四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题-理.doc

四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题 理

四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题 理

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姓名：

11

四川省川大附中2021届高三数学上学期期末考试试题 理
(时间：120分钟 满分：150分)
第一部分（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数（为虚数单位）的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3. 在等差数列中，若，则数列的前13项和（ ）
A．260 B．520 C．1040 D．2080
4. 某学校为了解传统教学和网络直播的课堂教学情况，选取20人，平均分成同样水平的两组，甲组采用网络直播教学，乙组采用传统教学，一学期后，根据他们的期末成绩绘制如图的茎叶图，则（ ）
A． B．
C． D．
5. 已知向量，，，则在上的投影是（ ）
A．4 B．2 C． D．
6. 函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

7. 已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图是用斜二测画法所画出的直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
8. 将函数向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于轴对称（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知抛物线：，焦点为，直线：，点，线段与抛物线的一个交点为，若，则（ ）．
A． B． C． D．
11. 过双曲线的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13. 的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于
14. 已知，满足约束条件则目标函数的最大值为
15. 已知正项数列满足，，数列满足，记的前n项和为，则的值为
16. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为

三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）
17. （12分）如图，在斜△ABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且，D为边BC上一点，，，.
（1）求角B的大小；
（2）求的面积.

18.（12分）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，四边形为矩形，平面平面.设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

19.（12分）去年下半年，由于受非洲猪瘟的影响，各大养猪场面临巨大挑战。现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段，如下表：
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量（Kg）

根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期健康合格的猪，则可盈利600元，若不合格，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期健康合格的猪，则可盈利500元，若不合格，则亏损200元. 假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场售完所有成年猪的总利润的均值.
（参考数据：若，，，）
20.（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l交C于P､Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22. 选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l和曲线C的普通方程
（2）直线l与y轴交于点M，与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值

川大附中2021届高三上期末考试数学试题(理科)答案
(时间：120分钟 满分：150分)
1.D.
2. C．
3. C.
4. ．
5. D.
6. D.
7. B.
8. B.
9. B
10. C．
11. A.
12. C
13. 6
14. 13
15. 2
16. .
17.
解：（1）由题意，所以
结合余弦定理可求得，又因为，
所以.
（2）设.在中，，，.
由正弦定理得，解得.因为，
所以为锐角，从而.
因此
.
所以的面积.
18.
（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，
因为，，平面，所以平面
因为，平面，面，所以平面.
平面与平面的交线为，得.因此平面.
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面。
故，
欲使三棱锥的体积最大，则最大，因为在圆周上运动，所以当点为直径的中垂线与圆周的交点时满足题意。由（1）知，，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角。易得，，所以，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。则，，，，所以，，，设平面的法向量，
则，令，故.
设为直线与平面所成角，则，
故直线与平面所成角的正弦值为。
19.
解：（1）设各阶段猪的数量分别为，∵猪的体重近似服从正态分布，
，
（头）；

（头）；
，
（头）
∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头．
（2）记为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，则的所有可能取值为1100，400，
，
的分布列为

1100
400

（元），
由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则售完所有成年猪的总利润的均值为（元）．
20.
解：（1）由题意得：，解得，又，
所以椭圆C的方程为：.
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，，
联立直线与曲线方程，整理得：，
则，，
假设存在定点，使得为定值，
则

=.
当且仅当，即时，(为定值)，这时，
当直线l与x轴重合时，此时，，，，，当时，(为定值)，满足题意.所以存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有.
21.
解：（1）易得函数的定义域为.对函数求导得：.
当时，恒成立，即可知在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，，
此时在上单调递增，在上单调递减.
，又，，
不妨设，则有，令，，
.
当时，，单调递增，
，，，
又，，
，，在上单调递减，，即.
22.
解：（1）将的极坐标方程化为， 即的普通方程为， 可化为普通方程：．
（2）在中，令，得，
∵，∴倾斜角为，∴的参数方程可设为（为参数）， 代入中整理为，设P，Q两点所对应的参数为，
∴，， ∴异号，
∴．
23.
解：（1）因为，所以，
当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以无解；
综上，原不等式的解集为.
（2）因为，,
所以.