2020-2021学年高中数学-第一章-常用逻辑用语全章素养整合学案新人教A版选修2-1.doc

2020-2021学年高中数学 第一章 常用逻辑用语全章素养整合学案新人教A版选修2-1

2020-2021学年高中数学 第一章 常用逻辑用语全章素养整合学案新人教A版选修2-1

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第一章 常用逻辑用语
全章素养整合

授课提示：对应学生用书第17页

授课提示：对应学生用书第17页
类型一　四种命题及真假判断
　题型特点　命题涉及知识点多，知识跨度大，主要考查命题及其关系以及对命题真假的判断．高考中多以选择题、填空题的形式命题．
方法归纳　1.四种命题的写法
(1)明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(2)注意：原命题中的前提条件不能作为命题的条件．
2．简单命题真假的判断方法
(1)直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证．
(2)间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．
[例1]　原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是(　　)
A．逆命题：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题
B．否命题：若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题
C．逆否命题：若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题
D．“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
[解析]　“a＋b≥2”可以得到“a，b中至少有一个不小于1”，但“a，b中至少有一个不小于1”，不一定能得出“a＋b≥2”，所以原命题为真命题，逆命题为假命题，则逆否命题为真命题，否命题为假命题，且A，B，C变换形式正确；而对于选项D，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件，故选项D的说法错误．
[答案]　D
跟踪训练　1.(1)下列命题的逆命题为真命题的是(　　)
A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0
B．若x2＋y2≥4，则xy＝2
C．若x＋y＝2，则xy≤1
D．若a≥b，则ac2≥bc2
解析：对于A的逆命题是“若(x－2)(x＋1)>0，则x>2”假命题．
对于B的逆命题是“若xy＝2，则x2＋y2≥4”真命题．
对于C的逆命题是“若xy≤1，则x＋y＝2”假命题．
对于D的逆命题是“ac2≥bc2，则a≥b”假命题．
故选B.
答案：B
(2)下列四个命题：
①“若a，G，b成等比数列，则G2＝ab”的逆命题；
②“如果x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③在△ABC中，“若A>B，则sin A>sin B”的逆否命题；
④当0≤α≤π时，若8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对∀x∈R恒成立，则α的取值范围是.
其中真命题的序号是________．
解析：①由G2＝ab得不到a、G、b成等比数列．
∴该逆命题为假命题．
②由x>2可得出x2＋x－6≥0，∴该逆命题为真，故否命题为真命题．
③由A>B可得出sin A>sin B，∴该逆否命题为真命题．
④∀x∈R该不等式恒成立，则32cos 2α－64sin2α≥0，即cos 2α－2sin2α≥0，
即1－2sin2α－2sin2α≥0，
∴－≤sin α≤.
又∵α∈[0，π]，
∴0≤α≤或≤α≤π.
故答案为②③.
答案：②③
类型二　充分条件与必要条件的判定
　题型特点　充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，主要以选择题、填空题形式考查，其特点是以高中数学的其他知识为载体，考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．
方法归纳　法一：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假．
(1)原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；
(2)原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；
(3)原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；
(4)原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
法二：用集合间的包含关系判断充分条件和必要条件．
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
若AB，则A是B的充分不必要条件．
若AB，则A是B的必要不充分条件．
若A＝B，则A是B的充要条件．
若A与B间无包含关系，则A是B的既不充分也不必要条件．
[例2]　(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由a与b相交，可推出平面α与β相交．
由α与β相交，可推出a与b可能平行，可能相交，也可能异面．故选A.
[答案]　A
(2)已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析]　由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m.
由≤2，得－2≤x≤10.
由綈p是綈q的必要不充分条件知，
p是q的充分不必要条件，
∴
且不等式组中的等号不能同时成立，得m≥9.
