河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试(数学理)word版.doc

河北省唐山市2011-2012学年高三上学期摸底考试
数学理
说明：
一、本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。其中第一道大题为选择题。
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动，用
橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1．复数的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知x，y满足的最小值为 （ ）
A．2 B．6.5
C．4 D．8
3．如右图，该程序框图运行后输出的结果是 （ ）
A．63
B．31
C．15
D．7

4．等差数列的前n项和为= （ ）
A． B． C． D．
5．球O的一个截面面积为，球心到该截面的距离为，则球的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知则p是q成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知点P为圆上一点，且点P到直线距离的最小值为，则m的值为 （ ）
A．-2 B．2 C． D．
8．曲线所围成的封闭图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，且，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．1
10．五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一社区，则不同的分派方法有 （ ）
A．240种 B．216种 C．120种 D．72种
11．若函数上有零点，则m的取值范围为 （ ）
A． B．[-1，2]
C． D．[1，3]
12．已知是奇函数，且时，时，= （ ）
A． B．
C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上。
13．二项式的展开式中，项的系数为 。
14．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的
正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体
积为 。
15．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与
C2的一个公共点，是一个以PF1为底的等腰三角形，
C1的离心率为则C2的离心率为 。
16．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在中，BC=1，求的值。

18．（本小题满分12分）
某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名。现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩。
（I）求抽取的男生与女生的人数？
（II）求男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率；
（III）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2；
表1
成绩分组

人数
3
m
8
6

表2
成绩分组

人数
2
5
n
5
分别估计男生和女生的平均分数，并估计这450名学生的平均分数。（精确到0.01）

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，E是SC的中点。
（I）求证：SA//平面BDE；
（II）求证：；
（III）若SD=2，求二面角E—BD—C的余弦值。

20．（本小题满分12分）
已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为。过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）能否为直角？证明你的结论；
（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。

21．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若对于任意的，都有求a的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB、AC分别交于点M、N，且CN=2BM，点N平分AC。求证：AM=7BM。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，若不等式恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案

一、选择题：
A卷：BADBA ACCDD AC
B卷：CAADD ADBCB AC
二、填空题：
（13）x－y＋1－＝0 （14）4 （15）3 （16）n·2n
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由cosA＝sinC，得cosA＝cos(－C)，
因为A∈(0，)，－C∈(－，)，
所以A＝－C，或A＝C－，
若A＝－C，则A＋C＝，B＝，这与cosB＝矛盾．
所以A＝C－＝p－(A＋B)－，
即2A＝－B，………………………………………………………………………5分
所以cos2A＝sinB＝＝，
即1－2sin2A＝，
因为sinA＞0，所以sinA＝．…………………………………………………8分
（Ⅱ）由正弦定理，有＝，
所以AC＝＝．………………………………………………………12分
（18）解：
（Ⅰ）由抽样方法知，
被抽取的男生人数为250×＝25，
被抽取的女生人数为200×＝20．……………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
m＝25－(3＋8＋6)＝8，n＝20－(2＋5＋5)＝8，据此估计
男生平均分为＝81.8，
女生平均分为＝83；
这450名学生的平均分数为≈82.33．………………………12分
（19）解：
（Ⅰ）连结AC交BD于F，连结EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，
又E为SC的中点，所以SA∥EF，
∵SAË平面BDE，EFÌ平面BDE，
∴SA∥平面BDE．…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30°，及余弦定理得
取BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝1，
∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SBÌ平面SBD，
∴AD⊥SB．…………………………………………………………………………8分
A
C
B
D
E
S
F
G

（Ⅲ）取CD的中点G，连结EG，则EG⊥面BCD，且EG＝1．
设三棱锥C—BDE的高为h，
在△BDE中，BD＝1，DE＝BE＝SC＝，EF＝．
在Rt△BCD中，BD＝1，BC＝，∠CBD＝90°．
∵VC—BDE＝EE—BCD，
∴··BD·EF·h＝··BD·BC·EG，
∴h＝＝．…………………………………………………………12分
（20）解：
（Ⅰ）由题设，得＋＝1， ①
且＝， ②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，
椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………………4分
（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x2＝．…………………………………………………………8分
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝＝＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）f¢(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………………………2分
令f¢(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．
当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，a)
a
(a，＋∞)
f¢(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以
f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，
单调递减区间是(a－2，a)．………………………………………………………7分
（Ⅱ）当x∈(－∞，1]时，
由（Ⅰ）知，f(x)在(－∞，a－2)单调递增，在(a－2，a)单调递减，在(a，1)单调递增，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)．
当a∈[－1，3]，f(a－2)＝4ea－2≤4e；f(1)＝(a－1)2e≤4e，
所以f(x)≤4e．……………………………………………………………………12分
（22）证明：
由切割线定理，有BP2＝BM·BA，CP2＝CN·CA．…………………………2分
因为P是BC的中点，所以BM·BA＝CN·CA，
又点N平分AC，所以BM·(BM＋AM)＝2CN2，………………………………6分
因为CN＝2BM，所以BM·(BM＋AM)＝8BM2，
所以AM＝7BM．…………………………………………………………………10分
（23）解：
在ρ＝10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2＝10ρcosθ，
则曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝10x，……………………………………3分
将曲线C1的参数方程代入上式，得(6＋t)2＋t2＝10(6＋t)，
整理，得t2＋t－24＝0，
设这个方程的两根为t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－24，
所以|AB|＝|t2－t1|＝＝3．………………………………10分
（24）解：
不等式f(x)＞a－x即a＜f(x)＋x．
f(x)＋x＝……………………………………………………3分
当x＜0时，f(x)＋x的取值范围是(3，＋∞)；
当0≤x＜3时，f(x)＋x的取值范围是[3，6)；
当x≥3时，f(x)＋x的取值范围是[6，＋∞)．
所以f(x)＋x的取值范围是[3，＋∞)，
因此，使不等式f(x)＞a－x恒成立的a的取值范围是(－∞，3)．……………10