2022年数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案.pdf

wor d整理版北师大版高中数学选修 2-2其次章变化率与导数全部教案 1变化的快慢与变化率 第一课时 变化的快慢与变化率平均变化率一、教学目标：1、懂得函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能依据函数的平均变化率判定函数在某区间上变化的快慢；:、教学重点：从变化率的角度重新熟悉平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数 量描述；教学难点:对平均速度的数学意义的熟悉 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程）、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着；因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了；由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术进展的需要，一门新 的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学；微积分学这门学科在数学进展中的位置是非常重要的，可以 说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个制造；从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了；公元前三世纪，古 希腊的阿基米德在争论解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近 代积分学的思想；十七世纪，有很多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素；归结起来，大约 有四种主要类型的问题：第一类是争论运动的时候直接显现的，也就是求即时速度的问题；其次类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体 的重心、个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力；十七世纪的很多闻名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的争论工作，如法国的费尔 玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出很多很有建树的 理论；为微积分的创立做出了奉献；十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自争论 和完成了微积分的创立工作，虽然这只是非常初步的工作；他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题 1积分学的中心问题）；牛顿和莱布尼茨建立微积分的动身点 是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源；牛顿争论 微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的；牛顿在 1671年写了流数法和无穷级数，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是 无穷小元素的静止集合；他把连续变量叫做流淌量，把这些流淌量的导数叫做流数；牛顿在流数术中所提出的中心问 题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程 积分法）；德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而 且很奇怪的名字一种求极大微小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的神奇类型的运算；就是这样一片说理也颇模糊的文章，却有划时代的意义；他以含有现代的微分符号和基本微分法就；1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献；他是历史上最宏大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的进展有极大的影响；现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨细心选用的；微积分学的创立，极大地推动了数学的进展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的特殊 威力；争论函数，从量的方面争论事物运动变化是微积分的基本方法；这种方法叫做数学分析；原来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等很多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等 同起来，数学分析成了微积分的同义词，提数学分析就知道是指微积分；微积分的基本概念和内容包括微分学和积 分学；微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等；积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等；微积分是与应用联系着进展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运 动三定律；此后，微积分学极大的推动了数学的进展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的进展；并在这些学科中有越来越广泛的应用，特殊是学习参考资料wor d整理版运算机的显现更有助于这些应用的不断进展；（二）、探析新课问题1：物体从某一时刻开头运动，设S表示此物体经过时间t走过的路程，明显S是时间t的函数，表示为s=s It）在运动的过程中测得了 一些数据，如下表：物体在0t/s025101315s/m-00-T3s 市6k两段时d9内，那20段时间运Z32力得快？