湖南省娄底市高一数学上册期末考试题.doc

湘中名校2015-2016年上学期高一期末考试
数学试卷
满分共120分,考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.
1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N=，那么（∁）∩N等于（　　）
　 A． B．{5} C． {1，3} D． {4，5}
2．已知两条直线：x+2ay﹣1=0，：2x﹣5y=0，且l1l2，则满足条件a的值为（　　）
　 A． B． C． D． 5
3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（　 　）
　 A． B． C． D．
4. 过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（　　）
　 A．y+2=（x+1） B．y﹣2=（x﹣1）
C．y-2=（x-1） D．y+2=（x+1）
5、直线5x-12y+8=0与圆的位置关系是（ 　）
　 A． 相离 B．相交 C．相切 D． 无法判断
6.已知则 （ ）
A． B． C． D．
7.函数f(x)满足，则的值为 ( )
A. B. C.1 D. 2
8. 已知是函数的一个零点．若∈（1，），∈（，+∞），
则 （　　）
　 A． ＜0，＜0 B．＜0，＞0
C．＞0，＞0 D．＞0，＜0
A
B
C
D
A′
D′

C′
B′
9．如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，
AD= D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的
大小是（　　）
　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
10．函数的值域为（　　）
　 A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（0，+∞） D．（1，+∞）
11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图为
等边三角形，若其侧面积为，则
是（ ）．
A. B.
C.2 D.
12．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意x1，x2(0，)都有
，若实数满足，
则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡中横线上
13. 两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是
14． 。
15.已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上，且AB=，则棱
锥O﹣ABCD的体积为 .
16. 已知函数构造函数
那么函数的最大值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共56分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．(本小题满分8分)
已知集合A={x|﹣4≤x≤9}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B=A，求m的取值范围．

18.(本小题满分8分) 已知定义在R上的函数,且为奇函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若时，，求当时，函数的解析式。

19．(本小题满分8分) 已知直线和在y轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线过点P（1，3），且点Q（2，2）到直线的距离为，求直线和直线的一般式方程．

20. (本小题满分10分)圆C过点A（6，4）,B（1,），且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（7,0），求线段PQ中点M的轨迹方程．

A
B
C
C1
A1
B1

21．(本小题满分10分)
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
，AB=BB1=1,B1C=2．
（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．

22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明;
（2）若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围.
（3）讨论零点的个数;

湘中名校2015-2016年上学期高一期末考试数学参考答案
满分共120分,考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N=，那么（∁）∩N等于（　B　）
　 A． B．{5} C． {1，3} D． {4，5}
2．已知两条直线：x+2ay﹣1=0，：2x﹣5y=0，且l1l2，则满足条件a的值为（　A　）
　 A． B． C． D． 5
3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（　D　）
　 A． B． C． D．
4. 过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（　C　）
　 A．y+2=（x+1） B．y﹣2=（x﹣1）
C．y-2=（x-1） D．y+2=（x+1）
5、直线5x-12y+8=0与圆的位置关系是（ C　）
　 A． 相离 B．相交 C．相切 D． 无法判断
6.已知则 （ A ）
A． B． C． D．
7.函数f(x)满足，则的值为 ( D )
A. B. C.1 D. 2
8. 已知x0是函数的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
则 （　D　）
　 A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0
C． f（x1）＞0，f（x2）＞0 D． f（x1）＞0，f（x2）＜0
A
B
C
D
A’
D’

C’
B’
9．如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，
AD= D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的
大小是（　B　）
　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
10．函数的值域为（　C　）
　 A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（0，+∞） D．（1，+∞）
11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图
为等边三角形，若其侧面积为，则
是（ B ）．
A. B.
C.2 D.
12．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意x1，x2(0，)都有
，若实数满足，
则的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡中横线上
13. 两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是 1
14． 。
15.已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上，且AB=，则棱
锥O﹣ABCD的体积为 4 .
16. 已知函数构造函数
那么函数的最大值为 5
三、解答题：本大题共6小题，共56分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．(本小题满分8分) 已知集合A={x|﹣4≤x≤9}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B=A，
求m的取值范围．
解：当B=时, …….3分
当B≠，若A∪B=A，
∴﹣4≤m+1＜2m﹣1≤9，转化为不等式组,解得：2＜m≤5…….7分
∴m的取值范围是{m≤5}…….8分
18.(本小题满分8分) 已知定义在R上的函数,且为奇函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若时，，求当时，函数的解析式。

19．(本小题满分8分) 已知直线和在y轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线过点P（1，3），且点Q（2，2）到直线l2的距离为，求直线和直线的一般式方程．
解：设直线l1：y=kx+b，直线l2：y=-kx+b----------2分
∵l1过P（1，3）点且Q（2，2）到l2的距离为，
∴--------------------4分
解之得 ----------------6分
故l1：2x-y+1=0 l2：2x+y﹣1=0；或l1：x+2y-7=0 l2：x-2y+7=0----------8分
20. (本小题满分10分)圆C过点A（6，4）,B（1,），且圆心在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（7,0），求线段PQ中点M的轨迹方程．
解：（1）解法1：直线AB的斜率，
所以AB的垂直平分线m的斜率为．
AB的中点的横坐标和纵坐标分别为 ．
因此，直线m的方程为．即．-------------2分
又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点。联立方程组
解得 ---------------4分
所以圆心坐标为C（3,2），又半径，
则所求圆的方程是---------------------5分
解法2：设所求圆的方程为．由题意得
----------2分
解得 --------------4分
所以所求圆的方程是． ---------------------5分
（2）设线段PQ的中点M（x,y），P
M为线段PQ的中点，则 , 解得 --------------7分
代入圆C中得--------------9分
即线段PQ中点M的轨迹方程为． -----------10分
21．(本小题满分10分) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
，AB=BB1=1,B1C=2．
（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，---------2分
又BA⊥AC，B1B∩BA=B，---------3分
∴AC⊥平面ABB1A1，---------4分
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．---------5分
（II）解：连--,连CM -------6分

∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面
B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．---------8分
∵AB=BB1=1，B1C=2，可得BC=AC=

∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为---------10分

22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明;
（2）若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围.
（3）讨论零点的个数;
解:（1）当，且时，是单调递减的---1分.
证明：设，则

--------2分
又，所以，，所以
所以，即，-----3分
故当时，在上单调递减的．--------4分
（2）由得，
当，
变形为，即-----6分
而，
当即时，--------7分
所以．--------8分
（3）由可得，变为
令-----9分
作的图像及直线，由图像可得：
当或时，有1个零点．-----10分
当或或时，有2个零点；-----11分
当或时，有3个零点．-------12分