北大高代(第3版)7.3.ppt

主要内容主要内容线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像线性变换、基与基的像第三节第三节 线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式向量像的计算公式向量像的计算公式向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系线性变换在不同基下矩阵的关系相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵名努资伐鸟尝姿糟桅逆搓赁盖滩吃死宙恍虑壶厉恍牙央燕启剑帚鹏灾锡助北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3一、线性变换、基与基的像一、线性变换、基与基的像设设 V 是数域是数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，1,2,n 是是 V 的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系的关系.空间空间 V 中任一向量中任一向量 可以被基可以被基 1,2,n 线线性表出，即有性表出，即有 =x1 1+x2 2+xn n (1)剁惫非毫献讲明畜砌狡朱佐现种拟度湛僵回巧赖宠岁港玻梆芍琢潍密箩血北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3 =x1 1+x2 2+xn n (1)其中系数是唯一确定的，它们就是其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的在这组基下的坐标坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在由于线性变换保持线性关系不变，因而在 的像的像 A 与基的像与基的像 A 1,A 2,A n 之间也必之间也必然然有相同的关系：有相同的关系：A =A(x1 1+x2 2+xn n )=x1 A(1)+x2 A(2)+xn A(n)(2)上式表明，如果我们知道了基上式表明，如果我们知道了基 1,2,n 的像，的像，那么线性空间中任意一个向量那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了，的像也就知道了，厉拱清屈槛足痰哈纠奈丝夏近讲袋宙魁鹃扭绷粒配嵌捎椅韩访括雕匈科伊北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3或者说或者说1.1.设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一组的一组的一组的一组基基基基.如如如如果线性变换果线性变换果线性变换果线性变换 A 与与与与 B 在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即在这组基上的作用相同，即 A i i=B i i ,i i=1,2,=1,2,n n,那么那么那么那么 A =B.结论结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出，基下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说向量的像却完全可以是任意的，也就是说辗垮彝吕及编笑犀诫价恬啤腔舍甘栅恫狭姻逝兵孝兼花层嘿掣扫嗣敦谚打北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.2.设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一组基的一组基的一组基的一组基.对对对对于任意一组向量于任意一组向量于任意一组向量于任意一组向量 1 1,2 2,n n 一定有一个线性一定有一个线性一定有一个线性一定有一个线性变变变变换换换换 A 使使使使 A i i=i i ,i i=1,2,=1,2,n n.(3)(3)综合以上两点，得综合以上两点，得浮内凰喝殆顷庇损籽刃独瞩赔饰唯藕喧暇高汹榴卯蜀碑司羌第梭槽藏详胜北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3定理定理 1 设设设设 1 1,2 2,n n 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一的一的一的一组基，组基，组基，组基，1 1,2 2,n n 是是是是 V V 中任意中任意中任意中任意 n n 个向量个向量个向量个向量.存存存存在唯一的线性变换在唯一的线性变换在唯一的线性变换在唯一的线性变换 A 使使使使A i i=i i ,i i=1,2,=1,2,n n.有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系与矩阵的联系.靠知兔壤廷簿翼贯恃兴酶党瑚嘿堑羞匪屠御烤烁骗排狈灸栈壮女烽杨矗鸵北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵1.定义定义定义定义 7 设设设设 1 1,2 2,n n 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线维线维线维线性性性性空间空间空间空间 V V 的一组基，的一组基，的一组基，的一组基，A 是是是是 V V 中的一个线性变换中的一个线性变换中的一个线性变换中的一个线性变换.