44分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢；6 0在02s这段时间内，物体的平均速度为 3（m/s）；2032 20在1013s这段时间内，物体的平均速度为 zu 4（m/s）13 10明显，物体在后一段时间比前一段时间运动得快；问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：ty/CC）39-:-.丁.一：.k-A-一-一 1.一_ I|_ a 38-”欠:.彳*,*,.37-:.3.i 一V-1-36”；.”：丁，：.7 0 10 20 30 40 50 60 70 Wmin比较时间x从O min到20min和从20min到30min体温的变化情形，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的 快慢？分析：依据图像可以看出：当时间x从O min到20min时，体温y从39变为38.5,下降了 0.5；当时间x从20min到30min时，体温y从38.5 变为38,下降了 0.5；两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快；我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间 x从O min至!J 20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为38.5 39 0.520 0 200.025(/min)当时间x从20min到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为38 38.5 0.530 20 100.05(/min)这里显现了负号，它表示体温下降了，明显，肯定值越大,卜降的越快，这里体温从20min到30min这段时间下降的比O min到20min这段时间要快;（三）、小结：1、对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从、变为X 2时，函数值从率就是函数增量与自变量增量之比，函数 y f（x）在X。,X。均变化率；2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系；X）内的平均变化率 为f（X）变为f X 2）；平均变y 化,如我们常用到年产量的平 X（四）、练习：P 27页练习1,2,3,4题；习题2-1中11 2（五）作业布置：1、已知曲线y x上两点的横坐标是X。和X。x,求过A B两点的直线斜率;2学习参考资料wor d整理版2、.物体按规律s t2 10t作变速直线运动，求该物体从 2秒末到6秒末这段时间内的平均速度;五、教后反思:其次课时 变化的快慢与变化率瞬时变化率一、教学目标：1、懂得函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能依据函数的瞬时变化率判定函数在某点处变化的快慢；3、懂得瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简洁的实际问题；二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢；教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的懂得三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(-)、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数 y=f(x)来说，当自变量 x从X i变为X 2时，函数值从f(X)变为f仪2)；平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数 y f(x)在函数的平均变化率与函数单调性之间的关系；(:)、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程其中，g为重力加速度 9 8 m/s2gX)内的平均变化率 为y_,如我们常用到年产量的平均变化率;X_ 1 2s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为 s gt2试估量小球在t=5s这个时刻的瞬时速度；2、分析：当时间t从t。变到ti时，依据平均速度公式 0-、叱t ttl j to_tl可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度 S(6)176.4 122.5 53 9(m/s).6 s 1-5我们有时用它来近似表示 t=5s时的瞬时速度；为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出 55.1s这段时间内的平用它来近似表示t=5s时的瞬时速度;均速度1s(5.1)s 49.5(m/s)；127.45 122.55.1 5 0.1段如时间健：我。间隔进一步野将时间间隔4i短，那么可以想象，5事次缩短为前面的.