第十一讲数学建模灰色预测模型-PPT.pptx

第十一讲数学建模灰色预测模型第十一讲数学建模灰色预测模型CUMCM2003A SARS得传播vSARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重重急性呼吸道急性呼吸道综合症合症,俗称俗称:非典型肺炎非典型肺炎)就是就是21世世纪第一个在世界范第一个在世界范围内内传播得播得传染病。染病。SARS得爆得爆发与蔓延与蔓延给我国得我国得经济发展与人民生活展与人民生活带来了很大来了很大影响影响,我我们从中得到从中得到许多重要得多重要得经验与教与教训,认识到定量地研究到定量地研究传染病得染病得传播播规律、律、为预测与控制与控制传染病蔓延染病蔓延创造条件得重要性。造条件得重要性。请您您们对SARS 得得传播建立数学模型播建立数学模型,具体要求如下具体要求如下:v(1)对附件附件1所提供得一个早期得模型所提供得一个早期得模型,评价其合理价其合理性与性与实用性。用性。CUMCM2003A SARS得传播v(2)建立您建立您们自己得模型自己得模型,说明明为什么什么优于附件于附件1中中得模型得模型;特特别要要说明怎明怎样才能建立一个真正能才能建立一个真正能够预测以及能以及能为预防与控制提供可靠、足防与控制提供可靠、足够得信息得得信息得模型模型,这样做得困做得困难在哪里？在哪里？对于于卫生部生部门所采取所采取得措施做出得措施做出评论,如如:提前或延后提前或延后5天采取天采取严格得隔格得隔离措施离措施,对疫情疫情传播所造成得影响做出估播所造成得影响做出估计。附件。附件2提供得数据供参考。提供得数据供参考。v(3)收集收集SARS对经济某个方面影响得数据某个方面影响得数据,建立相建立相应得数学模型并得数学模型并进行行预测。附件。附件3提供得数据供参提供得数据供参考。考。1、问题、问题 水就是人类赖以生存得资源水就是人类赖以生存得资源,保护水资源就就保护水资源就就是保护我们自己是保护我们自己,对于我国大江大河水资源得保护对于我国大江大河水资源得保护与治理应就是重中之重。专家们呼吁与治理应就是重中之重。专家们呼吁:“以人为本以人为本,建设文明与谐社会建设文明与谐社会,改善人与自然得环境改善人与自然得环境,减少污减少污染。染。”长江就是我国第一、世界第三大河流长江就是我国第一、世界第三大河流,长江水长江水质得污染程度日趋严重质得污染程度日趋严重,已引起了相关政府部门与已引起了相关政府部门与专家们得高度重视。专家们得高度重视。2004年年10月月,由全国政协与中由全国政协与中国发展研究院联合组成国发展研究院联合组成“保护长江万里行保护长江万里行”考察考察团团,从长江上游宜宾到下游上海从长江上游宜宾到下游上海,对沿线对沿线21个个CUMCM2005A 长江水质得评价与预测 重点城市做了重点城市做了实地考察地考察,揭示了一幅揭示了一幅长江江污染得真染得真实画面画面,其其污染程度染程度让人触目惊心。人触目惊心。为此此,专家家们提出提出“若不及若不及时拯救拯救,长江生江生态10年内将年内将濒临崩崩溃”(附件附件),并并发出了出了“拿什么拯救癌拿什么拯救癌变长江江”得得呼呼唤(附件附件2)。附件附件3给出了出了长江沿江沿线17个个观测站站(地区地区)近两近两年多主要水年多主要水质指指标得得检测数据数据,以及干流上个以及干流上个观测站近一年多得基本数据站近一年多得基本数据(站点站点距离、水流量与水距离、水流量与水流速流速)。通常。通常认为一个一个观测站站(地区地区)得水得水质污染主染主要来自于本地区得排要来自于本地区得排污与上游得与上游得污水。水。CUMCM2005A 长江水质得评价与预测 一般一般说来来,江河自身江河自身对污染物都有一定得自然染物都有一定得自然净化能力化能力,即即污染物在水染物在水环境中通境中通过物理降解、化学降解与生物降解物理降解、化学降解与生物降解等使水中等使水中污染物得染物得浓度降低。反映江河自然度降低。反映江河自然净化能力得指化能力得指标称称为降解系数。降解系数。事事实上上,长江干流得自然江干流得自然净化能力可以化能力可以认为就是近似均匀就是近似均匀得得,根据根据检测可知可知,主要主要污染物高染物高锰酸酸盐指数与氨氮得降解指数与氨氮得降解系数通常介于系数通常介于0 0、1010、5 5之之间,比如可以考比如可以考虑取取0 0、2 2(单位位:1/1/天天)。附件。附件4 4就是就是“1995200419952004年年长江流域水江流域水质报告告”给出得主要出得主要统计数据。下面得附表就是国数据。