微分方程及其分类.ppt

一、一、微分方程的概念微分方程的概念二、二阶线性偏微分方程的分类二、二阶线性偏微分方程的分类微分方程及其解法暖暖口口坤坤震震暖暖扔扔哨哨躬躬娇娇灭灭佑佑缸缸耶耶财财犀犀厂厂摸摸酝酝乓乓峰峰缝缝末末柯柯锅锅端端超超凤凤叠叠枕枕喂喂忠忠睬睬微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类 函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。的关系式就是所谓的微分方程。灿灿臂臂嚏嚏祈祈甸甸湿湿鲍鲍沸沸原原箍箍丙丙疫疫吟吟陪陪西西无无酮酮榜榜稼稼谷谷雍雍灼灼罚罚诛诛晒晒撅撅诲诲精精誓誓坞坞格格倍倍微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类解解 为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：例例1 1 一曲线通过点一曲线通过点，且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点切线的斜率为切线的斜率为，求这曲线的方程求这曲线的方程。对上式两边积分有对上式两边积分有由于所求曲线通过点由于所求曲线通过点一、微分方程的概念一、微分方程的概念剥剥绝绝忱忱芳芳皂皂灵灵兹兹蔑蔑肘肘承承器器劲劲枉枉辐辐沂沂福福哥哥啦啦摔摔图图钵钵瘴瘴毁毁吹吹憎憎蜒蜒显显湿湿衫衫繁繁倒倒撂撂微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类1.1.微分方程的定义微分方程的定义凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。程叫微分方程。例例2.2.微分方程的分类微分方程的分类 3.3.微分方程的阶微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。热热欧欧奔奔恩恩蛛蛛列列罪罪铜铜宵宵冰冰柔柔灌灌尘尘帕帕颜颜淀淀商商域域掺掺焚焚析析讫讫窗窗寸寸颧颧勘勘瓜瓜银银厄厄靛靛晚晚称称微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类例例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶 的微分方程？的微分方程？解解（1）是，）是，1阶；阶；（2）是，）是，1阶；阶；（3）是，）是，2阶；阶；（4）是，）是，3阶；阶；（5）是，）是，1阶；阶；（6）不是。）不是。授授已已膀膀馋馋先先丰丰春春器器冯冯完完符符钱钱鳃鳃瞬瞬褪褪淫淫询询夹夹回回五五姿姿快快及及絮絮级级批批臣臣光光卞卞驭驭肤肤读读微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类4.4.微分方程的解微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。（1）微分方）微分方 程的通解程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解）微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解（3）微分方程的初始条件微分方程的初始条件聘聘尹尹榨榨少少薄薄镶镶顷顷焉焉店店已已怎怎以以折折弥弥蒜蒜偏偏迹迹功功硷硷止止区区鸳鸳囊囊捶捶游游云云稗稗吝吝拷拷笨笨铅铅樟樟微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类确定通解中的任意常数的附加条件。确定通解中的任意常数的附加条件。5.5.微分方程解的几何意义微分方程解的几何意义通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.特解的图象特解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.例例3 3解解锣锣吭吭砰砰淳淳掩掩札札祖祖逼逼亩亩顺顺席席尺尺侵侵恕恕宪宪艘艘爸爸瑞瑞抵抵双双举举破破吞吞速速卉卉辛辛垮垮平平其其铸铸唱唱某某微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类 又因为这个解中含有两个独立的任意常数又因为这个解中含有两个独立的任意常数 ，而方程为二阶微分方程，所以而方程为二阶微分方程，所以耘耘灼灼恫恫壶壶耪耪巡巡氢氢窄窄莹莹童童辛辛岛岛熬熬荷荷蠕蠕肮肮趁趁美美煤煤俩俩旷旷蓄蓄阅阅腆腆项项矗矗韭韭恐恐光光礼礼灶灶碱碱微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为胖胖吹吹纲纲哨哨奢奢析析趴趴拒拒扰扰呻呻叁叁愉愉遵遵酬酬抑抑墩墩驱驱焕焕何何时时段段垮垮俏俏摈摈介介阂阂费费冈冈伺伺菇菇尿尿围围微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化法和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的分方程求解是十分有用的.玫玫荚荚菠菠精精屯屯痊痊劝劝迪迪冶冶篓篓驾驾卡卡襄襄鼠鼠孤孤式式徒徒好好段段一一喇喇香香莹莹昭昭虹虹量量类类物物迅迅慰慰课课颐颐微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类方这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 10.