均速度就更接近小球彳1,运算出相应的平土10E t=5s这个时刻的瞬时速度J速度得到下表：-时间的转变量路程的转变量年 IFJ/rtr$t o/sti/s(t)/S(s)/m平均速度/(m/s)t55.10.14.9549.555.010.010.4949.0495 5.001 0.001 0.049 49.00495 5.0001 0.0001 0.0049 49.000495可以看出，当时间ti趋于to=5s时，平均速度趋于 49m/s,因此，可以认为小球在 to=5s时的瞬时速度为49m/s；从上面的分析和运算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，假如小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将学习参考资料wor d整理版要运动49m；例2、如下列图，一根质量分布不匀称的合金棒，长为 10m；x（单位：m）表示0X这段棒长，y（单位：kg）表示O X这段棒的质量，它们满意以下函数关系：y f J?;估量该合金棒在x=2m处的线密度；1 J O x X分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度；解：由y f 2 rx,我们可以运算出相应的平均线密度得到下表 1 x）Xo/SXi/S长度X的转变量（x）/m质量y的转变量（s）/kg平均线密度-y/(kg/m)X00 1n 1n nynn 7Q00 mn nin 710/.U I9 001u.U In 001U.UU 1 IV.f 1n 710n nnm UUU f 1n nnnn7in 712-.UUU 1U.UUU IU.UUUUf IU.T I可以看出，当xi趋于xo=2m时，平均线密度趋于 0.71kg/m,因此，可以认为合金棒在 xo=2m处的线密度为0.71kg/m；从上面的分析和运算可以看出，线密度为 0.71kg/m的物理意义是，假如有 1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg；（三）、小结：对于一般的函数y f（x），在自变量x从x。变到xi的过程当中，如设Amuxix。，f fy （X。）就函数的平均变化率是 V t ixj t lx0J t lx0 X JX X i X o X而当 x趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢;（四）、练习：课本P 30练习2：1、2.（五）、作业：课本P 31习题2：3、4、5五、教后反思:第三课时 瞬时速度与瞬时加速度-、教学目标：明白平均速度的概念，把握运动物体的瞬时速度瞬时加速度的概念及求 法.二、教学重点，难点：瞬时速度瞬时加速度的概念及求法.三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（-）.问题情境1.情境：一质点运动方程为t2 10,（其中s表示在时刻t的位移，时间单位：秒，位移单位：米）；求质点在时刻t 3处的切线的斜率.（二）、同学活动2解：s t）102.问题：在时刻t 3处的切线的斜率有什么物理意义？2 2-S-S3 10 6 t t,6 t,当 t 趋近于 0 时，6(3ttt趋近于6,质点在时学习参考资料wor d悠理版刻t 3处的切线的斜率为 6；它的物理意义时刻t 3时的瞬时速度.(三).建构数学1.平均速度：物理学中，运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度.如位移S与所经过时间 t的规律是S S，设(t)t为时间转变量，从 to到to t这段时间内，物体的位移是S s t)S，那么位移的转变量 S与时间转变量 t的比就是这段时间内物体的平均速度 V,即：(to(to)s s t)s,平均变化率反映了物体在某一时间段内运动快慢程度的物理量；%。t t2.瞬时速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻 to的“速度”，即to的瞬时速度，用V表示，物体在to时的瞬时速度V(即to时S 体在ft)对于时间的瞬时变化率)，运动物 to到to t这一段时间内的平均速度 V,当t无限t趋近于0时，3.瞬时加速度nS 趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t%时的瞬时速度.(t(to)物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻 to的“加速度”，即to的瞬时加速度，用a表示，物体在to时的瞬时加速度a(即t b时速度v(t)对于时间的瞬时变化率)物体在，运动to到to t这一段时间内的平均加速度 a,当t无限趋近于0时，有at v 趋近于常数a.(to)(四)学问运用：1.例题:例1.设质点按函数160t 15t2所表示的规律运动，求质点在时刻t 3时的瞬时速度(其中s表示在时刻t的位移,时间单位：秒，位移单位：米)解：从to 3到to t 3 t这段时间内,物体的位移是 s s t)s(3)1 1603t 15 t t),6那么位移的转变量 s与时间转变量 t的比就是这段时间内物体的平均速度 v,即V 70 15 t,当t无限趋t近于。时，有v；70 15 t趋近于常数70，.质点在时刻t 3时的瞬时速度为v 70例2.跳水运动员从10m高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，t s后运动员相对于水面的高度为H(t)4.9t2 6.5t 10,确定t 2s时运动员的速度解：从to 2到to t 2 t这段时间内的平均变化率为，,2(2：13,1 49 t,当t无限趋近于0时，有Hq,13.1 4.9 t趋近于常数13.1,t t/.