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2021-2022学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质课时分层作业新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质课时分层作业新人教A版必修2

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课时分层作业(十二)　平面与平面平行的性质
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
A　[根据面面平行的性质，知四条交线两两相互平行，故选A.]
2．下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为(　　)
A.1 B．2
C．3 D．0
C　[根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.]
3．平面α∥平面β，点A、C在平面α内，点B、D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
D　[可将AB与CD想象为同高圆台的母线，显然相交、平行、异面都有可能．]
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　)

A.矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
C　[因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．]
5．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　　)
A. 不共面
B. 不论A，B如何移动，都共面
C. 当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面
D. 当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
B　[如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．]

二、填空题
6．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．
平行或相交　[平行或相交，如图：
]

7．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
平行四边形　[因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1. 又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD.同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．]
8．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．
a⊂β或a∥β　[若a⊂β，则显然满足题目条件．若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β.]
三、解答题
9．如图所示：ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．

[解]　当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF、FD、DE，

∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，
∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.
10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.

求证：N为AC的中点．
[证明]　∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∵M为A1C1的中点，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．

1．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　　)
A．2　　　B．4　　　C．　　　D．5
C　[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，

所以此截面的面积
S＝×(＋2)×＝.]
2．如图，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________．

　[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，所以
PE＝2×sin 60°＝.所以GH＝PE＝.]