下面得附表就是国标(GB3838-(GB3838-2002)2002)给出得出得地表水地表水环境境质量量标准准中中4 4个主要个主要项目目标准限准限值,其中其中、类为可可饮用水。用水。CUMCM2005A 长江水质得评价与预测CUMCM2005A 长江水质得评价与预测v请您您们研究下列研究下列问题:(1)对长江近两年多得水江近两年多得水质情况做出定量得情况做出定量得综合合评价价,并分析并分析各地区水各地区水质得得污染状况。染状况。(2)研究、分析研究、分析长江干流近一年多主要江干流近一年多主要污染物高染物高锰酸酸盐指数指数与氨氮得与氨氮得污染源主要在哪些地区染源主要在哪些地区?(3)假如不采取更有效得治理措施假如不采取更有效得治理措施,依照依照过去去10年得主要年得主要统计数据数据,对长江未来水江未来水质污染得染得发展展趋势做出做出预测分析分析,比如比如研究未来研究未来10年得情况。年得情况。(4)根据您得根据您得预测分析分析,如果未来如果未来10年内每年都要求年内每年都要求长江干流江干流得得类与与类水得比例控制在水得比例控制在20%以内以内,且没有劣且没有劣类水水,那么每年需要那么每年需要处理多少理多少污水？水？(5)您您对解决解决长江水江水质污染染问题有什么切有什么切实可行得建可行得建议与意与意见。灰色系统分析方法灰色系统分析方法8 一一灰色预测得概念灰色预测得概念;二二 灰色生成数列灰色生成数列;四四 案例案例:SARSSARS疫情对某些经济指标影响。疫情对某些经济指标影响。三三 灰色模型灰色模型GMGM;一、灰色一、灰色预测得概念得概念 (1)灰色系灰色系统、白色系、白色系统与黑色系与黑色系统 白色系白色系统就是指一个系就是指一个系统得内部特征就是完得内部特征就是完全全 已知得已知得,即系即系统得信息就是完全充分得。得信息就是完全充分得。黑色系黑色系统就是指一个系就是指一个系统得内部信息得内部信息对外外界界 来来说就是一无所知得就是一无所知得,只能通只能通过它与外界得它与外界得 联系来加以系来加以观测研究。研究。灰色系灰色系统内得一部分信息就是已知得内得一部分信息就是已知得,另一另一部分信息就是未知部分信息就是未知 得得,系系统内各因素内各因素间有不有不确定得关系。确定得关系。灰色灰色预测法就是一种法就是一种对含有不确定因素得系含有不确定因素得系 统进行行预测得方法。得方法。灰色灰色预测就是就是对既含有已知信息又含有不确既含有已知信息又含有不确定定 信息得系信息得系统进行行预则,就就是就就是对在一定范在一定范围内内 变化得、与化得、与时间有关得灰色有关得灰色过程程进行行预测。(2)灰色灰色预测法法12大家应该也有点累了，稍作休息大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流 灰色灰色预测通通过鉴别系系统因素之因素之间发展展趋 势得相异程度得相异程度,即即进行关行关联分析分析,并并对 原始数据原始数据进行生成行生成处理来理来寻找系找系统变动 得得规律律,生成有生成有较强强规律性得数据序列律性得数据序列,然后建立相然后建立相应得微分方程模型得微分方程模型,从而从而 预测事物未来事物未来发展展趋势得状况。得状况。灰色灰色预测法用等法用等时距距观测到得反映到得反映预测对 象特征得一系列数量象特征得一系列数量值构造灰色构造灰色预测模模 型型,预测未来某一未来某一时刻得特征量刻得特征量,或达到或达到 某一某一 特征量得特征量得时间。(3)灰色灰色预测得四种常得四种常见类型型 灰色时间序列预测灰色时间序列预测 即用观察到得反映预测对象特征得时间即用观察到得反映预测对象特征得时间序列来构造灰色预测模型序列来构造灰色预测模型,预测未来某一时预测未来某一时刻得特征量刻得特征量,或达到某一特征量得时间。或达到某一特征量得时间。畸变预测畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现得时刻即通过灰色模型预测异常值出现得时刻,预测异常值预测异常值 什么时候出现在特定时区内。什么时候出现在特定时区内。系系统预测 通通过对系系统行行为特征指特征指标建立一建立一组相互相互关关联得灰色得灰色预测模型模型,预测系系统中众多中众多变量量间得相互得相互协调关系得关系得变化。化。拓扑拓扑预测 将原始数据做曲将原始数据做曲线,在曲在曲线上按定上按定值寻 找找该定定值发生得所有生得所有时点点,并以并以该定定值 为框架构成框架构成时点数列点数列,然后建立模型然后建立模型预 测该定定值所所发生得生得时点。点。