特征值与特征向量的概念与求法.ppt

主讲 王娜线性代数课题组第四章第四章 特征值与特征向量特征值与特征向量线性代数课题组特征值与特征向量的求法2.特征值与特征向量的概念1.知识点1-特征值与特征向量的概念与求法线性代数课题组A =n阶方阵 非零向量 特征值 特征向量对应 一、特征值与特征向量的概念如 ，即A =，则=1为矩阵 的特征值，为A的属于=1的特征向量。线性代数课题组A =(A E)=0|A E|=0 特征方程|A E|=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式A E 特征矩阵 特征值 特征向量(非零)A：n阶方阵阶方阵线性代数课题组(2)一个特征向量不能属于不同的特征值。(1)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一 个特征值具有的特征向量不唯一；注意若 为A的属于 的特征向量，则k（k 0）也是A的属于 的特征向量。即A的属于 的特征向量不唯一。若 1，2为A的属于 的特征向量，则k1 1+k2 2 0（k1，k2不全为零）也是A的属于 的特征向量。(A E)=0 线性代数课题组 (1)0为A的特征值|A 0E|=0.(2)为A的对应于 0特征向量 (A 0E)=0.1.理论依据 2.步骤 计算|A E|求|A E|=0的根 求(A E)x=0的基础解系 二、特征值与特征向量的求法线性代数课题组思考思考对角矩阵的特征值为_上三角矩阵的特征值为_线性代数课题组求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解.例1 求矩阵 的特征值与特征向量.的特征方程为的特征值为解所以即求特征方程的根即求特征方程的根线性代数课题组解齐次线性方程组一个基础解系为于是，属于 的全部特征向量为 （）.即求齐次线性方程组即求齐次线性方程组的全部非零解的全部非零解线性代数课题组例2 求矩阵 的特征值与特征向量.的特征方程为所以 的特征值为 解线性代数课题组对于，求解齐次线性方程组 解得一个基础解系为于是，属于 的全部特征向量为（)行初等变换行初等变换线性代数课题组对于，求解齐次线性方程组 解得一个基础解系为于是，属于 的全部特征向量为 线性代数课题组例3 设，求 的特征值与的特征向量.的特征方程为所以 的特征值为解所所有有元元素素均为均为1 1线性代数课题组对于，求解齐次线性方程组 解得一个基础解系为于是，属于 的全部特征向量为（不全为零）.基础解系不基础解系不唯一，进而唯一，进而属于某一特属于某一特征值的线性征值的线性无关的特征无关的特征向量不唯一向量不唯一线性代数课题组对于，求解齐次线性方程组 解得一个基础解系为于是，属于 的全部特征向量为 线性代数课题组求方阵特征值与特征向量的步骤：小 结A =计算|A E|求|A E|=0的根 求(A E)x=0的基础解系