浙江省三校2021届高三数学上学期第一次联考试题.doc

浙江省三校2021届高三数学上学期第一次联考试题

浙江省三校2021届高三数学上学期第一次联考试题

年级：
姓名：

10

浙江省三校（新昌中学、浦江中学、富阳中学）2021届高三数学上学期第一次联考试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 柱体的体积公式
P(A+B)= P(A)+ P(B) V=Sh
如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
P(A•B)= P(A)•P(B) 锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率为p，那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.
Pn(k)= 球的表面积公式
台体的体积公式 S=4πR2
V=(S1++S2) h 球的体积公式
其中S1、S2表示台体的上、下底面积，h表示棱 V=πR3
台的高. 其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则= （ ）
A. B. C. D.
2. 已知，若（为虚数单位）是实数，则实数等于 （ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若,则的最小值是 （ ）
A．0 B．1 C． 5 D．9
4. 设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是 (　 )
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
5．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图像如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图像可能是 (　 　)

A B C D
6.已知是双曲线的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P与点关于直线对称，则该双曲线C的离心率为 （ ）

7. 设函数,设是公差为的等差数列, f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝,则 （ ）

8. 已知平面向量，，满足：，，夹角为，且.则
的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
9.袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,则的数学期望 （ ）

10．定义全集U的子集A的特征函数.这里表示集合A在全集U中的补集.已知，，以下结论不正确的是 （ ）
A.若，则对于任意x∈U，都有；
B.对于任意x∈U，都有；
C.对于任意x∈U，都有；
D.对于任意x∈U，都有．

非选择题部分（共110分）
二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是 ▲ .
12. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是 ▲ ，该几何体的表面积是 ▲ .

13. 已知多项式，
则 ▲ ， ▲ .
14.已知,则 ▲ ， ▲ ..
15. 过上一点作直线与相切于,两点.当时，切线长为________________；当最小时，的值为__________.
16.在平面直角坐标系中，给定两点M(1,2),N(3,4),点P在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为__________.
17.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_________.
三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （本小题满分14分）
在①②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.
问题：已知内角的对边分别为，若，_____，试求的范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19. （本小题满分15分）
如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，，F为DE的中点.
(Ⅰ)求证：BE//平面ACF；
(Ⅱ)求BE与平面BCF所成角的正弦值.

20．（本小题满分15分）
已知数列的首项，前项之和，满足.数列的前项之和，满足， .
（Ⅰ）若对任意正整数都有成立，求正数的取值范围；
（Ⅱ）当，数列满足：，求证：.

21. （本小题满分15分）
已知椭圆左顶点为，离心率为，且过点.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过抛物线上一点P的切线交于两点，线段,的中点分别为.求证：对任意，都存在这样的点P，使得所在直线平行于轴.

22. （本小题满分15分）
已知函数，其中是自然对数的底数.
（I）若有三个极值点，
(i)求实数的范围；
(ii)求证：；
（II）若有三个零点，且，求证：.

2021届高三三校第一次联考
数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
C
B
D
A
A
D

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.抛物线 12. 1 ，.
13. 63；-180 14. ,
15.3； 16. 3 17.
三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 解答：当选①：易知,,……………………3分
,…………………………………………………6分
………………14分
当选②:可知，，从而，，而当且仅当时取等号，从而.
19. 证明：（1）连接交于，连，，为中点，为中点,,. ……………6分
（2）
，
，如图建立坐标系，
则
由得，
设面BCF法向量，由可取，因此设线面角为则有. ………………………………………………15分
20．解答：（Ⅰ）易知，.
由可知，即，令，易知在上递增，上递减，且，
即，即………………………………………………………………………7分
（Ⅱ）易知，
因此.
又因为，且，故，得证. ……………………………15分
21. 答案：（Ⅰ）……………3分
（Ⅱ）设，，，则切线，
由，可得：，
即，…………①
要证所在直线平行于轴即证：，即…………②
令，则，由
可知必有两解，，且，故对任意必存在，从而存在.
由②可知，从而
当时，，从而①式成立；
当时，,，从而①式成立；
当时，，，从而①式成立；
因此满足②的解也满足①式，从而对任意，都存在这样的点P，使得所在直线平行于轴. ………………………………………………………………………………………15分
22. 解：（I）(i)利用的极值点个数即为的变号零点个数
设，
由已知，方程有两个不为0，-1的实根，
当时，在上递增，至多一个实根，故
在上递减，在上递增，
且………………………………5分
(ii)由（I）不妨设
要证，即证而，
由在上递减，在上递增，且
故只要证，又，故只要证
即证，又
即证
设

递增，
即
………………………………………10分
（II）显然和均不为该函数零点，令,则的三个交点的横坐标即为三个零点，由,可知在上增，在上减，在上增,即，所以，此时显然有在上增，且 ，，故为唯一负零点，且.
令，则，即递增，，而，所以，可得.…………………………15分