鲁教版七年级上册数学第三章勾股定理.doc

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七年级数学

个性化培优讲义

第 五 讲：勾股定理

任课教师：张修伟

数学学科辅导讲义
授课对象

授课时间

教学目标
掌握勾股定理的公式及应用
教学重点和难点
勾股定理的应用
考点分析
勾股定理的应用
教学流程及授课详案

第五讲 勾股定理
知识点归纳
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4. 注意：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为的线
☆ Round 1 ☆ 小试牛刀
（一）结合三角形：
1.已知ABC的三边、、满足，则ABC为 三角形
2.在ABC中，若=（+）（-），则ABC是 三角形，且
3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为
4.已知则以、、为边的三角形是
5.在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为_____________．
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是_______cm2.
7.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为___________.

8.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于
9.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（　　）
A、2 B、2 C、2+2 D、2+2
10.直角三角形的三边为a-b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　）
A、61 B、71 C、81 D、91
11. 已知 与互为相反数，试判断以、、为三边的三角形的形状。

12.已知：在ABC中，三条边长分别为、、，=，=2，=（>1）
试说明：C=。

☆ Round 2 ☆ 考试必备
（二）、实际应用：
1. 梯子滑动问题：
（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米
（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
（3）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：
（1）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ）
A. B. C. D.
变：（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。
求证：（1）
（2）
（3）以为三边的三角形是直角三角形

3. 爬行距离最短问题：
1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱的中点E，再连结AE、，昆虫乙如果沿途径爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
（2）如图b，假设昆虫甲从点以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？
试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm
3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？
4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）
A. B. C. D.

4.折叠问题：
1.有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）
A. B. C. D.
2. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。
3. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。
4.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。

5、求边长问题
1.在R中，、、分别是A、B、C的对边，C=
①已知：=6，=10，求； ②已知：=40，=9，求

2.如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________.

3．等边三角形ABC内一点P，AP＝3，BP＝4，CP＝5，求∠APB的度数．

6.已知：在Rt△ABC中，BC＝AC，P为△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2。求
∠BPC的度数。

6、方向问题：
1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．
(1)此时轮船离开出发点多少km?
(2)若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

3.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

A
B
C
D

4.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

7、旋转问题：
1.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△，则点P与点P’之间的距离为 ，∠APB=

2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=，将ABH绕点A逆时针旋转到AC处，若AH=3㎝，试求出H、两点之间的距离。

3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：以PE为边长的正方形的面积

4.已知直角三角形ABC中，ACB=，CA=CB，圆心角为，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，试说明MN的理由。

5.如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：BD。

6.在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。
（1）说明：
（2）若BE=12,CF=5，试求的面积。

7.如图，P是等边三角形内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作，且BQ=BP，连结CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,试判断的形状。

8.如图，和都是等边三角形，，试说明：

9．如图1，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．
图1
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

8、折叠问题：
1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

5.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
(1)△ACD是什么三角形？为什么？
(2)把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求D'E的长。

6.如图，EF为正方形ABCD的对角线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG=_______．

7.如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
（备用图2）
Q
A
B
C
D
l
M
P

E

时间分配及备注

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