四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题-文.doc

四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题 文

四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题 文

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10

四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题 文
(时间：120分钟 满分：150分)
第一部分（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数（为虚数单位）的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3. 在等差数列中，若，则数列的前13项和（ ）
A．260 B．520 C．1040 D．2080
4. 某学校为了解传统教学和网络直播的课堂教学情况，选取20人，平均分成同样水平的两组，甲组采用网络直播教学，乙组采用传统教学，一学期后，根据他们的期末成绩绘制如图的茎叶图，则（ ）
A． B．
C． D．
5. 已知向量，，，则在上的投影是（ ）
A．4 B．2 C． D．
6. 函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图是用斜二测画法所画出的直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
8. 将函数向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于轴对称（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知抛物线：，焦点为，直线：，点，线段与抛物线的一个交点为，若，则（ ）．
A． B． C． D．

11.设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12. 过双曲线的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13. 设命题，则为（ ）
14. 已知，满足约束条件则目标函数的最大值为
15. 已知正项数列满足，，数列满足，记的前n项和为，则的值为
16. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为

三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）

17.（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

18. （12分）如图，在斜△ABC中，角A、B、C 所对角的边分别为a、b、c，且，D为边BC上一点，，，.
（1）求角B的大小；
（2）求的面积.
19.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，

（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

20.（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l交C于P､Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22. 选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l和曲线C的普通方程
（2）直线l与y轴交于点M，与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值
．
23. 选修4-5（不等式选讲）（10分）
已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若对于，，有，，求证：.
. 川大附中2021届高三上期末考试数学试题(文科)答案
1. D.
2. C．
3. C.
4.．
5. D.
6. D.
7. B.
8. B.
9. B
10. C．
11.
12. A.
13.
14. 13
15. 2
16. .
17.
解析：（1）由得：，所以直方图中的值是
（2）月平均用电量的众数是
因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是
（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户

18.
解：（1）由题意，所以
结合余弦定理可求得，又因为，
所以.
（2）设.在中，，，.
由正弦定理得，解得.因为，
所以为锐角，从而.
因此
.
所以的面积.
19.
解析：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，
因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.
又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED
（II）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.
因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.
由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2
从而可得AE=EC=ED=.
所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为.

20.
解：（1）由题意得：，解得，又，
所以椭圆C的方程为：.
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，，
联立直线与曲线方程，整理得：，
则，，
假设存在定点，使得为定值，
则

=.
当且仅当，即时，(为定值)，这时，
当直线l与x轴重合时，此时，，，，，当时，(为定值)，满足题意.所以存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有.
21.
解：（1）易得函数的定义域为.对函数求导得：.
当时，恒成立，即可知在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，，
此时在上单调递增，在上单调递减.
，又，，
不妨设，则有，令，，
.
当时，，单调递增，
，，，
又，，
，，在上单调递减，，即.
22.
解：（1）将的极坐标方程化为， 即的普通方程为， 可化为普通方程：．
（2）在中，令，得，
∵，∴倾斜角为，∴的参数方程可设为（为参数）， 代入中整理为，设P，Q两点所对应的参数为，
∴，， ∴异号，
∴．
23.
解：（1）因为，所以，
当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以无解；
综上，原不等式的解集为.
（2）因为，,
所以.