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2020-2021高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课时作业新人教A版必修4

2020-2021高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课时作业新人教A版必修4

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姓名：

2.5

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则·a＝0，又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直线方程为2x＋y－7＝0.
答案：A
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
答案：D
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：＝(3,3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．
答案：A
4．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s

解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝＝＝2 (m/s)．
答案：B
5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)

6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：50
7．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，得∥，
≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形

8．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析：因为＝(＋)＝(－1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)

9．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
解析：方法一　设正方形ABCD的边长为1，
AE＝a(0<a<1)，
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二　设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，
由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.

10．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？
解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500(J)，
F在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
∴f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
∴F，f所做的功分别是500 J，－22 J.
[能力提升](20分钟，40分)
11．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a km，则(　　)
A．s>|a| B．s<|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小
解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
答案：A
12．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则·等于________．
解析：由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°，所以·＝·cos 120°＝－.
答案：－
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．

解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设＝－a，＝－2a，＝v，因为＋＝，所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为＋＝，所以＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风是每小时a千米的西北风．
14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解析：

(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
A(0，m)，B(n,0)，
因为D为AB的中点，所以D，，
所以||＝，
||＝，
所以||＝||，即CD＝AB.
(2)因为E为CD的中点，所以E.
设F(x,0)，则＝，
＝(x，－m)．
因为A，E，F三点共线，所以＝λ.
即(x，－m)＝λ.
则
故λ＝，即x＝，所以F，
所以||＝，即AF＝.