当t 2s时运动员的瞬时速度为 13.1.例3.设,辆轿午在大路上做加速直线运动，假设-t s时的速度为V-t 2 3,求ttoS时轿车的加速度.It)解：在t到t t的时间间隔内，轿车的平均加速度为 a v v t)v It。)(to 2t t 0 0 0t t当t趋近于常数0时，有a趋近于常数2to,所以t toS时轿车的加速度为 2to.学习参考资料wor d整理版2.练习：课本P 30页第1,2题.（五）.回忆小结：运动物体的瞬时速度的一般步骤是：求位移增量与时间增量的比t判定当t趋近于常数。时，_!是否无限趋近于-常数；求出这个常数.t（六）、作业：习题2-1中A组第3题 B 组1、2五、教后反思：0 导数的概念及其几何意义第四课时 导数的概念-、教学目标：1、学问与技能：通过大量的实例的分析，经受由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，明白导数概念 的实际背景，知道瞬时变化率就是导数：2、过程与方法：通过动手运算培育同学观看、分析、比较和归纳才能 通过问题的探究体会靠近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法；3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使同学把握导数的概念不再困难，从而激发同学学习数学 的爱好.二、教学重点：明白导数的概念及求导数的方法；教学难点：懂得导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：设函数y f x），当自变量x从xo变到xi时，函数值 f（xq）f 1 X i），函数值y关于x的平均 从 变到 变_f _Heo)化率为二X（X 1）（X o）X l X o 当X 1趋于xo,即4 X趋于。时，假如平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当 X 1趋于X。时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数 y f（x）在点X。的瞬时变化率；（二）、探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数 y fx）在点x。的导数，通常用 f 表示，记作符号-4-X 1 x0 X.!X o x 0 X例1、一条水管中流过的水量 y（单位：m3）是时间x（单位：s）的函数v f 3x；求函数y fix）在x=2-（x）处的导数f 2）,并说明它的实际意义；解：当x从2变到2+A x时，函数值从3浸变到3（2+A x）,函数值y关于x的平均变化率为 f（2 x）f 32 x）3 2 3 x r m3,.x当x趋于2,即4 x趋于0时，平均变化率趋于 3,所以f 3（m3/s）.2)导数f(2)表示当时变化率，即水流的瞬时速度；也就是假如水管的中的水以x=2s时水流的瞬x=2s时的瞬时速度流淌的话，每经过 1s,水管中流过的水量为 3 m；学习参考资料wor d整理版例2、一名食品加工厂的工人上班后开头连续工作，生产的食品量y(单位：kg)是其工作时间x(单位：h)的函数y f(x)；假设函数y f(x)在x=1和x=3处的导数分 f 4和f(3.5,试说明它们的实际意义；别为(3)1)解：f(4表示该工人工作1h的时候，其生产速度(即工作效率)为 4kg/h,也就是说，假如保持这一生产速度，1)那么他每时可以生产 4kg的食品；f(3)3.5表示该工人上班后工作 3h的时候，其生产速度为 3.5kg/h，也就是说，假如保持这一生产速度，那么他每时可以生产出 3.5kg/h的食品；例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度 y(单位：u g/mL)是时间t(单位：min)的函数y f(t)，假设函 f(t)数 y在t=10和t=100处的导数分别为f 1.5和f(10 0.6,试说明它们的实际意义；(10)0)解：f(1 1.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为 1.5pg/(ml_min)；也就是说，假如保0)持这一速度，每经过 1min,血液中药物的质量浓度将上升 1.5|j g/(mLmin)；f(100)0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为-0.6 p g/(mL-min)；也就是说，如果保持这一速度，每经过 1min,血液中药物的质量浓度将下降一 0.6 p g/(mL-min)；(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：1、求函数的变化率 V y f(V x)f(X o)X o2、求函数的平均变化率 VyVx3、求极限 lim VyX。0 v X(四)、练习：课本P 33练习：1、2.(五)、作业：课本P 37习题2-2中A组2、3补充题：1、求函数f(x)x2 X在x1邻近的平均变化率，并求出在该点处的导数.y解：X2X1XX)2f lim VX X2(1 x(1 x2 hm x)3(32、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，假如第xh时，原油的温度(单位：)为f x2 7x 15 x 8)，运算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.