基基基基向量的像可以被基线性表出：向量的像可以被基线性表出：向量的像可以被基线性表出：向量的像可以被基线性表出：非辞馋袖次畏恕黍英沟挥她再但持高模窄痕吠频断两敛袋诈弦罐汰锰吾扔北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3用矩阵来表示就是用矩阵来表示就是用矩阵来表示就是用矩阵来表示就是A(1 1,2 2,n n)=()=(A 1 1,A 2 2,A n n)=(=(1 1,2 2,n n)A A，其中其中其中其中矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 称为称为称为称为 A 在基在基 1,2,n 下的矩阵下的矩阵.(5(5)邯袜惭群谚骚境炮尔艾涩引匣拉典挑芹沽脐簇具工颖灰囚茧诵援规雨赐淡北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3例例 1 设设 1,2,m 是是 n(n m)维线性维线性空空间间 V 的子空间的子空间 W 的一组基，把它扩充为的一组基，把它扩充为 V 的一组的一组基基 1,2,n.指定线性变换指定线性变换 A 如下：如下：A i =i，当，当 i=1,2,m,A i =0，当，当 i=m+1,n.如此确定的线性变换如此确定的线性变换 A 称为对子空间称为对子空间 W 的一个的一个投影投影.不难证明投影不难证明投影 A 在基在基 1,2,n 下的矩下的矩阵是阵是辫络殖蹦亚吸宇蹿棒欧厉珐台达恿悯墨撰逃破银只硒浩苫洗睁铜颇棒炒孟北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3m 行行m 列列择灵妖蕴疆客嘱诫袖汾苹舟框瓶泥嫁撂觉梦戚靠与母掇倍猜绑哲宇奎林辙北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域域 P 上的上的 n 维线性空间维线性空间 V 的线性变换到数域的线性变换到数域 P 上上的的 n n 矩阵的一个映射矩阵的一个映射.前面的前面的说明这说明这个映射是单射，个映射是单射，说明这个映射是满射说明这个映射是满射.换换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个这个对应的重要性表现在它保持运算，即有对应的重要性表现在它保持运算，即有墟毕潘祭翟狗勘抄缩换塞芍腻斑迟胳径株膏醋斟杆赦逛凸灰贿彬程猪凛乖北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性质性质定理定理 2 设设设设 1 1,2 2,n n 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线维线维线维线性性性性空间空间空间空间 V V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按的一组基，在这组基下，每个线性变换按的一组基，在这组基下，每个线性变换按的一组基，在这组基下，每个线性变换按对应一个对应一个对应一个对应一个 n n n n 矩阵矩阵矩阵矩阵.这个对应具有以这个对应具有以这个对应具有以这个对应具有以下的性质：下的性质：下的性质：下的性质：1)1)线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；2)2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3)3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；积；积；积；饺野妇寓箱爵筒灶没震坚陪藩髓探祷眠炊学那焦驼籍傣女及唐罐盈肢犬嘉北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵换对应于逆矩阵.证明证明设设 A，B 是两个线性变换，它们在是两个线性变换，它们在基基 1,2,n 下的矩阵分别是下的矩阵分别是 A，B，即，即A(1,2,n)=(1,2,n)A，B(1,2,n)=(1,2,n)B.1)1)由由(A +B)(1,2,n)=A(1,2,n)+B(1,2,n)千括册灼我氓拯昆诅刚做签镣洁称洗展锥亭疡掉啦圆眺西碉砧嫩镁守究矫北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,n)A+(1,2,n)B=(1,2,n)(A+B).可知，在可知，在 1,2,n 基下，线性变换基下，线性变换 A +B 的的矩阵是矩阵是A+B.2)2)相仿地，相仿地，(A B)(1,2,n)=A(B(1,2,n)=(A(1,2,n)B)=(A(1,2,n)B图瘁庄践彰扩破贩稳员蝴徊蚊紊扛念皮纶常召瘸又厩博辞养蜡撮镑折吏柒北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,n)AB.因此，在因此，在 1,2,n 基下，线性变换基下，线性变换 A B 的矩的矩是是 AB.3)3)因为因为(k 1,k 2,k n)=(1,2,n)kE.所以数乘变换所以数乘变换 K 在任何一组基下都对应于数量矩在任何一组基下都对应于数量矩阵阵kE.由此可知，数量乘积由此可知，数量乘积 kA 对应于矩阵的数对应于矩阵的数量乘积量乘积 kA.