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2020-2021高中数学 第二章 平面向量章末质量检测课时作业新人教A版必修4

2020-2021高中数学 第二章 平面向量章末质量检测课时作业新人教A版必修4

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章末质量检测(二)　平面向量

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图，在⊙O中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
答案：C
2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2等于(　　)
A．5　　　B．(－1,5)
C．(6,1) D．(－4,9)
解析：＝(2,3)，＝(－3,3)，∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．
答案：D
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：C
4．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∥，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B.
答案：B
5．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　)
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
解析：由题意知，解得
答案：C
6．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝(　　)
A．±5 B．±10
C．±12 D．±13
解析：由题意得|a|＝＝13，
所以52＋x2＝132，解得x＝±12.
答案：C
7．下列说法正确的是(　　)
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
答案：D
8．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：由题意知a－b＝d－c，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选D.
答案：D
9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v1|－|v2|.
答案：C
10．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量＝(－1,1)，则(＋)·(－)等于(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，
向量＝(－1,1)，
所以＝＋
＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，
所以(＋)·(－)
＝2－2＝(22＋12)－(12＋22)
＝5－5＝0.故选C.
答案：C
11．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B.
答案：B
12．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．
又m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
14．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析：方法一：设＝(x，y)，由||＝||知＝，又·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，||＝2；当x＝－3，y＝－1时，||＝2.故||＝2.
方法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，又||＝，所以||＝×＝2.
答案：2
15．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________N.
解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.

答案：10
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
解析：(1)因为＝b，＝d，
所以－＝＝－＝d－b.
(2)因为＝a，＝b，＝c，＝f，
所以＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c.
(3)－＝＋＝＝－＝c－e.
18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
解析：由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
∴k＝－.
19．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，且(a－3b)⊥c.
(1)求实数m的值；
(2)求向量a与b的夹角θ.
解析：(1)因为a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，
所以a－3b＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m，－3)．
因为(a－3b)⊥c，
所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3,4)
＝3(1－3m)＋(－3)×4
＝－9m－9＝0，
解得m＝－1.
(2)由(1)知a＝(1,3)，b＝(－1,2)，
所以a·b＝5，
所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，
所以θ＝.

20．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝2a＋b，求(b－a)·c；
(2)求向量a在b方向上的投影．
解析：(1)由a＝(1,3)，b＝(2，－2)，可得c＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b－a＝(1，－5)，则(b－a)·c＝4－20＝－16.
(2)向量a在b方向上的投影为＝＝－.
21．(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解析：(1)因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.

(2)证明：如图，
＝＋＝－＋＝(2－)．
故＝.
故四边形OCAD为梯形．
22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．

(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
解析：(1) 由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)，
所以cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，
－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)，
若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，
若t≠，则λ＝，
因为t∈∪，
故λ的取值范围为(－∞，－12]∪.