(x)(01Xx x 0解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 f 6和依据导数定义,f f(2 x)f(x)(2 x)2 7(2 x)15(22 7 2 15)0X X X所以f(2)limx x同理可得：f(6)5lim(x 3)x 03学习参考资料wor d整理版在第2h时和第6h时，原汕温度的瞬时变化率分别为 3和5,说明在2h邻近，原汕温度大约以降，在第6h邻近，原油温度大约以 5C/h的速率上升.注：一般地，f)反映了原油温度在时 设邻近的变化情形.(X o刻五、教后反思：3C/h的速率下第五课时 导数的几何意义(一)一、教学目标:1、通过函数的图像直观地懂得导数的几何意义;2、懂得曲线在一点的切线的概念；3、会求简洁函数在某点处的切线方程；二、教学重点：明白导数的几何意义教学难点：求简洁函数在某点出的切线方程 三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：导数的概念及求法；(二)、探究新课设函数yf X)在x。，xo+A x的平均变化 率为y _，如右图所示，它是过 A(x。,Xf 1 X o)和 B(x0+A f(X oX,线x)两点的直线的斜率；这条直线称为曲V fX)在点A处的-，条割线;如右图所示，设函数 yf(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当 x取不同的值时，可以得到不同的割线;当 x趋于。时，点B将沿着曲线y(x)趋于点A,割线A B将绕点A转动最终趋于直线I；直线I和曲线y f(X)在点A处“相切”，称直线I为曲线y f(x)在点A处的切线；该切线的斜率就是函数y f(x)在X。处的f(X。)导数函数y fx)在X。处的导数，是曲线 f(x)在点 f(X。)处的切线的斜率;y(xo,函数y f(x)在x。处切线的斜率反映了导数的几何意义；1、导数的几何意义：函数y=f x在x=x。处的导数等于在 x f 1 选)处的切线的斜率，该点 C0，即 f)lim f x)f(X。)(X(X K00 x0 X说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：求出P点的坐标；求出函数在点x处的变化率f)lim f(x x0X)f(x k，得到曲线在点fix，5.)的切线的斜 0)0 0X学习参考资料wor d整理版利用点斜式求切线方程2、导函数：由函数f x）在x=xo处求导数的过程可以看到，当时，f是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的一个函(Xo)数，我们叫它为f（X）的导函数.记 f（X）或y,f X）作:lim f(xx)x 0f(x)注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.3、函数f（x）设处的导数f、导函数f（x）、导数在点 1 Xo）之间的区分与联系;函数在一点处的导数 f xo），就是在该点的函数的转变量与自变量的转变量之比的极限，它是一个常数，不是变数；(2)函数的导数，是指某区间内任意点 X而言的，就是函数fX 的导函数(3)数函 f X）在点X o处的导数f就是导函数f（x）X X o处的函数值，这也是 求函数在点X o处的导数的方法(Xb)(1)之-一;例1、2X，即：在yX已知函数yxo=2；(x)（1）分别对 x=2,1,0.5 求 y2X 在区间X。，x0+A x上的平均变化率，并画出过点（X 0,（2）求函数y在xo=2处的导数，并画出曲线2X在点（一 2,4）处的切线;解：(1)x=2,1,0.5 时,区间X O,xo+A x相应为卜2，0,-2，-1，-2，-1.5；2y x在这些区间上的2Xyf&）的相应割线;平均变化率分别为f(2)022)2(2)2)1)2f 1.5)f0.51.5)0.5其相应割线如右图所示，分别是过点（(2-2,4)和点（0,0）的直线I 1,过点（-2,4）和点（-1,1）的直线|2,f2221122,3，23.5.过点（-2,(2)4)和点(-1.5,2.25)的直线|3.2y X在区间-2,-2+A X上的平均变化率为(2x)2(2)2X4 x x)2 4 x.令4 x趋于0,知函数yx2 4,X在xo=2处的导数为-_ _ _曲线y X?在点(-2,4)处的切线为I,如右图所示;例2、求函数y f 2x在x=1处的切线方程；(X)解：先求y 2x3在x=i处的导数：学习参考资料wor d整理版f x)f(1)2 x)2 13 2 1 3 x 3(2(X)2 2/_ _2_ _K_ 0 0 X N I A Jn1X X X令卜X趋于0,知函数y 2x3在X=1处的导数为f 6；这样，函数y32x在点（1,f（1）=（1,2）处的切线斜率为6.即该切线经过点（1,2）,斜率为6.因此切线方程为 y-2=6（x-1）.即y=6x-4.切线如下列图；（三）、小结：函数y（x）在X。处的导数，是曲线 fx）在点 y（xo,f（X o）处的切线的斜率:函数y fix在x。处切线的斜率反映了导数的几何意义;（四）、练习：课本P 37练习：1、2.（五）、作业：课本P 37习题2-2中A组4、5 五、教后反思:第六课时 导数的几何意义（二）-、教学目标：把握切线斜率由割线斜率的无限靠近而得，把握切线斜率的求法.:、教学重点，难点：（1）能体会曲线上点邻近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上-点处的切线斜率.三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（-）、问题情境1.情境：设的直线I.乒或如上图直线卜，卜为经过曲线上一点 P的两条直线.2.问题：怎样找到在曲线上的一点 P处最逼曲线的直线I呢?（：）、同学活动（1）判定哪一条直线在点 P邻近更加靠近曲线.P邻近将靠近一条确定OX学习参考资料wor d整理版（2）在点P邻近能作出一条比I1，b更加靠近曲线的直线卜吗？