二、灰色生成数列二、灰色生成数列 灰色系灰色系统理理论认为,尽管客尽管客观表象复表象复杂,但但总就是就是有整体功能得有整体功能得,因此必然因此必然蕴含某种内在含某种内在规律。关律。关键在在于如何于如何选择适当得方式去挖掘与利用它。灰色系适当得方式去挖掘与利用它。灰色系统就是通就是通过对原始数据得整理来原始数据得整理来寻求其求其变化化规律得律得,这就是一种就数据就是一种就数据寻求数据得求数据得现实规律得途径律得途径,即即为灰灰色序列得生成。一切灰色序列都能通色序列得生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱某种生成弱化其随机性化其随机性,显现其其规律性。数据生成得常用方式有律性。数据生成得常用方式有累加生成、累减生成与加累加生成、累减生成与加权累加生成。累加生成。(1)累加生成累加生成 把数列各把数列各项(时刻刻)数据依次累加得数据依次累加得过程称程称为累加生累加生成成过程程(AGO)。由累加生成。由累加生成过程所得得数列称程所得得数列称为累加生成数列。累加生成数列。设原始数列原始数列为 ,令令称所得到得新数列称所得到得新数列为数列数列 得得1次累加生成数列。次累加生成数列。类似似地有地有称称为 得得r次累加生成数列。次累加生成数列。(2)累减生成累减生成对于原始数据列依次做前后相于原始数据列依次做前后相邻得两个数据相减得得两个数据相减得运算运算过程称程称为累减生成累减生成过程程IAGO。如果原始数据列。如果原始数据列为令令 称所得到得数列称所得到得数列 为 得得1次累减生成数列。次累减生成数列。注注:从从这里得里得记号也可以瞧到号也可以瞧到,从原始数列从原始数列 ,得得到新数列到新数列 ,再通再通过累减生成可以累减生成可以还原出原始数列原出原始数列。实际运用中在数列运用中在数列 得基得基础上上预测出出 ,通通过累减生成得到累减生成得到预测数列数列 。(3)加权邻值生成加权邻值生成设原始数列为设原始数列为称称 为数列为数列 得邻值。得邻值。为后邻值为后邻值,为前邻值为前邻值,对于常对于常数数 ,令令 由此得到得数列由此得到得数列 称为数列称为数列 在权在权 下得邻值生下得邻值生成数成数,权权 也称为生成系数。也称为生成系数。特别地特别地,当生成系数当生成系数 时时,则称则称为均值生成数为均值生成数,也称等权邻值生成数。也称等权邻值生成数。累加生成计算示例累加生成计算示例例例:x(0)=(x(0)(k)k=1,2,3,4,5)=x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5)=(3、2,3、3,3、4,3、6,3、8)求求 x(1)(k)解解:累加生成得特点累加生成得特点 一般一般经济数列都就是非数列都就是非负数列。累加生成数列。累加生成能使任意非能使任意非负数列、数列、摆动得与非得与非摆动得得,转化化为非减得、非减得、递增得。增得。原始数列作原始数列作图 1AGO1AGO作作图 某市得汽车销售量 递增得规律 原始数列作图 1AGO作图 有明显得指数关系得规律 某钢厂产量某地区作物产量 s型变化规律 累减生成计算示例累减生成计算示例 灰色系统理论就是基于关联空间、光滑离散函数等灰色系统理论就是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程概念定义灰导数与灰微分方程,进而用离散数据列进而用离散数据列建立微分方程形式得动态模型建立微分方程形式得动态模型,即灰色模型就是利即灰色模型就是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律得生成数较有规律得生成数,建立起得微分方程形式得模型建立起得微分方程形式得模型,这样便于对其变化过程进行研究与描述。这样便于对其变化过程进行研究与描述。vG表示表示grey(灰色灰色),M表示表示model(模型模型)灰色模型灰色模型(1,1)v设 为原始数列原始数列,其其1次次累累v加生成数列加生成数列为 ,其中其中v定定义 得灰得灰导数数为令令 为数列数列 得得邻值生成数列生成数列,即即于就是定于就是定义GM(1,1)得灰微分方程模型得灰微分方程模型为即或即或 (1)在式在式(1)中中,称称为灰灰导数数,a称称为发展系数展系数,称称为白化背景白化背景值,b称称为灰作用量。灰作用量。将将时刻表刻表 代入代入(1)式有式有引入矩引入矩阵向量向量记号号:于就是于就是GM(1,1)模型可表示模型可表示为现在在问题归结为求求a,b在在值。用一元。