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唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ADBCD DACCB CB
B卷：ADBBD DACAB CB
二．填空题：
（13）2 （14） （15）2 （16）(1，)
三．解答题：
17．解：
（1）由已知可得，2Sn＝3an－1， ①
所以2Sn－1＝3an－1－1 （n≥2）， ②
①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，
化简为an＝3an－1（n≥2），即＝3（n≥2）， …3分
在①中，令n＝1可得，a1＝1， …4分
所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
从而有an＝3n－1． …6分
（2）bn＝(n－1)·3n－1，
Tn＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n－1)·3n－1， ③
则3Tn＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n． ④
③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)·3n， …8分
＝－(n－1)·3n
＝． …10分
所以，Tn＝． …12分
18．解：
（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，
所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率
P＝＝． …5分
（2）X可取0，1，2，3． …6分
P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； …10分
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴随机变量X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． …12分
19．解：
A
B
C
P
D
x
y
z
（1）∵直角三角形ABC中，
AB＝BC＝2，D为AC的中点，
∴BD⊥CD，
又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，
∴CD⊥平面PBD，
∴CD⊥PD，
又∵AD⊥BD，
∴PD⊥BD．
又因为BD∩CD＝D，
∴PD⊥平面BCD． …5分
（2）以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
则A(，0，0)，B(0，，0)，C(－，0，0)，P(0，0，)，
＝(，0，－)，＝(0，，－)，＝(，，0)
设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0得
取n＝(1，－1，－1)． …9分
cosá，nñ＝＝，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为． …12分
20．解：
（1）由已知可得，y1＝x，y2＝x，
所以y1－y2＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，
此时，直线l的斜率k＝＝2． …4分
（2）因为OB⊥l，所以kOB＝－，
又因为kOB＝＝＝x2，
所以，x2＝－， …6分
又由（1）可知，x1＋x2＝＝k，
从而有，x1＝k－x2＝k＋，
所以|AB|＝|x1－x2|＝|k＋|，
|OB|＝＝＝＝， …9分
因为|AB|＝3|OB|，所以|k＋|＝，
化简得，|k3＋2k|＝3，
解得，k＝±1，
所以，|AB|＝|k＋|＝3． …12分
21．解：
（1）当a＝e时，f(x)＝lnx＋，
所以f¢(x)＝－． …1分
设切点为(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)与y＝m相切，得f¢(x0)＝0，
解得x0＝1，所以切点为（1，1）． …3分
所以m＝1． …4分
（2）依题意得f(1)≥，所以1≥，从而a≥e． …5分
因为f¢(x)＝，a≥e，
所以当0＜x＜lna时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞lna时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增，
所以当x＝lna时，f(x)取得最小值loga(lna)＋． …7分
设g(x)＝elnx－x，x≥e，
则g¢(x)＝－1＝≤0，
所以g(x)在[e，＋∞)单调递减，
从而g(x)≤g(e)＝0，所以elnx≤x． …10分
又a≥e，所以elna≤a，从而≥，当且仅当a＝e时等号成立．
因为lna≥1，所以loga(lna)≥0，
即loga(lna)＋≥．
综上，满足题设的a的取值范围为[e，＋∞)． …12分
22．解：
（1）由ρ2－2ρsin(θ＋)－4＝0得，
ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．
所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6． …5分
（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，
t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，
t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．
||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2sin(α＋)|
因为0≤α＜p，所以≤α＋＜，
从而有－2＜2sin(α＋)≤2．
所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2]． …10分
23．解：
（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,
所以|x＋1|2＞|2x－1|2,
整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，
故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． …5分
（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，
设g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝
由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，
所以a的取值范围是[1，＋∞）． …10分
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