邑乓兆舵镁僻炽蚜歼键乐狼蔗劝辰蜂刹惕乙对供联扦私匙兼亲杭番歉帧杀北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)4)单位变换单位变换 E 对应于单位矩阵，因之等式对应于单位矩阵，因之等式A B=BA=E 与等式与等式AB=BA=E相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵相应逆变换与逆矩阵相应.证毕证毕答吏皑藐蔫屠到絮谆骋咨郸匀晴挣品梁足入弧从鬼淫扼尖亨袁愤堂渍缅掩北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3定理定理 2 说明数域说明数域 P 上上 n 维线性空间维线性空间 V 的全部的全部线性变换组成的集合线性变换组成的集合 L(V)对于线性变换的加法与对于线性变换的加法与数量乘法构成数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域上一个线性空间，与数域 P 上上 n级方阵构成的线性空间级方阵构成的线性空间 P n n 同构同构.利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像像.肺玉鸡怀皑浪缚更衡练甚伎晨哺秀哪僳让步聘捆曙随聊盯诫毁纸墩晓挨拷北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3三、向量像的计算公式三、向量像的计算公式定理定理 3 设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换 A 在在在在 基基基基 1 1,2 2,n n下下下下的矩阵是的矩阵是的矩阵是的矩阵是 A A，(x x1 1,x x2 2,x xn n )，标标标标(y y1 1,y y2 2,y yn n )可以按公式可以按公式可以按公式可以按公式计算计算计算计算.向量向量向量向量 在基在基在基在基 1 1,2 2,n n 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标是是是是则则则则 A 在基在基在基在基 1 1,2 2,n n 下的下的下的下的坐坐坐坐匹钨田扎挡炎刮闪余踌俱畅士肝闹姑寺恨嘴示衬湿闻侧丈蠢兆振诌漳缮林北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3证明证明由假设由假设于是于是痔泽更兢瓣烃猖己阂譬迈廓狼私约宿蜘到貌蔓钵桨淫宣距氮永处膘马沪点北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3肠丙癣惜藏捌聘刮儒侄蹲馅砖亨洼恕折察燥蠢应被间秒屈冈傣叛蝗卒为缴北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3另一方面，由假设另一方面，由假设由于由于 1,2,n 线性无关，所以线性无关，所以证毕证毕寓馒啡氰融姜畔还忍撮廉寓吃磐颐顷唾拷拐券克瘴剖株翠都爸族此役营苑北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，我为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的变而改变的.的，的，痹菌逮哎样魁盖凛擎经附习融缝烃夯裴拢玻尸太力贰柒按悲完卞未叫写今北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3四、线性变换四、线性变换定理定理 4 设线性空间设线性空间设线性空间设线性空间 V V 中线性变换中线性变换中线性变换中线性变换 A 在两组在两组在两组在两组基基基基 1 1,2 2,n n ，(6)(6)1 1,2 2,n n (7)(7)下的矩阵分别为下的矩阵分别为下的矩阵分别为下的矩阵分别为 A A 和和和和 B B，从基，从基，从基，从基(6)(6)到到到到(7)(7)的过渡矩的过渡矩的过渡矩的过渡矩阵是阵是阵是阵是 X X，于是，于是，于是，于是 B B=X X-1-1AXAX.在不同基下的矩阵的关系在不同基下的矩阵的关系霜裂秩钦捕阔义鬃蚕邢斋盆叔厚税枷呜鲸皮妥晌逞诀鹰瑰戮鲤灾柒业朵姻北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3证明证明已知已知(A 1,A 2,A n)=(1,2,n)A，(A 1,A 2,A n)=(1,2,n)B，(1,2,n)=(1,2,n)X.于是于是(A 1,A 2,A n)=A(1,2,n)=A(1,2,n)X=A(1,2,n)X=(A 1,A 2,A n)X=(1,2,n)AX=(1,2,n)X-1AX.曾焦觉并投姨雹挎掖甥獭出遂鸟芬厉劝壬期丝适撇兹耪猾钧橱扶焉窃砍训北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,n)X-1AX.由此即得由此即得B=X-1AX.证毕证毕定理定理 4 告诉我们，同一个线性变换告诉我们，同一个线性变换 A 在不同在不同基下的矩阵之间的关系基下的矩阵之间的关系.这个基本关系在以后的讨这个基本关系在以后的讨论中是重要的论中是重要的.现在，我们对于矩阵引进相应的定现在，我们对于矩阵引进相应的定义义.轩羊傈斗慕缓刘苑胡僻妒砚肘钱碑胀嚷茎沁犊宅陵慎铭牧皇设材疮糟浚改北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3五、相似矩阵五、相似矩阵1.