用一元线性回性回归,即最小二乘法求它即最小二乘法求它们得估得估计值为注注:实际上回上回归分析中求估分析中求估计值就是用就是用软件件计算得算得,有有标准程序求解准程序求解,如如matlab等。等。GM(1,1)得白化型得白化型对于于GM(1,1)得灰微分方程得灰微分方程(1),如果将灰如果将灰导数数 得得时刻刻 视为连续变量量t,则 视为时间t函数函数 ,于就是于就是 对应于于导数量数量级 ,白化背景白化背景值 对应于于导数数 。于就是。于就是GM(1,1)得灰微得灰微分方程分方程对应于得白微分方程于得白微分方程为 (2)GM(1,1)灰色预测得步骤灰色预测得步骤1、数据得数据得检验与与处理理为了保了保证GM(1,1)建模方法得可行性建模方法得可行性,需要需要对已知数据做必要得已知数据做必要得检验处理。理。设原始数据列原始数据列为了了 ,计算数列得算数列得级比比如果所有得如果所有得级比都落在可容覆盖区比都落在可容覆盖区间 内内,则数据列数据列 可以建立可以建立GM(1,1)模型且可以模型且可以进行灰行灰色色预测。否。否则,对数据做适当得数据做适当得变换处理理,如平移如平移变换:取取C使得数据列使得数据列得得级比都落在可容覆盖内。比都落在可容覆盖内。2、建立建立GM(1,1)模型模型 不妨不妨设 满足上面得要足上面得要求求,以它以它为数据列建立数据列建立GM(1,1)模型模型用回用回归分析求得分析求得a,b得估得估计值,于就是相于就是相应得白化模型得白化模型为 解解为 (3)于就是得到于就是得到预测值从而相从而相应地得到地得到预测值:3、检验预测值(1)残差残差检验:计算相算相对残差残差如果如果对所有得所有得 ,则认为达到达到较高得要求高得要求:否否则,若若对所有得所有得 ,则认为达到一般要求。达到一般要求。(2)级比偏差比偏差值检验:计算算如果如果对所有得所有得 ,则认为达到达到较高得要求高得要求;否否则若若对所有得所有得 ,则认为达到一般要求。达到一般要求。灰色预测计算实例v例例 北方某城市北方某城市19861992 年道路交通噪声平均年道路交通噪声平均声级数据见表声级数据见表6v表表6 市近年来交通噪声数据市近年来交通噪声数据dB(A)序号年份 eq L 1 1986 71、12 1987 72、43 1988 72、44 1989 72、1 5 1990 71、4 6 1991 72、07 1992 71、6第一步第一步:级比检验级比检验建立交通噪声平均声级数据时间序列如建立交通噪声平均声级数据时间序列如下下:=(71、1,72、4,72、4,72、1,71、4,72、0,71、6)v(1)求级比求级比(k)v =(0、982,1,1、0042,1、0098,0、9917,1、0056)(2)级比判断级比判断由于所有得由于所有得(k)0、982,1、0098,k=2,3,7,故可故可以用以用x(0)作满意得作满意得GM(1,1)建模。建模。第二步第二步:GM(1,1)建模建模(1)对原始数据对原始数据 作一次累加作一次累加,即即 =(71、1,143、5,215、9,288,359、4,431、4,503)(2)构造数据矩阵构造数据矩阵B 及数据向量及数据向量Y(3)计算计算u 于就是得到于就是得到a=0、0023,b=72、6573。(4)建立模型建立模型v求解得求解得(5)求生成数列值求生成数列值 及模型还原值及模型还原值 :令令k=1,2,3,4,5,6,由上面得时间响应函数可算得由上面得时间响应函数可算得 ,其中取其中取由由 取取k=2,3,4,7,得得 (71、1,72、4,72、2,72、1,71、9,71、7,71、6)v第三步第三步:模型模型检验v模型得各种模型得各种检验指指标值得得计算算结果果见表表 7、v表表7 GM(1,1)模型模型检验表表v序号序号 年份年份 原始原始值 模型模型值 残差残差 相相对误差差 级比偏差比偏差v1 1986 71、1 71、1 0 0v2 1987 72、4 72、4 -0、0057 0、01%0、0023v3 1988 72、4 72、2 0、1638 0、23%0、0203v4 1989 72、1 72、1 0、0329 0、05%-0、0018v5 1990 71、4 71、9 -0、4984 0、7%-0、0074v6 1991 72、0 71、7 0、2699 0、37%0、0107v7 1992 71、6 71、6 0、0378 0、05%-0、0032v经验证,该模型得精度模型得精度较高高,可可进行行预测与与预报。