（3）在点P邻近能作出一条比更加靠近曲线的直线 吗？（三）、建构数学1.割线及其斜率：连结曲线 C上的两点的直线 P Q叫曲线C的割线，设曲线C上的一点P f（x）,过点P的一条割线交曲线C于 Qx x,f xx）,就割线P Q的斜率为（x,另一点kP Q f(X x)f(XX)f(X)(X o X)2.切线的定义：随着点Q沿着曲线C向点P运动，割线P Q在点P邻近越来越靠近曲线 C；当点Q无限靠近点P时,直线P Q最终就成为在点P处最靠近曲线的直线I,这条直线I也称为曲线在点P处的切线；3.切线的斜率：当点 Q沿着曲线C向点P运动，并无限靠近点 P时，割线P Q靠近点P处的切线I,从而割线的斜 率靠近切线|的斜率，即当 x无限趋近于0时，f、无限趋近于点 p f 处的切线的斜率.(X,X（四）、数学运用）1.例题：例1.已知曲线y X2,（1）判定曲线P1,1）在点P处是否有切线，假如有，求切线的斜率，然后写出切线的方程.（2）求曲线y f（x）2处的切线斜率；分析：（1）如Q是曲线y X?上点P邻近的一点，当Q沿着曲线y X?无限接近点P时，割线P Q的斜率是否无限接近于一-个常数如有，就这个常数是曲线 y X?在点P处的切线的斜率；（2）为求得过点 2,4）的切线斜率，我们从经过点2,4）的任意一点直线（割线）入手；解：（1）在曲线y X?上点P邻近的取一点 Q,设点Q的横坐标为1 x,就函数的增量为 y X）1 2 X（X）之，.割线P Q的斜率为2 x,.当 x无限趋近于0时,X无限趋近于常数2,曲线y x2在点P处有切线，且切线的斜率为 2,所求切线方程是 y 1 2 1），即y 2x 1.(2)设P(2,4),x,x)2)，就割线P Q的斜率为Q(2(2学习参考资料wor d整理版(2 x)2 4kpQ 4 xX当x无限趋近于0时，kpQ无限趋近于常数4,从而曲线y f(x)在点P(2,4)处切线的斜率为 4;例2.已知f(x)2x2 2,求曲线y f(x)1处的切线的斜率.2x2在点p 5a)处是否有切线？假如有，求出切线的方程.习题2-2中B组1、2在x分析：为了求过点(1,2)的切线的斜率，要从经过点(1,2)的任意一条割线入手.解：设PQ1,2)(1X,2(1就割线P Q的斜率:kpQx)2 22 fx22 x)当x无限趋近于x(1x(2x)2 2 2)2(1 x)0时，kpQ无限趋近于常数1,，曲线yP处有切线，且切线的斜率为1.x)2),2222 x412 2 21f(x在点例3.已知曲线方程2,1)处的切线方程.y1,求曲线在P x1解:设Q(2X,是点p邻近的一点,(2X)kP Q 1112X)xX)x无限趋近于0时,kP Q无限趋近于常数1,，曲线y f(x)在点P处有切线，且切线的斜率为1.所求直线方程:当111Xx(11Xxy 3 0.2.练习：练习 第1,2,3题；习题2-2A组中第3题.(五).回忆小结：求切线斜率一般步骤是:求函数增量与自变量增量的比是否无限趋近于一常数；求出这个常数.y；判定当 x无限趋近于。时,xyX(六).课外作业：1、补充：判定曲线 y2五、教后反思:第七课时 导数的几何意义习题课一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程;二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法教学难点：懂得导数的几何意义三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导数的几何意义：函数y-f（x）Qx。处的导数就是曲线-f（x在点f（设）处的切线的斜率;y（X。，（二八探究新课学习参考资料wor d整理版4例1、在曲线y 3上求一点P使得曲线在该点处的切线满意以下条件:x（1）平行于直线 y=x+1；（2）垂直于直线 2x-16y+1=0；（3）倾斜角为135；解：设点坐标为（X o,y）,就y XOXX4X21T 24 XO8X02%OXOXI4X.当A x趋于。时，f 4X o)X o(1).切线与直线 y=x+1平行；8，f X o)1,即 31 X XI,Xo0(2).切线与直线 2x16y+1=0垂直,2 8 1，f)1,即(xo)(16 xo 8(3).切线倾斜角为 135,tan1351,即283 X oX84X（%）83X0例2、求曲线yo oX2 fxoXX22,V。1;即 P(2,1)；1,；X o 1,y0 4；即 P(1,4)；1,X o 2,y0 1；即 P(2,1)；x3 1过（1,1）点的切线的斜率;3 27曲线y x 1过（1,1）点的切线的斜率为 0或；（X）解：设过（1,1）点的切线与yX3 1相切与点p,X 1）,就（X。yX o X0 0 x)3 1 lx、)3x2 x 3X 0X)(x)2 3XX23x 3x0 x0(x)2当 x趋于0时,3x2,（Xo）0由导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线的斜率为 k 3x：又过（1,D点的切线的斜率 kX o 13 3由得：3X o 解得：X o。或X o,kX o 1 227。或k,44例3、如图，它表小跳水运动中图度随时网变化的困数2hx)4.9x 6L5j y=x(2)、y=x2(3)y=x3问题：y x 1,y x 2,y x，呢？问题：从对上面几个基函数求导，我们能发觉有什么规律吗？(.