上海市杨浦区2021届高三数学上学期期中试题.doc

上海市杨浦区2021届高三数学上学期期中试题

上海市杨浦区2021届高三数学上学期期中试题

年级：
姓名：

17

上海市杨浦区2021届高三数学上学期期中（0.5模）试题（含解析）
一、填空题。
1、 函数的定义域为_____；
2、 已知集合,且非空，则实数的取值范围_____；
3、 若函数为奇函数，则最小的正数_____；
4、 已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；
5、 幂函数的图像过点，其反函数为，则=_____；
6、 的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_____；
7、 若是定义在上的奇函数，当时，，则=_____；
8、 用这五个数可以组成_____个没有重复数字的四位奇数。（用数字作答）
9、 若，则_____；
10、 是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，，，，则直线与平面所成角的余弦值为_____；
11、 函数的定义域和值域都是集合的非空真子集，如果对于内任意的，总有的值是奇数，则满足条件的函数的个数是_____；
12、 若分段函数，将函数，的最大值记作，那么当时，的取值范围是_____;

二、 选择题。
13、 设直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为( )
A、 平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D平行、相交或异面
14、 已知,则是“”的（ ）
A、 充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
15、 申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）
A、 A同学 B、B同学 C、C同学 D、D同学
16、设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）
A、 B、 C、 D、
三、解答题
17. 已知圆锥的体积为，底面半径与互相垂直，且；是母线的中点。
（1） 求圆锥的表面积
（2） 求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）

18.已知在中，三边分别对应三个内角；且
（1）求角的大小；
（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状。

19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5），该地区的成本为2元/立方米.
（1） 今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价最低价格为多少？（保留2位小数）
（2） 试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？

20. 设函数的定义域为，且同时满足以下两个条件：
①存在实数，使得；②当，时，有恒成立.
（1） 函数是否满足上述的两个条件，并说明理由；
（2）求证：当时，；
（3）若当时，，求实数的取值范围.

21. 函数，其中是定义在上的周期函数，，为常数
（1） ，讨论的奇偶性，并说明理由；
（2） 求证:”为奇函数“的一个必要非充分条件是“的图像有异于原点的对称中心”
（3） ，在上的最大值为，求的最小值。

杨浦区2020学年度第一学期高三期中质量调研数学学科试卷
一、填空题。
16、 函数的定义域为_____；
【答案】
【解析】，定义域为；
17、 已知集合,且非空，则实数的取值范围_____；
【答案】
【解析】由数轴可知；
18、 若函数为奇函数，则最小的正数_____；
【答案】
【解析】由图可知，移动，变为即满足题意；
19、 已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为_____；
【答案】 13
【解析】体对角线公式：；
20、 幂函数的图像过点，其反函数为，则=_____；
【答案】 9
【解析】幂函数过，，反函数，
21、 的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为_____；
【答案】
【解析】，，
22、 若是定义在上的奇函数，当时，，则=_____；
【答案】
【解析】 上奇函数,,,
23、 用这五个数可以组成_____个没有重复数字的四位奇数。（用数字作答）
【答案】
【解析】分类讨论：不含，;含，两奇两偶，；三偶一奇，；共有种；
24、 若，则_____；
【答案】
【解析】
25、 是直角三角形所在平面外一点，已知三角形的边长，，，，则直线与平面所成角的余弦值为_____；
【答案】
【解析】由题意得，在底面的投影为的外心，即三条中垂线的交点，，。
26、 函数的定义域和值域都是集合的非空真子集，如果对于内任意的，总有的值是奇数，则满足条件的函数的个数是_____；
【答案】
【解析】【法一】因为所以中至少一个为奇数，定义域为的都可以，有种；定义域为的函数，所以有种；共种。
【法二】，则，且，有种，则有种；或，若中不含，则有种，有中，共有种；若中含有，则有两种取法，共有种。于是共有种。一共有种。
27、 若分段函数，将函数，的最大值记作，那么当时，的取值范围是_____;
【答案】

【解析】数形结合，当，
当，故范围
三、 选择题。
28、 设直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为( )
B、 平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D平行、相交或异面
【答案】 D
【解析】线面角相同，两直线可以相交、平行、异面。
29、 已知,则是“”的（ ）
B、 充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
【答案】 B
【解析】若不成立，故必要不充分条件。
30、 申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数学联赛，4名同学各自对结果的估计如下,A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”;C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”；已知期中有且只有2人的估计是正确的，则取得参加联赛的是（）
B、 A同学 B、B同学 C、C同学 D、D同学
【答案】 A
【解析】若A参赛，则A、C估计正确，B、D估计不正确，选A。
16、设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】 C
【解析】
两种情况：①；②。且可知，从而，选C。

三、解答题
18. 已知圆锥的体积为，底面半径与互相垂直，且；是母线的中点。
（3） 求圆锥的表面积
（4） 求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）
E

【答案】（1） （2）
【解析】（1）,

(2) 取中点，连接与所成角为(或其补角)，
，，
所以异面直线与所成角的大小为。

18.已知在中，三边分别对应三个内角；且
（1）求角的大小；
（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状。
【答案】（1）（2）是等边三角形，面积最大值为
【解析】（1），∴，即，
即
(2)外接圆半径， ，,，当且仅当时等号成立，的面积。的面积的最大值是，当且仅当时等号成立，即此时是等边三角形。
19.某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5），该地区的成本为2元/立方米.
（3） 今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价最低价格为多少？（保留2位小数）
（4） 试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？
【答案】（1）3.43元/立方米（2）2
【解析】（1）收益：；
，又，所以最小值为 3.43.为保证收益不低于去年的收益，则实际水价的最低价格为3.43元/立方米。
（2）,, ,当且仅当，即
时，等号成立，所以今年供水部门收益的最小值为2元。
22. 设函数的定义域为，且同时满足以下两个条件：
①存在实数，使得；②当，时，有恒成立.
（2） 函数是否满足上述的两个条件，并说明理由；
（2）求证：当时，；
（3）若当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）符合，见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（（1）满足，存在,使得满足条件①，又 ，对于恒成立，满足条件②
（3） 因为可令,由 ，所以当时，。
（4） 对任意的,设，由第(2)问得， ，所以是增函数。
恒成立，则的最小值，则

23. 函数，其中是定义在上的周期函数，，为常数
（4） ，讨论的奇偶性，并说明理由；
（5） 求证:”为奇函数“的一个必要非充分条件是“的图像有异于原点的对称中心”
（6） ，在上的最大值为，求的最小值。
【答案】（1），奇函数；，非奇非偶函数；（2）证明略（3）
【解析】（1）,时，，为奇函数，时，∵，∴不是奇函数，，，，.∵，无解，∴不是偶函数，是非奇非偶函数。
（2）非充分性:举反例，有异于远点的对称中心，但不是奇函数；必要性：设奇函数，且，令 ,
，令，则的图像关于对称。
（3），取,
则，∴；下证的最小值为，
反证法：假设,,∵，
∴，∴①；同理∵，∴②；∵，∴，③；
②-①得，
③-②得，矛盾，所以假设不成立，得证。
【法二】

当时，