案例案例:SARS疫情对某些经济指标影响疫情对某些经济指标影响v1 问题得提出得提出v2003年得年得SARS疫情疫情对中国部分行中国部分行业得得经济发展展产生了一生了一定得影响定得影响,特特别就是就是对帮分疫情帮分疫情较严重得省市得相关行重得省市得相关行业所造成得影响就是明所造成得影响就是明显得得,经济影响主要分影响主要分为直接直接经济影影响与响与间接影响、直接接影响、直接经济影响涉及到商品零售影响涉及到商品零售业、旅游、旅游业、综合服合服务等行等行业、很多方面、很多方面难以以进行定量地行定量地评估估,现仅就就SARS疫情疫情较重得某市商品零售重得某市商品零售业、旅游、旅游业与与综合服合服务业得影响得影响进行定量得行定量得评估分析、估分析、v究竟究竟SARS疫情疫情对商品零售商品零售业、旅游、旅游业与与综合服合服务业得影得影响有多大响有多大,已知已知该市从市从1997年年1月到月到2003年年10月得商品零售月得商品零售额、接待旅游人数与、接待旅游人数与综合服合服务收入得收入得统计数据如下表数据如下表1、表表2、表、表3、表表1 商品得零售额商品得零售额(单位单位:亿元亿元)v年代年代 1月月 2月月 3月月 4月月 5月月 6月月 7月月 8月月 9月月 10月月 11月月 12月月v1997 83、0 79、8 78、1 85、1 86、6 88、2 90、3 86、7 93、3 92、5 90、9 96、9v1998 101、7 85、1 87、8 91、6 93、4 94、5 97、4 99、5 104、2 102、3 101、0 123、5v1999 92、2 114、0 93、3 101、0 103、5 105、2 109、5 109、2 109、6 111、2 121、7 131、3v2000 105、0 125、7 106、6 116、0 117、6 118、0 121、7 118、7 12O、2 127、8 121、8 121、9v2001 139、3 129、5 122、5 124、5 135、7 13O、8 138、7 133、7 136、8 138、9 129、6 133、7v2002 137、5 135、3 133、0 133、4 142、8 141、6 142、9 147、3 159、6 162、1 153、5 155、9v2003 163、2 159、7 158、4 145、2 124 144、1 157 162、6 171、8 v180、7 173、5 176、5表表2 接待海外旅游人数接待海外旅游人数(单位单位:万人万人)v年代年代 1月月 2月月 3月月 4月月 5月月 6月月 7月月 8月月 9月月 1O月月 l1月月 12月月v1997 9、4 11、3 16、8 19、8 2O、3 18、8 2O、9 24、9 24、7 24、3 19、4 18、6v1998 9、6 11、7 15、8 19、9 19、5 17、8 17、8 23、3 21、4 24、5 2O、1 15、9v1999 1O、1 12、9 17、7 21、0 21、0 2O、4 21、9 25、8 29、3 29、8 23、6 16、5v2000 11、4 26、0 19、6 25、9 27、6 24、3 23、0 27、8 27、3 28、5 32、8 18、5v2001 11、5 26、4 2O、4 26、1 28、9 28、0 25、2 3O、8 28、7 28、1 22、2 2O、7v2002 13、7 29、7 23、1 28、9 29、0 27、4 26、0 32、2 31、4 32、6 29、2 22、9v2003 15、4 17、1 23、5 l1、6 1、78 2、61 8、8 16、2 2O、1 24、9 26、5 21、8表表3 综合服务业累计数据综合服务业累计数据(单位单位:亿元亿元)v年代年代 2月月 3月月 4月月 5月月 6月月 7月月8月月 9月月 1O月月 11月月 12月月vl997 96 l44 l94 276 383 466 554 652 747 832 972v1998 111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139vl999 151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238v2000 164 263 376 531 600 711 913 1O38 1173 1296 1497v2001 182 318 445 576 708 856 1000 1 145 1292 1435 1667v2002 216 361 504 