高等数学性质定理.doc

高等数学性质定理多元函数微分性质一L(有界性和最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.性质二L(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.性质三L(一致连续性定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续定理 如果函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数及在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 （即二阶混合偏导数在连续条件下的求导与次序无关）全微分的定义 如果函数z=f(x,y)在点（x,y）全增量z=f(x+x,y+y)-f(x,y)可表示为其中A.B不依赖于，而仅与x.y有关，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而称为函数z=f(x,y)在点（x,y）的全微分，记作dz，即dz=定理（全微分必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数，必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为 dz=定理（全微分充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数，在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。多元复合函数的求导法则1. 复合函数的中间便量均为一元函数的情形定理一 如果函数u=(t)及v=（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=f(t),(t)在点t可导，且有2. 复合函数的中间便量均为多元函数的情形定理二 如果函数u=(x,y)及v=（x,y）都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=f(x,y),(x,y)在点(x,y)可导，且有3. 复合函数的中间便量既有一元函数，又有多元函数的情形定理三 如果函数u=(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数v=（y）在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=f(x,y),(y)在点(x,y)的两个偏导数存在，且有，全微分形势不变性 设函数z=f(u，v）具有连续偏导数，则有全微分dz=如果u、v又是x、y的函数数u=(x,y)及v=（x,y），且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数z=f(x,y),(x,y)的全微分为dz=隐函数存在定理一 设函数F(x,y)在点P（）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（）=0，F（）0，则方程F（x,y）=0在点（）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x),它满足条件，并有隐函数存在定理二 设函数F(x,y,z)在点P（）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（）=0，F（）0，则方程F（x,y,z）=0在点（）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x,y),它满足条件，并有,隐函数存在定理三 设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P（）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，且F（）=0，G（）=0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）；则点P（）不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0在点（）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数u=u（x,y）,v=v(x,y),它满足条件，并有,重积分二重积分定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n各校闭区域其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点（），作乘积f（）(i=1,2,3,n)并作和，如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作，即二重积分的性质性质一 设为常数，则性质二 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和。（其中）性质三 如果在D上，f(x,y)=1,为D的面积，则性质四 如果在D上， ，则有特殊地，由于，又有性质五 设M、m分别是f（x,y）在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有性质六(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得三重积分定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数。将任意分成n个小闭区域其中表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个上任取一点，作乘积f（i=1,2,3,n）,并作和。如果当各小闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分，记作，即其中dv叫做体积元素三重积分的计算1、 利用直角坐标计算三重积分2、 利用柱面坐标计算三重积分 =常数，即以z轴为轴的圆柱面，=常数，即过z轴的半平面，z=常数，即与xOy面平行的平面3、 利用球面坐标计算三重积分 其中 r=常数，即以原点为圆心的球面 =常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面 =常数，即过z轴的半平面