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2020-2021高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课时作业新人教A版必修4

2020-2021高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课时作业新人教A版必修4

年级：
姓名：

2.3.1

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)

A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
解析：∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
答案：B
2．当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为(　　)
A．0° B．90°
C．180° D．0°或180°
解析：当向量a与b共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°.
答案：D
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝(　　)
A.(a－b) B．2b－a
C.(b－a) D．2b＋a

解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.
答案：B
4．在正方形ABCD中，与的夹角等于(　　)
A．45° B．90°
C．120° D．135°
解析：如图所示，

将平移到，则与的夹角即为与的夹角，夹角为135°.
答案：D
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________.
解析：＝－，＝－，∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，∴＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________.

解析：＝＋＝－＝b－a.
答案：b－a
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.

10．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
[能力提升](20分钟，40分)
11．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：设向量a，b的夹角为θ，
作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(图略)，
a，b的夹角为180°－∠C.
∵|a|＝|b|＝|c|，∴∠C＝60°，∴θ＝120°.
答案：B
12.

如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋，所以λ＋μ＝.
答案：

13．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
解析：根据平面向量基本定理可设＝ma＋nb(m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵A、M、D三点共线，∴＝λ(λ为实数)，∴＝－λa＋b，
∴消去λ得m＋2n＝1.
而＝－＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，
∵C、M、B三点共线，∴＝μ(μ为实数)，
∴＝－a＋μb，
∴消去μ得4m＋n＝1.
由解得∴＝a＋b.
14．在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)与夹角的大小；
(2)与夹角的大小．
解析：

(1)如图所示，在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝2，
所以AB2＋BC2＝()2＋1＝22＝AC2，
所以△ABC为直角三角形．
因为tanA＝＝＝，
所以A＝30°.
又因为D为AC的中点，所以∠ABD＝∠A＝30°，
＝.
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°，所以与的夹角为120°.
(2)因为＝，所以与的夹角也为120°.