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920v2003 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218v试根据根据这些些历史数据建立史数据建立预测评估模型估模型,评估估2003年年SARS疫情疫情给该市得商品零售市得商品零售业、旅游、旅游业与与综合服合服务业所造成得所造成得影响、影响、2 模型得分析与假设模型得分析与假设v根据所掌握得根据所掌握得历史史统计数据可以瞧出数据可以瞧出,在正常情况在正常情况下下,全年得平均全年得平均值较好地反映了相关指好地反映了相关指标得得变化化规律律,这样可以把可以把预测评估分成两部分估分成两部分:v(i)利用灰色理利用灰色理论建立灰微分方程模型建立灰微分方程模型,由由19972002年得平均年得平均值预测2003年平均年平均值;v(ii)通通过历史数据史数据计算每个月得指算每个月得指标值与全年与全年总值得关系得关系,从而可从而可预测出正常情况下出正常情况下2003年每个月得年每个月得指指标值,再与再与实际值比比较可以估算出可以估算出SARS疫情疫情实际造成得影响、造成得影响、2 模型得分析与假设模型得分析与假设v给出下面两条假出下面两条假设:v(1)假假设该市得市得统计数据都就是可靠准确得数据都就是可靠准确得;v(2)假假设该市在市在SARS疫情流行期疫情流行期间与与结束之后束之后,数数据得据得变化只与化只与SARS疫情得影响有关疫情得影响有关,不考不考虑其她其她随机因素得影响、随机因素得影响、3 建立灰色预测模型建立灰色预测模型GM(1,1)v由已知数据由已知数据,对于对于19972002年某项指标记为矩阵年某项指标记为矩阵 计算每年得年平均值计算每年得年平均值,记为记为v (3)v并要求级比并要求级比 、对、对 作一次累加作一次累加,则则v 记记v (4)v取取 得加权均值得加权均值,则则 为确定参数为确定参数,于就是于就是GM(1,1)得白化微分方程模型为得白化微分方程模型为 (5)其中其中a就是发展灰度就是发展灰度,b就是内生控制灰度就是内生控制灰度、3 建立灰色预测模型建立灰色预测模型GM(1,1)v由于由于 ,取取 为灰导数为灰导数,为为 背景值背景值,则建立灰微则建立灰微分方程为分方程为:v 或或 v其矩阵形式为其矩阵形式为 ,v其中其中 用最小二乘法求得参数得估计值为用最小二乘法求得参数得估计值为 (6)3 建立灰色预测模型建立灰色预测模型GM(1,1)则灰微分方程模型则灰微分方程模型(4)得解为得解为则则 (7)v由由(7)式可以得到式可以得到2003年得平均值为年得平均值为 ,则预测则预测2003年得总年得总值为值为 根据历史数据根据历史数据,可以统计计算出可以统计计算出2003年第年第i个月得指标值占全年总值得比例为个月得指标值占全年总值得比例为 ,即即 (8)则则 于就是可得于就是可得2003年每一个月得指标值为年每一个月得指标值为Y=X u、4 模型得求解模型得求解 (i)商品零售额商品零售额v由数据表由数据表1,计算可得每年月平均值、一次累加值分别为计算可得每年月平均值、一次累加值分别为 =(87、6167,98、5000,108、4750,118、4167,132、8083,145、4083),=(87、6167,186、1167,294、5917,413、0083,545、8167,691、2250)、v显然显然 得所有级比都在可行域内、经检验得所有级比都在可行域内、经检验,在这里取在这里取参数参数 比较合适比较合适,则有则有 (127、0167,229、5067,341、9583,466、1317,603、9800)、(i)商品零售额商品零售额v由最小二乘法求得由最小二乘法求得a=-0、0993,b=85、5985、可得、可得2003年得年得月平均值为月平均值为 =162、8826亿元亿元;年总值为年总值为=1954、6亿元、亿元、由由(8)式得每月得比例为式得每月得比例为u=(0、0794,0、0807,0、0749,0、0786,0、0819,0、0818,0、0845,0、0838,0、0872,0、0886,0、0866,0、0920)v故故2003年年112月得预测值为月得预测值为vY=uX=(155、2,157、8,146、4,153、6,160、1,159、9,165、2,163、8,17o、5,173、2,169、3,179、9)(亿元亿元)v将将预测值与与实际统计值进行比行比较如下表如下表4所示、所示、v 表表4 2003年商品得零售年商品得零售额(单位位:亿元元)月份月份 