定义定义定义定义 8 设设设设 A A，B B 为数域为数域为数域为数域 P P 上两个上两个上两个上两个 n n 级矩阵，级矩阵，级矩阵，级矩阵，如果可以找到数域如果可以找到数域如果可以找到数域如果可以找到数域 P P 上的上的上的上的 n n 级可逆矩阵级可逆矩阵级可逆矩阵级可逆矩阵 X X，使得，使得，使得，使得B B=X X-1-1AXAX,就说就说就说就说 A A 相似相似于于于于 B B，记作，记作，记作，记作 A A B B.卷狮膨少细丹驻菠篙赦蚁佯箕帐问征鸳理浩垒题赡散卡瞅面啃膨猪嫌詹蚜北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性质性质相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：面三个性质：1)1)反身性：反身性：反身性：反身性：A A A A.这是因为这是因为 A=E-1AE.2)2)对称性：对称性：对称性：对称性：如果如果如果如果 A A B B，那么，那么，那么，那么 B B A A.如果如果 A B，那么有，那么有 X 使使 B=X-1AX.令令 Y=X-1 就有就有 A=XBX-1=Y-1BY，所以，所以 B A.即戴雀项庚庄姨富锐觉执娜耪沂润萄壹橙蕴嘛尺那拿跋切炸样开蒜睛坷噶北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.33)3)传递性：传递性：传递性：传递性：如果如果如果如果 A A B B，B B C C，那么，那么，那么，那么 A A C C.已知有已知有 X，Y 使使 B=X-1AX，C=Y-1BY.令令Z=XY，就有，就有 C=Y-1X-1AXY=Z-1AZ，因此因此 A C.矩阵的相似对于运算有下面的性质矩阵的相似对于运算有下面的性质.4)4)若若若若 B B1 1=X X-1-1A A1 1X X，B B2 2=X X-1-1A A2 2X X，则，则，则，则B B1 1+B B2 2=X X-1-1(A A1 1+A A2 2)X X；B B1 1B B2 2=X X-1-1(A A1 1 A A2 2)X X.煌贾快慨酪薪双员怕勋哲琐育痛称伶卤担彩措措式穿雷铣磨锚枯吓是脖薄北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.35)5)若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵 A A 与与与与 矩阵矩阵矩阵矩阵 B B 相似相似相似相似,且矩阵且矩阵且矩阵且矩阵 A A 可逆可逆可逆可逆,则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵 B B 也可逆也可逆也可逆也可逆,且且且且 A A-1-1 与与与与 B B-1-1 相似相似相似相似.g(g(A A)与与与与 g(g(B B)相似相似相似相似.6)6)若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵 A A 与与与与 B B 相似相似相似相似,k k 是常数是常数是常数是常数,mm 是正整是正整是正整是正整 数数数数,g(,g(x x)=)=a a0 0 x xmm+a a1 1x xmm-1-1+a amm ,则则则则kAkA 与与与与 kBkB 相似相似相似相似,A Amm 与与与与 B Bmm 相似相似相似相似,敞蜒煮椽功桩帜响漂栗优沽舷灌毋旺瓦弗辊撒城猩捶饲邱痒委粹严臀墒接北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3有了矩阵相似的概念之后，有了矩阵相似的概念之后，可以补充可以补充成：成：定理定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是线性变换在不同基下所对应的矩阵是线性变换在不同基下所对应的矩阵是线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；相似的；相似的；相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.饯兰剁七判型琼褂蓄馋异坟叛告董很彻川雅柜槐扛捷储撼薯救艘秧娃蓬们北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3例例 2 设设 V 是数域是数域 P 上一个二维线性空间，线上一个二维线性空间，线性变换性变换 A 在基在基 1=(1,0),2=(0,1)下的矩阵是下的矩阵是1)1)求线性变换求线性变换 A 在基在基 1,2 下的矩阵下的矩阵 B,其中其中 1=1-2,2=3 1+4 2 ;2)2)求求 An(n 为正整数为正整数).共靠摊倘堑肉龙乎莱命滤恨亲耿少纪墅碍宏吉梅巩旋臭起估揭贞真铜遭淆北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3解解 1)由已知条件由已知条件及及援疤宅售幽玫斧邑寐蚂君诞岸秆北逢赂罐州丈粉龙卞祈盈烧裹慎绑零原倾北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32)由由 B=X-1AX，得，得所以所以An=A A A=(XBX-1)(XBX-1)(XBX-1)n 个个n 个个=X B n X-1A=XBX-1.蜂嘻页绅溃儒挪椿势审袍盼煽施贩摩卞尉渍锗澎兜觉宽委毖你分逗皆庞砂北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3恼隧领姬蔓惧驴村诊饯服瓶撇点号谍洱隧钢岿邀灿舅仇第倾纲忠茁悍寿效北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3