：)、新课探析1、基本初等函数的求导公式：kxb)k(k,b为常数)(0(C为常数)C)2(x (x)2x13 2 1 1 X)3x(6)X X,1【X)由你能发觉什么规律.2 x(X)为常数)(9)fa axlnax)(a0,a 1)(10)edi)X)(log x)log(a a ax xlna X 1e (Inx)0,且 a 1)COSXsin x)(14)X)sinx cos从上面这一组公式来看,我们只要把握募函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了;2、例题探析例1、求以下函数导数;(1)y x 5(2)y 4X(3)y xxxy log 3x(5)y=sin 1+x)y=sin2 3(4)(7)y=cos(2 tt x)(8)y=f(1)例2、已知点P在函数y=cosx上,例3、如直线y x b为函数y(0WxW2tt),在P处的切线斜率大于1图象的切线，求b的值和切点坐标 x0,求点P的横坐标的取值范畴;学习参考资料wor d整理版变式1、求曲线y=x在点（1,1）处的切线方程.总结切线问题：找切点 求导数 得斜率变式2、求曲线y=x2过点（0,-1）的切线方程变式3、求曲线v三x过点（1,1）的切线 方程变式4、已知直线y X 1,点P为y=x?上任意一点，求P在什么位置时到直线距离最短（三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用导函数函数导数公式表导函数函数yc（C是常数）V 0y sin xy cosxyx（a是常数）1y xy cosxy sin xy a x In a1yax 0,a 1)y tanxy 2a特殊地9、）exCOS Xy 1y.12 sin xylog a x 0,a 1)x In a1y cot x(a特殊地 Un x）X（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为 5%,物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p po（15%其中P o为t 0时的物价.假定某种商品的 p0 1,那么在第10个年头，这种商品 的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）?解：依据基本初等函数导数公式表，有 p t）ln1.051.051所以p(10)1.051ln1.05 0.08(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约为 0.08元/年的速度上涨;（五）、作业布置：见练习册P 34页3、4、6、7五、教学反思：4 导数的四就运算法就第九课时 导数的加法与减法法就-、教学目标：1、明白两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线；:、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（-）、复习：导函数的概念和导数公式表；1.导数的 定义：设函数 y f（x）在X设处邻近有定义，假如XTO 7x（也叫函数的平均变%X的比学习参考资料wor d整理版率)有极限即y无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 xy fix)在xxo处的导数，记作 y/x%，即2.y点3.、lim x)0 x 0 x)f X。)(X0X导数的几何意义：是曲线f(x)在 X o,f X o)(y点)fx)上 x0,f(x0)处的切线方程为y(X o)处的切线的斜率因此，假如f x)X o)(X 0y fix)在点X o可导，就曲线导函数(导数)：假如函数 yf(x)在开 区间a,b).个内的每点处都有导数，此时对于每X(a,b),都对应着一个确定的导数f 1,从而构成了一个新的函数(X)(X),称这个函数f/x)为函)数y(X)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的转变量yX)(2)求平均变化率(XV f(X XX)X1 X)(3)取极限，得导数y=limX I(x)oyX)X5.常见函数的导数公式:C0；(Xnnx(:)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即f g(x)(x)gx)X)fX)g(X)X)g x)证明：令y(x)u1 x)v(x),y u(xX)V(XXU(XV(X)UXx)u1 x)VXX)(X)yuVlimyxxxx0Xlimx 0uxVxlimx 0uXlimx 0VXU V，即(X)uVX)1uV(x)X例1:求以下函数的导数:(1)y_2-x_，,2_ _ _,2x T e x In 5G Cxy一(3)y.1 X 21)1 Jj X 4)yx解：（1）y2M(x(2X?2)x)2x 2X In 2；1 1(2)y(xln x)(x)(InY)2 x x(3)y(1)(xX2 1)(x3 x2 x1)(X(x(3x2 2x 1；3、2、/、学习参考资料Xrwor d整理版x2)(x1)(x2)2xx 2 2x 2 12 2xX X3 1例2：求曲线y X 上点（1,0）处的切线方程；x解：y 3 1 3x x x将X 1代入导函数得1即曲线y 3 1上点（1,0）处的切线斜率为 4,从而其切线方程为 y 0 4 1）X（X即 y 4x 4；1x3x2312X1 1 4；三）、练习：P 44练习：1、2.课本3 3 2补充题：1、求 y=x+sin x 的导数.解：y=（x）+（sin x）=3x+cosx.4 2 32、求 y=x x x+3 的导数.解：y=4x 2x 1.（四）课堂小结：本课要求：1、明白两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的 函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线；4、法就：两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数