初高中衔接数学专题八三角形“四心”定义与性质.doc

三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的外心一般用字母表示。性 质：1 外心到三顶点等距，即。2 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即.3.。二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积三角形的周长内切圆的半径3.；三角形的周长的一半。4.，。三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。的垂心一般用字母表示。性 质：1、顶点与垂心连线必垂直对边，即。四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。性 质：1.顶点与重心的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。即三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.证明 例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形ABC的重心和内心.求证 三角形ABC为等边三角形.证明 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.