝100，则an的通项公式为　　﹣　．

【答案】an=2n-1
【分析】设公差为d，可得，解得即可．
【解答】解：设公差为d，由S10＝4S5＝100，可得，解得a1＝1，d＝2，
故an＝2n﹣1，
故答案为：an＝2n﹣1．
【知识点】等差数列的前n项和

14.已知函数f（x）＝f'（3）x2+5x，则f'（1）＝　　．

【答案】3
【分析】根据题意，求出函数的导数，再x＝3可得f′（3）＝6f′（3）+5，解可得f′（3）的值，即可得f′（x）＝﹣2x+5，将x＝1代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝f'（3）x2+5x，则f′（x）＝2f′（3）x+5，
令x＝3可得：f′（3）＝6f′（3）+5，解可得f′（3）＝﹣1，
则f′（x）＝﹣2x+5，
故f′（x）＝3；
故答案为：3
【知识点】导数的运算
15.曲线f（x）＝sinxcos2x在点（，f（））处的切线方程为　　．

【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
【解答】解：f（x）＝sinxcos2x的导数为f′（x）＝cosxcos2x﹣2sinxsin2x，
可得在点（，f（））处的切线斜率为k＝f′（）＝coscos﹣2sinsin＝﹣，
又f（）＝sincos＝0，
可得切线的方程为y＝﹣（x﹣），即为4x+2y﹣π＝0．
故答案为：4x+2y﹣π＝0．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
16.定义max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，则h（x）的极大值为　　　　．

【分析】对g（x）求导，分析g′（x）的正负，g（x）的单调性，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：
h（x）的单调递增区间为[，e]．
【解答】解：因为g（x）＝（x＞0），
所以g′（x）＝，
令g′（x）＝0，则x＝e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）极大值＝g（e）＝，
由f（x）＝g（x），即x﹣2e＝，得x＝，
作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：

则h（x）极大值＝g（e）＝，且在（0，），（e，+∞）上单调递减，
在[，e]上单调递增，
则h（x）的单调递增区间为[，e]．
故答案为：，[，e]．
【知识点】利用导数研究函数的极值

四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在等比数列{an}中
（1）已知a1＝13，q＝﹣2，求a6；
（2）已知a3＝20，a6＝160，求Sn

【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式，代入可求；
（2）结合等比数列的通项公式可求q，a1，代入等比数列的求和公式可求．
【解答】解：在等比数列{an}中
（1）∵a1＝13，q＝﹣2，
∴＝13×（﹣2）5＝﹣416；
（2）∵a3＝20，a6＝160，
∴，
解可得q＝2，a1＝5
∴Sn＝＝＝5×2n﹣5．
18.设函数
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．

【分析】（Ⅰ）求导，令导函数大于0即可得到增区间，令导函数小于0即可得到减区间；
（Ⅱ）列表直接可求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
令f′（x）＞0解得x＜﹣2或x＞﹣1；令f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣1，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x，f′（x），f（x）的变化情况，
x
﹣2
（﹣2，﹣1）
﹣1
（﹣1，2）
2
f′（x）
0
﹣
0
+

f（x）

减
极小值
增

故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．

19.已知函数f（x）＝x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若0＜a≤1，求f（x）的单调区间．

【分析】（Ⅰ）根据题意可得f（x）＝x﹣﹣3lnx，求导数，令f′（x）＝0得x＝1或x＝2，列表格分析当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况，进而得出f（x）的极大值，极小值．
（Ⅱ）求导得′（x）＝，分两种情况①当a＝1时，②当0＜a＜1时讨论函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因为当a＝2时，f（x）＝x﹣﹣3lnx
所以f′（x）＝（x＞0），
由f′（x）＝0得x＝1或x＝2．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况列表如下：
x
（0，1）
1
（1，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
﹣1
单调递减
1﹣3ln2
单调递增
所以当x＝1时，f（x）取极大值﹣1；当x＝2时，f（x）取极小值1﹣3ln2．
（Ⅱ）f′（x）＝＝，
①当a＝1时，x∈（0，+∞），f′（x）≥0，f（x）单调递增．
②当0＜a＜1时，x∈（a，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（0，a）或x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，
当a＝1时，f（x）递增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）递减区间为（a，1）；f（x）的递增区间为（0，a）和（1，+∞）．
20.在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a3﹣a2＝8，又a1、a5的等比中项为16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设数列{an}的公比为q，由题意可得，故a3＝16，由a3﹣a2＝8，得a2＝8，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，得．，由此能求出正整数k的最小值．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，
由题意可得，故a3＝16，
∵a3﹣a2＝8，∴a2＝8，∴q＝2，∴．
（2）∵，∴．
∵，
∴＝＝，
∴正整数k的最小值为2．
21.设数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣a1，且a1，a2+2，a3成等差数列，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值；
（3）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Rn．

