初一数学竞赛007讲.doc

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Chapter7 含绝对值的方程及不等式
　　从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．
　　一个实数a的绝对值记作｜a｜,指的是由a所唯一确定的非负实数：

　　含绝对值的不等式的性质：

　　（2）｜a｜—|b|≤｜a+b｜≤｜a｜+|b｜;
　　(3)|a｜-｜b|≤|a—b｜≤|a｜+｜b｜．
　　由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号,转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
　　例1 解方程｜x—2｜+｜2x+1｜=7．
　　分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零

掉绝对值符号再求解．
　　解（1)当x≥2时，原方程化为 （x-2）+(2x+1）=7，

-（x-2)+（2x+1)=7．

应舍去．
　　　 -(x-2）-(2x+1)=7．

　　说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．
　　例2 求方程|x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．
｜x—（2x+1）｜=3，

即 ｜1+x｜=3， 所以 x=2或x=—4．

　 ｜x+（2x+1)|=3，
即|3x+1|=3，

　的个数为2．
　　例3 若关于x的方程｜｜x—2｜—1｜=a有三个整数解．则a的值是多少?
　　解 若a＜0，原方程无解,所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x—2|—1=±a,
　　所以 ｜x—2｜=1±a．
　　（1）若a＞1,则｜x-2｜=1—a＜0，无解．｜x—2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．
　　(2)若0≤a≤1,则由｜x—2｜=1+a，求得x=1—a或x=3+a；
　　由｜x-2｜=1—a,求得x=1+a或x=3-a．
　　原方程的解为x=3+a,3-a，1+a，1-a,为使方程有三个整数解，a必为整数,所以a只能取0或1．当a=0时,原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符,所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4,0，2，有三个解．
　　综上可知，a=1．
　　例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根,且无正根,求a的取值范围．
　　解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即
所以应有a＞—1．反之，a＞-1时，原方程有负根．
　　设方程有正根x,则x=ax＋1，即
所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．
　　综上可知,若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．
　　例5 设 求x+y．
　　分析 从绝对值的意义知
　　两个非负实数和为零时,这两个实数必须都为零．
　　解 由题设有

把③代入①得

解之得y=-3,所以x=4．故有x+y=4—3=1．
　　例6 解方程组
　　分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1,即 x=y+1或x=y—1．
　　与②结合有下面两个方程组

　　解（Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2|y|=3得 ｜y+1｜+2｜y｜=3．

组(Ⅰ）的解为 同理，解(Ⅱ）有
　　故原方程组的解为
　　例7 解方程组
　　解 由①得 x+y=｜x—y｜+2．
因为|x-y|≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③
　　把③代入②有 x+y=x+2，
所以y=2．将之代入①有｜x—2|=x,所以x-2=x, ④
　　 或 x-2=-x． ⑤
　　 ④无解，所以只有解⑤得x=1．故 为原方程组的解．
　　说明 本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形,把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和—（x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．
　　例8 解不等式｜x-5｜—｜2x+3|＜1．

　　 ＜x≤5，x＞5．
　　—(x—5)-［-（2x+3)］＜1，

-(x-5）—(2x+3)＜1,

　　（3）当x＞5时,原不等式化为 x—5—(2x+3）＜1，
　　解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
　　的解．
　　例9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2．
　　分析与解 此不等式实际上是

　　解 对｜3x—5｜≥1:

　　　　对|3x-5|≤2：

　　所以①与②的公共解应为 　　

　　例 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．
　　解 从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3,x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．

即　　　 x≤-3．

即 　　　x＞3．

　　说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义，解下面两个不等式

　　分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．
　　例11 当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x—1｜=a有解?
　　解法1 (1）当x≤—2时,｜x+2｜+｜x—1|=—2x-1≥—2(-2)-1=3．
　　(2）当-2＜x＜1时，｜x+2|+|x-1｜=x+2—x+1=3．
　　（3）当x≥1时,|x+2｜+｜x—1｜=2x+1≥2·1+1=3．
　　所以，只有当a≥3时,原方程有解．
解法2 按照绝对值的性质|a-b｜≤｜a|+｜b|，故
｜x+2｜+｜x—1｜≥|(x+2)-(x-1）｜=3．
　　其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．
练习七
　　1．解下列方程：
　　(1）｜x+3|—｜x-1|=x+1；
　　(2）||1+x|-1｜=3x；
　　(3）｜3x—2｜—｜x+1｜=x+2；
　　（4)｜3y-2｜=-｜5x—3｜．
　　2．解方程组:

　　3．解下列不等式：