1月月 2月月 3月月 4月月 5月月 6月月 7月月 8月月 9月月 10月月l1月月 12月月预测值 155、2 157、8 146、4 153、6 160、1 159、9 165、2 163、8 170、5 173、2 169、3 179、9实际值 163、2 159、7 158、4 145、2 124、0 144、1 157、0 162、6 171、8 18O、7 173、5 176、5vclc,clearvhan1=83、0 79、8 78、1 85、1 86、6 88、2 90、3 86、7 93、3 92、5 90、9 96、9v101、7 85、1 87、8 91、6 93、4 94、5 97、4 99、5 104、2 102、3 101、0 123、5v92、2 114、0 93、3 101、0 103、5 105、2 109、5 109、2 109、6 111、2 121、7 131、3v105、0 125、7 106、6 116、0 117、6 118、0 121、7 118、7 120、2 127、8 121、8 121、9v139、3 129、5 122、5 124、5 135、7 130、8 138、7 133、7 136、8 138、9 129、6 133、7v137、5 135、3 133、0 133、4 142、8 141、6 142、9 147、3 159、6 162、1 153、5 155、9v163、2 159、7 158、4 145、2 124、0 144、1 157、0 162、6 171、8 180、7 173、5 176、5;vhan1(end,:)=;m=size(han1,2);vx0=mean(han1,2);vx1=cumsum(x0);valpha=0、4;n=length(x0);vz1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)vY=x0(2:n);B=-z1,ones(n-1,1);vab=BYvk=6;vx7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1)*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)vz=m*x7hatvu=sum(han1)/sum(sum(han1)vv=z*uvx1=87、6167 186、1167 294、5917 413、0083 545、8167 691、2250vz1=127、0167 229、5067 341、9583 466、1317 603、9800vab=-0、0993 85、5985vx7hat=162、8793 z=1、9546e+003vu=0、0794 0、0807 0、0749 0、0786 0、0819 0、0818 0、0845 0、0838 0、0872 0、0886 0、0866 0、0920vv=155、2152 157、7365 146、4023 153、5421 v 160、1400 159、8337 165、0649 163、7924 v 170、5317 173、1473 169、3064 179、8394(ii)接待海外旅游人数接待海外旅游人数v由数据表由数据表2,计算每年月平均值计算每年月平均值 与一次累加值与一次累加值 、取参数、取参数 ,可得加权平均值可得加权平均值 、进、进而求得而求得a=-0、0938,b=16、2670,=30、2649,X=363、1788,以及以及vu=(0、0407,0、0732,0、0703,0、0878,0、0907,0、0848,0、0836,0、1022,0、1010,0、1041,0、0914,0、0701)、于就是可得到于就是可得到2003年得接待海外旅游人数得预测值年得接待海外旅游人数得预测值,并与实并与实际值比较如下表际值比较如下表5所示、所示、v 表表5 2003年接待海外旅游人数年接待海外旅游人数(单位位:万人万人)v月份月份 1月月 2月月 3月月 4月月 5月月 6月月 7月月8月月 9月月 10月月 11月月 12月月v预测值 14、8 26、6 25、5 31、9 33、0 30、8 30、4 37、1 36、7 37、8 33、2 25、5v实际值 15、4 17、1 23、5 11、6 1、78 2、61 8、8 16、2 20、1 24、9 26、5 21、8(iii)综合服务收入类似处理综合服务收入类似处理(略略)