几何证明的好方法——截长补短.doc

_几何证明的好方法截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型 ab=c类型 ab=kc类型 类型 c=ab对于类型，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型证明。对于，可以将ab与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30的直角三角形等。对于类型，一般将截长或补短后的ab与c构建在一个三角形中，与类型相同。实际上是求类型中的k值。对于类型，将c=ab化为=的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD=求AEF的面积（1）解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90AD=AB又DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90-45=45GAF=EAF=45又AG=AEAF=AF所以EAFGAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60又DB=DC，BDC=120所以DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60+30=90ACD=ACB+DCB=60+30=90所以GCD=180-ACD=90DBE=DCG=90又DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=120-60=60GDF=EDF=60又DG=DEDF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形d解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG.前面如（1）所证，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30，AD=AGD=60，AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60，HAE=45HG=x，AH=xAG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-SEAF=SEAG=EHAG2=3-.（第5页题目答案见第6页）（2）正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO（2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）过E作EGAD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90，BD平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45因为AE平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45，DGE=90所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（2）加强版解：（简单思路）MN/2=AD-EF过E作EGAD于G，作EQAB于Q，过B做BPMN于P按照（2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC=GAQ=BCM=90BD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45，又EQB=90EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45因为GAQ=EGA=EQA=90所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN所以MBN为等腰Rt三角形，又BP斜边MN于P，所以NPB为等腰Rt三角形。BP=MN/2，PNB=45。BNE=ENF+PNBBEN=QEN+QEB又QEN=ENF，PNB=QEB=45所以BNE=BENBN=BE，又PNB=QEB=45=NBP=EBQ所以BEQBNP（SAS）EQ=BP因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所以AD-EF=MN/2。综合题体中的截长补短1、如图，在O中，C是的中点，直线CDAB于点E，ABBE，PB、PA组成的O的一条折弦，C是劣弧的中点，直线CDPA于点E，则AEPE+PB，请证明你的结论。 分析：本题要证明AEPE+PB，可以将AE分为两段，使其中一段长度等于PE，然后另一段长度关于PB。反之亦。证明AHCBPC。然后再证明PBPE，那么AEPE+PB。证明：在AE上截取AHPB，连接AC、CH、BC、CP。 C是的中点 ACBCAB 在CAH与CBP中CA=CBA=BAH=BP CAHCBP (SAS) CHCP CEHP PEEH AEPE+PB2、 如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角BCQ，ACB120， 求的值。 分析：要求的值，可用截长的方法来做，即可在AB上截取BEAC，使PBEPAC。即可求出的值。解：连接PA、PB，在BC上截取BE，使BEAC，连接PE。QCP+PCA180又PCA+PBA120QCPPBA PCBPAB 又QCPPBAPBAPABPAPB，在PBE与PAC中PB=PAPBC=QAPBE=ACPBEPAC（SAS）PCPEPECBCP303、 如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB90，求证： ACBCPC 分析： 要证明ACBCPC，可使用截长的方法，即在AC上截取AHBC，HCAC-BC，然后将HC与PC构建一个等腰直角三角形，且HC为斜边，PC为直角边。通过求解APHCBP。即可证明ACBCPC。证明：连接PA、PB，在AC上截取AHBC。CP平分ACQ, ACQ 90PCAQCP 45四边形APCB为圆的内接四边形PAB+PCB180PCQPCBPAPBCBPPAC在APH与CBP中AH=CBCBP=PACAP=BPAPHCBPPHPCPCH45又PHC为等腰直角三角形ACAHACCBHCPCACBCPC4、 如图，O为ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB120，求的值。分析：要求，我们的思路是将CB延长至并与CD构建在一个三角形内，然后解三角形并证明延长线与CA相等。我们将CB延长至H，作CH=CA+CB，然后将CH和CD构建在一个三角形内，即过点D作CDH60延长CB，交DH于点H，即可证CADHBD，再可求出的值。解：过点D作CDH60延长CB，交DH于点H，连接AD、BD，ADBCDH60BDHADCDCH60HACDDHDC在CAD与HBD中DH=DCBDH=APCH=ACD CADHBD（ASA）CABHCB+BACD15、 如图，P是等边ABC外接圆上任意一点，求证：PAPB+PC。分析：要证明PAPB+PC，可用截长的方法，即在PA上截取AGCP，然后证明PG=BP即可。证明：在AP上截取AGCPABC为等边三角形ABBC BAGPCB在ABG与CBP中BAG=PCBAB=BCAG=CP ABGCBP（SAS）BPBG，ABGPBCGBP60，BPPGPAPB+PC6、 如图，RTABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NMBC于M。求证：MNANNC。 分析：要证明MNANNC，可将此式化为，然后利用相似三角形的比例关系进行求解。证明：延长BA、MN，交于点E。ABC是等腰直角三角形EANMNC90ANEMNCCEAEMMNCADMNCNMCADCMNCDACCCNMCADMNANNC7、 如图，ABC内接于O，AB是O的直径，CD平分ACB交O于点D，交AB于点F，弦AECD于H，连接CE、OH。求证：OHAC。分析：要证明OHAC，可用补短的方法，即延长CB、AE，交于点M，即可证OHAC。即可证明OHAC。 证明：延长CB交AE的延长线于点M。AB为O的直径ACM90AMCD，且CD平分ACBAHHM，OAOBOH是ACE的中位线OHCM又ACM90OHAC8、 以ABC的边AB为直径作O，O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作DEAC于E，DE为O的切线。求的值。分析 ：要求的值，可用补短的方法，即延长BA，过C作CMBA的延长线交于点M，即可求出的值。解 ：延长DA至M，作CMBM于M。点D为BC中点AD平分BACDAE60，ADADDEADO与D分别为AB、BC的中点ACAB2ADCAM 18012060AC2ADCMACADAMACADOCAD9、 如图，直径AB、CD互相垂直，点M是上一动点，连接AM、MC、MB、MD。求证：为定值。分析 ：要证明为定值，可用补短的方法，即延长MD，过A作AQAM,BHMB,交AD的延长线于H。解 ： 连接BC、AC、AD，作BHMB交AD的延长线于H。CD为O的直径CBD、CAD为等腰直角三角形CBDMBH90CBMDBHBDH+MPBMCB+MDC180BDHMCBCBDB在MCB与BDH中BDH=MCBCB=DBCBM=DBHMCBBDHDHMCBMBHMBH为等腰直角三角MHMD+DHMD+MCMB同理可得：MDMCMA22全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【例3】 如图2-9所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和()，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段()上截取与线段中的某一段(如)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段()相等 【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【例5】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE【例6】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 板块二、全等与角度【例7】如图，在中，是的平分线，且，求的度数. 由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8】 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求. 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