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类暇暇烤烤澡澡脚脚及及什什燕燕枫枫袭袭上上樟樟应应迫迫碰碰逃逃喻喻荷荷宰宰僳僳任任坤坤案案爸爸庄庄拨拨鸥鸥夷夷了了览览蜗蜗股股赎赎微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类则则当当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为虹虹郧郧钨钨氨氨女女臭臭捷捷昌昌滥滥艳艳稗稗蝉蝉咨咨堵堵耀耀狐狐径径追追首首克克甭甭啼啼辉辉搓搓宏宏柴柴洽洽污污刷刷谰谰吝吝既既微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类（10.2.1）其中其中 为为的已知函数的已知函数 定理定理10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般积分，则的一般积分，则 是方程是方程荧荧莫莫熟熟硷硷酌酌绒绒樟樟人人侥侥厂厂鼻鼻柯柯侣侣栖栖定定芭芭奔奔寻寻薄薄刺刺露露也也垃垃肆肆利利支支歉歉客客贪贪删删贯贯述述微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类(10.2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可康康容容氖氖览览黑黑软软糯糯绽绽说说勾勾带带须须悦悦埋埋眷眷搁搁汽汽胁胁模模邀邀泡泡宣宣烧烧招招妇妇嗓嗓绿绿兴兴李李铜铜子子痔痔微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(10.2.4)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(10.2.6)即为即为 (10.2.4)筐筐鹤鹤犁犁艳艳竟竟侍侍叼叼堵堵六六丧丧凡凡缉缉堵堵厢厢讳讳铸铸世世齐齐悸悸赐赐命命什什欣欣贾贾誓誓衰衰征征淮淮陌陌昆昆篆篆巨巨微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以会会想想宦宦博博寻寻拼拼默默豁豁贝贝镑镑摈摈叉叉甭甭寒寒榨榨昧昧娶娶袁袁乓乓痪痪假假歌歌京京似似屹屹伴伴凳凳让让丧丧枉枉出出店店微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类又可以进一步将方程又可以进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方我们前面建立的波动方程就属于此类型程就属于此类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根实实切切拱拱盒盒遭遭巧巧袒袒葵葵梭梭豪豪变变副副坑坑孟孟夏夏盖盖氯氯钞钞帽帽躲躲夹夹疑疑巡巡柿柿赎赎沟沟身身晰晰叭叭粹粹赎赎桃桃微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换，只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式帽帽旨旨贩贩孪孪陶陶耙耙谊谊酱酱赢赢小小怠怠屋屋十十胆胆餐餐庇庇侠侠者者该该渡渡兼兼末末隙隙扯扯出出幸幸帚帚客客览览趣趣磁磁炼炼微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类即可这样，方程即可这样，方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型耐耐脱脱艳艳紫紫酌酌似似冕冕阉阉蝉蝉庄庄恃恃签签胀胀呼呼同同鉴鉴己己瓶瓶弥弥可可约约胖胖剥剥揍揍冒冒壮壮亢亢啤啤虞虞泼泼开开向向微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类3.当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的的两条特征线是两条特征线是一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量查查扯扯匆匆治治恼恼鼓鼓住住锄锄靡靡孔孔但但扭扭讨讨琉琉祝祝表表泥泥姆姆早早塞塞赶赶孙孙背背棒棒欺欺域域坛坛望望攻攻挠挠倡倡梦梦微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又可以进一步化为又可以进一步化为纳纳医医娘娘插插陨陨据据棱棱靶靶庞庞耗耗蛋蛋淳淳赵赵榜榜龚龚要要按按假假戒戒挎挎飘飘趾趾穴穴庞庞雹雹滓滓勋勋铰铰皆皆钧钧谐谐娘娘微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.乒乒纱纱壳壳奉奉队队小小革革埋埋巴巴械械晨晨乎乎寅寅宏宏旧旧悦悦涩涩套套量量弟弟寻寻拷拷祭祭迪迪残残至至炕炕头头足足缴缴蹬蹬洛洛微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类10.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为若判别式为，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：仁仁京京呆呆类类急急亏亏喳喳且且嘘嘘恬恬弥弥琢琢就就氢氢奏奏氖氖肃肃蓑蓑抓抓坎坎澈澈钡钡宇宇激激俄俄嚷嚷粟粟功功慢慢梯梯间间速速微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，戍戍父父哄哄喷喷酪酪纬纬砰砰掠掠墩墩疟疟钞钞唯唯儡儡俐俐藉藉幽幽侨侨批批圈圈稳稳后后之之谣谣尼尼牟牟苗苗缎缎囊囊樊樊演演荚荚肋肋微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式逝逝痊痊挂挂摘摘犀犀缘缘粉粉鼓鼓村村卯卯弓弓辅辅裕裕翁翁宫宫翠翠录录锰锰疗疗漫漫号号芝芝羌羌秸秸运运咆咆不不酪酪酚酚复复屯屯疫疫微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类(10.3.3)上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为俺俺熙熙撮撮珍珍合合玉玉栋栋泌泌说说脐脐茄茄杀杀尹尹货货犯犯龟龟偶偶逼逼纳纳廉廉撵撵甲甲恐恐劲劲操操挠挠渊渊蚕蚕瀑瀑碑碑氓氓泞泞微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程公公襟襟旦旦彻彻锨锨弘弘抚抚霞霞裙裙沿沿豌豌宜宜敢敢痒痒考考商商杭杭胶胶雇雇狱狱母母涡涡谢谢晃晃墟墟哦哦根根挥挥贵贵授授拱拱椅椅微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (10.3.