平衡中的临界和极值问题.doc

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教学课题：平衡中的临界和极值问题
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教学随笔

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一、知识要点
临界问题是指：当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．
某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”，至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。解临界问题的基本方法是假设推理法。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。
解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。
二、例题分析
【例1】一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。
【解答】依题意，
mgsinθ=μmgcosθ
tgθ=μ
∴ θ≤arctgμ
说明：tgθ=μ是一重要临界条件。其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力；tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；
①、将物体静止置于斜面上，如tgθ≤μ，则物体保持静止；如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。

F

②、将物体以一初速度置于斜面上，如tg<μ，则物体减速，最后静止；如tgθ=μ，则物体保持匀速运动；如tgθ>μ，则物体做加速运动。
因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
练习：如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面上，上表面水平。今在其上表面加一竖直向下的力F。则物体：
A、保持静止； B、向下匀速运动；
C、向下加速运动； D、三种情况都要可能。
【解答】A。
【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ<tgθ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围．
【解析】以B为研究对象，由平衡条件得
T=mBg
再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：
N=mgcosθ
T-fm-mgsinθ=0
fm=μN
或：T+fm-mgsinθ=0
fm=μN
综上所得，B的质量取值范围是：
m（sinθ-μcosθ）≤mB≤m(sinθ+μcosθ)
说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势．
【例2】如图所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面．
【解析】以球为研究对象，如图所示。有
N1sinθ=G
N1cosθ=N2
sinθ=(R-h)/R
再以整体为研究对象得：N2=F
即 F=√h(2R-h)·G/(R-h)
说明：球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统又平衡．
y F
N
θ
f x

G

【例3】如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=1/√3，物体做匀速直线运动。求牵引力F的最小值和方向角θ。
解：物体的受力图如图。建立坐标系，有：
Fcosθ-μN=0 ①
Fsinθ+N-G=0 ②
由①、②消去N得：
F=μG／(cosθ+μsinθ)
令tgφ=μ，则cosθ+μsinθ=√1+μ2cos(θ-φ)

∴ F=
当θ=φ时，cos(θ-φ)取极大值1，F有最小值。
Fmin= =G/2

tgφ=μ=1／√3 φ=300
∴ θ=300
点评：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F的大小随θ的变化而变化，要求F的极小值，就要根据题意求出F随θ而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F的极值。
此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记。
Φ

Φ

θ

【解法二】将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解。
将N与f合成为一全反力R。tgΦ=f/N=μ。可见，N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的。
物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三力构成一封闭三角形。由图法可知，当F垂直于R时，F最小。
此时，θ=Φ=arctg(1/√3)=300
Fmin=GsinΦ=G/2
点评：此例将四力平衡转化为三力平衡求解，这是解决多力平衡问题的一种方法。
摩擦角：tgφ=f/N=μ，φ称为摩擦角。在外部条件不变的情况下，f与N的合力的大小可能会发生变化，但此合力的方向不变。
α
练习：如图，重为G的木块，在力F的推动下沿水平地面匀速滑动。若木块与地面间的动摩擦因数为μ，F与水平方向成α角。试说明：若α超过某一个值时，不论推力F多大，木块都不可能滑动，并求出这个角度。
【分析】F斜向下，可分解为竖直分力F1和水平分力F2。F1的作用是增大摩擦力f，F2使物体运动。如α较大，则F1较大，F2较小，增加的f大于F2，物体无法运动，产生“自锁”现象。只有α小于某一值时，才能推动木块。

【解】木块受力如图。
由平衡条体有：Fcosα=μ(G+Fsinα)
F=μG／(cosα-μsinα)

其中tgφ=1/μ
∴ 当α=φ=arctg1/μ时，F→∞
三、能力训练
A组
1．如图所示，平台重600N，滑轮重不计，要使系统保持静止，人重不能小于： （B）
A．150N B．200N C．300N D．600N
2、放在斜面上的物体，受到一个与斜面平行的外力作用，当这个外力的大小分别为60N和10N时，物体都能保持匀速直线运动，当这个物体在取消上述外力作用后沿斜面自静止下滑时，则它受到摩擦力的大小可能是： （B）
A．35N B．25N C．10N D．0
3．如图所示，定滑轮光滑，货物质量为m，滑轮离地面高度为4m，人拉绳处距地面lm，若人对地面最大静摩擦力为mg/2，则要匀速提升货物，人离货物的水平距离应不大于______m．
B组
4．物体A重为100N，B重为20N，A与水平面最大静摩擦力为30N，整个系统处于静止状态，如图所示，这时A受摩擦力大小为_____N。如果逐渐增大B重量而保持系统静止，则B的重力最大值为______N．
解：20N，30N
5．如图所示，重20N的物体静止在倾角为θ=300的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧连接，设物体所受最大静摩擦力为12N，则弹簧的弹力为（弹簧与外面平行）； （D）
①可能为零
②可能为22N，方向沿斜面向上
③可能为2N，方向沿斜面向上
④可能为2N，方向沿斜面向下
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【解析】先假设物体有向下滑的可能性，由平衡条件判得T=2N，向下；再假设物体有向上滑的可能性，由平衡条件判得T=22N，向上．

选沿斜面向上为正，可理解为弹力的范围为-2N≤T≤22N，故 D正确．
说明：根据物体的运动趋势，确定弹力的范围，同时充分考虑静摩擦力是不确定值，可用0≤f≤12N．
6．如图所示，绳重及滑轮摩擦均不计，A．B质量为1kg与3kg，A、B均保持静止，则斜面对B的摩擦力大小为f1=____N，若在 A上再加1kg砝码，此时摩擦力大小f2与f1的大小之比等于________(g=10m/s2)
解：5N，1：1
7．如图所示，重1000N的车轮，半径为R，欲过高为h=R/2的台阶，现要在图中车轮最上方A处施一最小的力，使车轮越过B点，求此时台阶对车轮的作用力的大小和方向．
【解析】先分析出作用在A点最小的力F，在力矩一定时，力臂最长，F最小，所以 F⊥AB，如图，因恰好过B点，所以地面对车轮支持力为零，由三力平衡，可知三力过A点，也可推得θ＝300，所以 N=Gcos300=500√3N，方向与竖立方向成300．

教学后记：

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