【分析】（1）由Sn＝2an﹣a1，通过，得到an＝2an﹣1，数列{an}是公比为2的等比数列，然后求解数列的通项公式．
（2）利用等比数列求和公式求解Tn，然后利用，求解满足条件的n的最小值是9．
（3）化简＝．利用裂项消项法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）由Sn＝2an﹣a1得：当n≥2时，，an＝2an﹣1，
即，所以数列{an}是公比为2的等比数列，
又因为a1，a2+2，a3成等差数列，所以2（a2+2）＝a1+a3，2（2a1+2）＝a1+4a1，解得：a1＝4，
∴数列{an}的通项公式是：．
（2）因为，
所以Tn＝＝＝，
由得：，，即2n+1＞1000，
∴n+1＞9，n＞8，n∈N+，
所以满足条件的n的最小值是9．
（3）＝＝
＝＝．
∴Rn＝＝＝．

22.已知函数f1（x）＝ax2+bx+c，f2（x）＝ex．
（1）当a＝，b＝1，c＝0时，设f（x）＝mf2（x）﹣f1（x），且函数f（x）在R上单调递增．
①求实数m的取值范围；
②设h（x）＝（x2﹣3m）f2（x），当实数m取最小值时，求函数h（x）的极小值．
（2）当a＝0，b＞1，c＝1时，证明：函数g（x）＝f2（x）﹣f1（x）有两个零点．

【分析】（1）①求导得到f′（x）＝mex﹣x﹣1≥0恒成立，即m≥在R上恒成立，设φ（x）＝，求函数的最大值得到答案．h（x）＝（x2﹣3）ex．求导得到函数单调性，得到极小值．
②由①可知，m＝1，则h（x）＝（x2﹣3）ex．求导数，得到极值点，分析单调性，进而求出h（x）的极小值．
（2）根据题意得，函数g（x）＝ex﹣bx﹣1（b＞1），求导数，分析单调性，得到g（x）min＝g（lnb）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），令p（b）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），通过求导数，分析单调性，得到g（x）min＝g（lnb）＜0，g（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1），求导数分析单调性，得当b＞1时，0＜lnb＜b，所以由零点存在性定理知，存在lnb＜x1＜b，使得g（x1）＝0．又g（0）＝0，所以g（x）由两个零点．
【解答】解：（1）①f（x）＝mex﹣﹣x，得f′（x）＝mex﹣x﹣1，
由题意知f′（x）≥0在R上恒成立，∴m≥在R上恒成立．
令φ（x）＝，则m≥φ（x）max，φ′（x）＝﹣，
令φ（x）＞0，得x＜0，令φ′（x）＜0得x＞0，
∴φ（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，∴φ（x）max＝φ（0）＝1
∴m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞）．
②当实数m取最小值时，m＝1，∴h（x）＝（x2﹣3）ex．
h′（x）＝2xex+（x2﹣3）ex＝（x2+2x﹣3）ex，
令h′（x）＝0，解得x＝1或x＝3
当x＜﹣3或x＞1时，h′（x）＞0当﹣3＜x＜1时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x＝1时，h（x）取得极小值，极小值为﹣2e．
（2）当a＝0，c＝1时，函数g（x）＝ex﹣bx﹣1（b＞1），g′（x）＝ex﹣b
令g′（x）＝0，解得x＝lnb，
当x＜lnb时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，lnb）上单调递减，
当x＞lnb时，g′（x）＞0，g（x）在（lnb，+∞）上单调递增，
∴g（x）min＝g（lnb）＝b﹣blnb﹣1（b＞1）
令p（b）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），
则p′（b）＝1﹣lnb﹣1＝﹣lnb＜0，
∴p（b）在（1，+∞）上单调递减，
∴p（b）＜0，即∴g（x）min＝g（lnb）＜0，
g（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1）
令r（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1），则r′（b）＝eb﹣2b，
令t（b）＝eb﹣2b（b＞1），则t′（b）＝eb﹣2，
因为b＞1，∴t′（b）＝eb﹣2＞0，
∴r′（b）＝eb﹣2b在（1，+∞）上单调递增，∴r′（b）＞0．
r（b）在（1，+∞）上单调递增，所以r（b）＞0，即g（b）＞0．
又当b＞1时，0＜lnb＜b
所以由零点存在性定理知，存在lnb＜x1＜b，使得g（x1）＝0．
又g（0）＝0，∴g（x）有两个零点．