跟踪训练　2.(1)在△ABC中，“sin B＝1”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由sin B＝1且B为内角，得B＝90°
由△ABC为直角三角形，可得出△ABC有一个内角为90°，但不一定是∠B＝90°.
故选A.
答案：A
(2)设p：≤1，q：(x－a)·[x－(a－1)]≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C．(－∞，1)∪
D．(－∞，1)∪
解析：由p得⇒≤x≤1.
由q得a－1≤x≤a.
若p是q的充分不必要条件，则⇒1≤a≤，故选A.
答案：A
类型三　含有逻辑联结词的命题真假的判断
　题型特点　以高中数学的重要知识点为依托，考查含有逻辑联结词的命题的真假，并进行简单的应用．高考中主要以选择题和填空题的形式考查．
方法归纳　判断含有逻辑联结词的命题的真假：
(1)先判断简单命题p，q的真假．
(2)根据“p且q”“p或q”“非p”的含义及其真假判断规律，即对于“p且q”有一假即为假；对于“p或q”有一真即为真；对于“非p”真假与p相反进行判断．
[例3]　(1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
A．p∨q　　　　　　　　 B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
[解析]　取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，所以a＝xyc，所以a∥c，所以q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．因为綈p为真命题，綈q为假命题，所以(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．
[答案]　A
(2)已知命题p：∃x0∈R，x0－1≥lg x0，命题q：∀x∈(0，π)，sin x＋>2，则下列判断正确的是(　　)
A．p∨q是假命题
B．p∧q是真命题
C．p∨(綈q)是假命题
D．p∧(綈q)是真命题
[解析]　当x0＝1时，x0－1≥lg x0，所以命题p：∃x0∈R，x0－1≥lg x0为真；∀x∈(0，π)，sin x>0，sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号，所以命题q：∀x∈(0，π)，sin x＋>2为假．因此p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨(綈q)是真命题，p∧(綈q)是真命题，选D.
[答案]　D
跟踪训练　3.已知p：函数y＝sin x的最小正周期是π，q：函数y＝tan x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是(　　)
A．p为真　　　　　 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：很明显p和q均是假命题，所以綈q为真，p∧q为假，p∨q为假，故选C.
答案：C
类型四　全称命题与特称命题
　题型特点　高考中主要考查全称命题、特称命题的真假判断，以及全称命题、特称命题的否定，多以选择题或填空题的形式出现．
方法归纳　(1)全称命题与特称命题的判断：全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
(2)含一个量词的命题的否定：全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
[例4]　已知命题p：∀a∈(0，＋∞)，f(x)＝x－alog3x在定义域内是单调函数，则綈p为(　　)
A．綈p：∃a0∈(0，＋∞)，f(x)＝x－a0log3x在定义域内不是单调函数
B．綈p：∃a0∈(0，＋∞)，f(x)＝x－a0log3x在定义域内是单调函数
C．綈p：∃a0∈(－∞，0)，f(x)＝x－a0log3x在定义域内不是单调函数
D．綈p：∀a∈(－∞，0)，f(x)＝x－alog3x在定义域内不是单调函数
[解析]　由全称命题的否定可得綈p为“∃a0∈(0，＋ ∞)，f(x)＝x－a0log3x在定义域内不是单调函数”．
[答案]　A
跟踪训练　4.(1)已知命题p：∃x0∈R，x－3x0＋2＝0，则綈p为(　　)
A．∃x0∉R，x－3x0＋2＝0
B．∃x0∈R，x－3x0＋2≠0
C．∀x∈R，x2－3x＋2＝0
D．∀x∈R，x2－3x＋2≠0
解析：由特称命题否定的定义知选D.
答案：D
(2)下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
解析：对于A，∀x∈R,2x－1>0恒成立，真命题．
对于B，∀x∈N*，(x－1)2≥0，假命题．
对于C，∃x0∈R，lg x0<1.
例x0＝1时lg x0＝0<1，∴真命题．
对于D，∃x0∈R，tan x0＝2，真命题．
故选B.
答案：B

授课提示：对应学生用书第19页

1．(2017·高考天津卷)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由<得0<θ<，0<sin θ<，
由sin θ<得－＋2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.
故选A.
答案：A
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)
A．∀n∈N，n2>2n　　　　 B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：由特称命题的否定知选C.
答案：C
3．(2017·高考山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0，命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：“∃x∈R，x2－x＋1≥0”为真命题．
“若a2<b2，则a<b”为假命题．
∴綈q为真命题，∴p∧(綈q)为真命题．
故选B.
答案：B