安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题-文.doc

安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 文

安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 文

年级：
姓名：

17

安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 文
本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，．若，则（ ）
A．671 B．672 C．2013 D．2014
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为120，则判断框内应补充的条件为（ ）

A． B． C． D．
7．“为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．成等差数列，且
D．
8．已知向量的夹角为，，点C为的平分线上的一点，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
9．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆与x轴交于两点，点P在直线上，过圆O上的任意两点分别向l作垂线，垂足为，以下说法不正确的是（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．的最大值为
D．当为直径时，四边形面积的最大值为16
11．一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切．过圆柱上底面圆周上一点作一个平面，使得与小球恰好相切，则与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，函数与的图象关于直线对称，令则方程解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数满足则的最小值为_____．
14．随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x（单位：百人）与销售额y（单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示．
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8

6.5
7.0
已知x与y具有线性相关关系，且线性回归方程，则表中污损数据应为_____．
15．已知向量，且，那么的最大值为_____．
16．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支，如图，O为双曲线的一支的顶点．小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在中，已知分别是角的对边，为的面积，．
（1）求C；
（2）若点D在直线上，且，求线段的长度．
18．（12分）
为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．

（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？
（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下．

（i）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率．
19．（12分）
如图，四棱锥的各侧棱长均为2，底面为矩形，过底面对角线作与直线平行的平面，且平面交于点E．

（1）试确定点E的位置，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
20．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，的周长为定值6，且当时，．
（1）求C的方程．
（2）若斜率为的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且成等差数列，证明：直线l过定点．
21．（12分）
已知函数．
（1）若关于x的不等式对任意的正数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）证明：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
（1）求C的极坐标方程；
（2）若直线l过点，且与C交于两点，点P恰好为线段的中点求，直线l的斜率及．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
文科数学
一、选择题
1．D 【解析】由题意，得，，故．
2．D 【解析】，对应点为，在第四象限．
3．A 【解析】因为角的终边过点，所以，所以．
4．B 【解析】易证函数为奇函数，排除A，C；当时，，排除D．
5．B 【解析】设公差为d，由得则由，解得．
6．D 【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
7．C 【解析】A选项，由，可得A为锐角，不满足条件．B选项，若为锐角三角形，则，则，即，同理可得，，所以，若，不等式成立，但此时A并非锐角，不满足条件．C选项，因为成等差数列，所以；又由，可得均小于，所以为锐角三角形．D选项，由，得，所以C为锐角，无法确定的形状．
8．C 【解析】如图，过点C作，则可得四边形为菱形，所以．设，则，则，所以．又因为，所以．

9．B 【解析】设，由托勒密定理知，，
所以．
又因为，，所以．

10．B 【解析】设，则N关于l对称的点为，所以的最小值为，故A正确；不是定值，故B错误；当最小，且当为圆O的切线时，最大，此时，故C正确；在四边形中，，且．因此，当最长，即时面积最大，最大值为16，故D正确．
11．D 【解析】当平面与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时，如右图，，，由得，所以该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值为．

12．D 【解析】因为函数与的图象关于直线对称，，所以，所以的图象如图所示．

方程可化为，即求函数与的图象的交点个数．当时，的图象恒过点，此时有两个交点；当时，与的图象有一个交点；当时，设斜率为的直线与的切点为，由斜率，所以，所以切点为，此时直线方程为，即，所以直线与恰好相切，有一个交点．

综上，此方程有4个解．
二、填空题
13．1 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．

令，则．作出直线，将直线l平移经过点M时在y轴上的截距最小，此时，所以的最小值为1．
5．5.5 【解析】由表可知．因为线性回归方程过点，所以，所以表中数据应为．
15． 【解析】由题意可知，即．令，即求的最大值．，当时，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减，所以当时，，即的最大值为．
16． 【解析】设该双曲线的方程为．因为渐近线相互垂直，所以．由题意知，，解得，故该双曲线的一个焦点位于点O以下．
三、解答题
17．解：（1）由余弦定理，得，（1分）
所以，
即， （2分）
解得． （4分）
因为，所以． （6分）
（2）由题意及（1）知，．
在中，因为，所以． （8分）
所以在中，． （12分）
18．解：（1）由题意知，小吃类所占比例为，
按照分层抽样的方式随机抽取，
应抽取小吃类商贩（家），
果蔬类商贩（家）． （2分）
（2）（i）该果蔬经营点的日平均收入为
． （5分）
（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为，其余4天为随机抽取两天的所有可能情况为：，，，，，，共15种， （9分）
其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：，，，共9种． （11分）
所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为． （12分）
19．解：（1）点E为的中点． （1分）
理由如下：
连接交于点O，连接，如图．
因为平面平面，且平面平面，
所以．
在中，因为O为中点，所以E为中点． （5分）

（2）如图，连接．
由题意知，，所以；
同理，．
因为，所以底面．（7分）
又因为，
所以，所以， （9分）
所以． （12分）
20．（1）解：由题意知，
所以 （3分）
所以椭圆C的方程为． （4分）
（2）证明：由题意知，．
设直线，与椭圆C方程联立，
得
整理得．
设，则 （7分）
， （10分）
所以． （11分）
所以，恒过点． （12分）
21．（1）解：，
由，得对任意的正数x恒成立． （1分）
解法一：
即对任意的正数恒成立，
令，只需． （2分）
则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减． （4分）
所以．
所以，即实数a的取值范围为． （5分）
解法二：
令，
则． （2分）
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以， （4分）
所以，即．
所以实数a的取值范围为． 5分
（2）证明：由（1）知，当时，对任意的正数x恒成立，即，当时等号成立． （8分）
令，则． （10分）
所以，

，

累加，得
，
即． （12分）
22．解：（1）由题意，得曲线C的直角坐标方程为， （2分）
即，
所以C的极坐标方程为． （5分）
（2）解法一：
由（1）知曲线C为圆，圆心．
若P为相交弦的中点（如图），

由垂径定理得． （7分）
所以直线的斜率． （8分）
在中，． （10分）
解法二：
设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角）， （6分）
代入曲线C的直角坐标方程，
得．
设点对应的参数分别为，
因为点P恰好为线段的中点，
所以， （7分）
即，
所以直线l的斜率为． （8分）
又，
所以． （10分）
23．解：（1）当时， （1分）
当时，，解得； （2分）
当时，不等式无解； （3分）
当时，，解得． （4分）
综上，不等式的解集为． （5分）
（2）由题意知，，
所以． （7分）
记，
则 （8分）
所以，
所以，
所以实数m的取值范围为． （10分）