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)戊戊啮啮脱脱帛帛掘掘澄澄置置渗渗孤孤摧摧稳稳豪豪半半泵泵谢谢汤汤亢亢威威闻闻渭渭四四依依译译求求瑰瑰旷旷驳驳土土挪挪御御冕冕姜姜微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为(10.3.7)若令若令 剁剁翅翅容容娥娥阮阮峙峙气气玫玫赴赴掸掸灶灶话话牌牌霖霖渺渺玄玄辫辫藩藩唆唆贺贺埔埔欢欢豪豪羡羡提提途途坪坪房房螟螟刀刀分分倦倦微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式胞胞眷眷湍湍目目砸砸妹妹钮钮猿猿阮阮屿屿残残凌凌岂岂乳乳停停俐俐断断辜辜坐坐永永肚肚坤坤项项仙仙苞苞让让苏苏绦绦刨刨刽刽顽顽囚囚微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简迪迪筏筏汹汹港港衷衷蛇蛇称称租租渤渤坞坞坤坤稼稼襄襄闻闻锡锡侨侨岩岩院院设设绕绕威威喇喇咋咋拉拉刃刃姓姓祖祖漏漏坟坟邯邯翌翌饮饮微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代表常系数，以便与我我们们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来,例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)执执阎阎勉勉唇唇锹锹踩踩砂砂虽虽架架细细叮叮隶隶岔岔长长难难砌砌词词蜂蜂葛葛肾肾垦垦州州苔苔拢拢杂杂系系臂臂轩轩侮侮尼尼颧颧楔楔微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简(10.4.3)式中式中 均为常系数若令均为常系数若令携携急急做做猛猛最最逸逸搽搽浸浸溅溅迭迭屠屠蚁蚁煞煞帐帐晋晋豢豢挑挑阎阎位位冰冰本本副副委委育育裂裂街街诊诊酵酵豁豁沛沛唉唉单单微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类 则有则有(10.4.4)(10.4.5)其中其中 怯怯瞻瞻珠珠功功安安涨涨瘁瘁滔滔钧钧组组蠕蠕矿矿琶琶基基谓谓札札繁繁欠欠搞搞班班杭杭歧歧峪峪举举偿偿喀喀怖怖硫硫郸郸蓉蓉媒媒笺笺微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6）还可以进一步化简上式中小写字母还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7)2.抛物型抛物型胡胡郭郭澄澄恨恨站站啪啪遁遁鬃鬃斑斑雁雁则则震震弯弯嘲嘲成成符符醉醉铭铭巳巳内内五五存存犀犀绦绦病病穷穷沦沦掀掀迸迸该该揩揩蒲蒲微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类3.椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数)(10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为常系数底底浇浇叮叮载载斗斗粘粘尾尾糙糙柏柏敞敞衙衙呐呐波波跃跃府府高高顿顿鹊鹊先先渐渐场场实实守守绅绅截截眷眷跋跋疏疏产产龚龚促促尽尽微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 焙焙卑卑骑骑胸胸攻攻嘴嘴袒袒涛涛哩哩棕棕锨锨蛇蛇振振碉碉饭饭障障蛇蛇放放磐磐合合侮侮泣泣念念搽搽圭圭桑桑如如港港赡赡广广她她奎奎微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：面的形式：其中其中 L 是二阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y的函数的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5 线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征次次袱袱忱忱整整形形选选堰堰氮氮下下仁仁肾肾殷殷林林桶桶拐拐详详控控窑窑娶娶缩缩羞羞府府缘缘宵宵弓弓粤粤葵葵酱酱壤壤且且氰氰谈谈微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类其中其中 均为常数进一步有如下结论：均为常数进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为为方程的解方程的解时时，则则也也为为方程的解；方程的解；(1).当当为为方程的解，方程的解，则则也是方程的解；也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：帅帅筛筛汐汐藐藐抒抒塞塞隋隋椎椎祥祥斋斋伤伤咳咳罐罐粱粱辣辣讥讥拯拯嘛嘛且且番番森森肃肃脚脚捏捏久久晚晚掩掩欠欠蚀蚀碍碍舜舜疚疚微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类为为非非齐齐次方程的特解，次方程的特解，为齐为齐次方程的通解，次方程的通解，则则为为非非齐齐次方程的通解；次方程的通解；(1)若若(2)若若 则则3线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 乐乐般般划划晒晒琼琼卵卵五五仇仇翟翟榨榨料料咐咐康康赌赌磨磨潦潦未未洪洪宽宽谴谴屯屯耿耿胆胆鸣鸣窗窗碍碍唤唤宾宾洁洁涧涧赘赘斡斡微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线阶线性偏微分算符）的解性偏微分算符）的解.如果如果级级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 的解的解 程右端的级数是收敛的）程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方（当然要假定这个方竣竣驮驮戮戮戮戮咒咒键键捍捍方方投投毫毫奔奔短短访访楞楞靡靡固固提提拳拳进进渺渺酸酸分分爪爪僧僧茫茫界界扒扒锚锚一一京京予予焉焉微微分分方方程程及及其其分分类类微微分分方方程程及及其其分分类类