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高等数学性质定理
多元函数微分
性质一L(有界性和最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.
性质二L(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.
性质三L(一致连续性定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续
定理 如果函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数及在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 （即二阶混合偏导数在连续条件下的求导与次序无关）

全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点（x,y）全增量
z=f(x+x,y+y)-f(x,y)
可表示为

其中A.B不依赖于，而仅与x.y有关，，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而称为函数z=f(x,y)在点（x,y）的全微分，记作dz，即
dz=
定理（全微分必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数，必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为
dz=
定理（全微分充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数，在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。
多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间便量均为一元函数的情形
定理一 如果函数u=(t)及v=（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=f[(t),(t)]在点t可导，且有

2. 复合函数的中间便量均为多元函数的情形
定理二 如果函数u=(x,y)及v=（x,y）都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=f[(x,y),(x,y)]在点(x,y)可导，且有

3. 复合函数的中间便量既有一元函数，又有多元函数的情形
定理三 如果函数u=(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数v=（y）在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=f[(x,y),(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在，且有
，
全微分形势不变性 设函数z=f(u，v）具有连续偏导数，则有全微分
dz=
如果u、v又是x、y的函数数u=(x,y)及v=（x,y），且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数
z=f[(x,y),(x,y)]
的全微分为
dz=
隐函数存在定理一 设函数F(x,y)在点P（）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（）=0，F（）0，则方程F（x,y）=0在点（）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x),它满足条件，并有

隐函数存在定理二 设函数F(x,y,z)在点P（）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（）=0，F（）0，则方程F（x,y,z）=0在点（）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x,y),它满足条件，并有
,
隐函数存在定理三 设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P（）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，且F（）=0，G（）=0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）；

则点P（）不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0在点（）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数u=u（x,y）,v=v(x,y),它满足条件，并有
,
,
,
,
重积分
二重积分定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n各校闭区域

其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点（），作乘积f（）(i=1,2,3…,n)并作和，如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作，即

二重积分的性质
性质一 设为常数，则

性质二 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和。（其中）
性质三 如果在D上，f(x,y)=1,为D的面积，则

性质四 如果在D上， ，则有

特殊地，由于
，
又有

性质五 设M、m分别是f（x,y）在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有

性质六(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得
三重积分
定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数。将任意分成n个小闭区域

其中表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个上任取一点，作乘积f（i=1,2,3…,n）,并作和。如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分，记作，即

其中dv叫做体积元素
三重积分的计算
1、 利用直角坐标计算三重积分

2、 利用柱面坐标计算三重积分

ρ=常数，即以z轴为轴的圆柱面，
θ=常数，即过z轴的半平面，
z=常数，即与xOy面平行的平面
3、 利用球面坐标计算三重积分

其中 r=常数，即以原点为圆心的球面
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面
θ=常数，即过z轴的半平面