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高一数学导学案 编制人： 审核人： 必修4 第二章 第1课时 向量概念及物理意义【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解向量的概念.2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念。【教学重点】向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.【教学难点】向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断【教材助读】1.我们把_的量叫做向量；把_ 的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作_，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作_，有向线段包括三要素_ 、_、_；向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。2.向量可以用有向线段表示，向量的长度（或称_）记作_，长度为零的向量叫做_向量，记作，长度等于1个单位的向量，叫做_ 向量；3._的非零向量叫做平行向量，向量与平行，记作_，规定与任一向量平行，即对任意向量都有_ ；4._的向量叫做相等向量；若与相等，记作_ ；5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫_向量【预习自测】1.下列各量中不是向量的是 （ ）（考察向量的概念）A. 浮力 B.风速 C.位移 D.密度 E.温度 F.体积2.下列说法中错误的是（ ）（A）零向量是没有方向的；（B）零向量的长度为0；(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的。3.给出下列命题：向量和向量的长度相等；方向不相同的两个向量一定不平行；向量就是有向线段；向量=0；向量大于向量。其中正确的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【我的疑惑】【学始于疑】探究一：判断下列命题是否正确：（1）若/，则与的方向相同或相反；（2）与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；（3）|=|，不一定平行；若，|不一定等于|；（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。（5）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量（6） 若与平行同向,且，则探究二：给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|=|，则=；若=，则四边形ABCD是平行四边形；平行四边形ABCD中，一定有=；若，则；其中不正确的是命题个数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5探究三：如右图，D 、E 、F 分别是ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与相等的向量【能力拓展】1单位向量是否唯一？有多少个单位向量？若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是什么？2温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？3关于零向量，下列说法中正确的有 （1）零向量是没有方向的。 （2）零向量的长度是0 （3） 零向量与任一向量平行 （4）零向量的方向是任意的。4若，,则吗？【我的小结】零向量是 ，共线（平行）向量是 单位向量是 ，相等向量是 必修4 第二章第2课时 向量加法及几何意义【学习目标】掌握向量的加法运算并能进行化简，同时理解其几何意义。【教学重点】会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.【教学难点】三角形不等式【教材助读】1，回答以下问题:（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：+= （2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：+=（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移+=2、两个加法法则：已知非零向量和，做出（1）三角形法则： （2）平行四边形法则a向量的加法其实是一种图形运算：把两个向量首尾相接，把一个向量的 为起点，另一个向量的 为终点所得到的向量叫做这两个向量的 ，记为 。3.规定：对于零向量与任一向量，都有4.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律：(+) += 【预习自测】1.化简：（1）(2) 2已知在平行四边形ABCD中, 【我的疑惑】【学始于疑】探究一：梯形ABCD，AD/BC,O为对角线交点，则+= 探究二：已知平行四边形ABCD中，试用表示探究三：在矩形ABCD中，则向量的长度等于 探究四：一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。 探究五：在四边形ABCD中，则此四边形肯定为 形。【能力拓展】1.用,|,则+的方向与相同，则|+|_|-|;若|,则+的方向与相同，则|+|_|-|.一般地+2是否一定成立？【我的小结】1、已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量_叫做与的和，记作_，即=_=_这个法则就叫做向量求和的三角形法则。2、向量加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线_，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。必修4 第二章 第3 课时 向量减法及几何意义【学习目标】掌握向量的减法运算并能进行化简、理解几何意义，培养运用数形结合的思想解决问题的能力。【教学重点】会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.【教学难点】三角形不等式【教材助读】1.相反向量的定义：_ 规定：零向量的相反向量是_向量, 任一向量与它的相反向量的和是_向量。()=0.2、两个减法法则：已知非零向量和，做出三角形法则： 3. 向量的减法其实是一种图形运算：把两个向量起点重合，把一个向量的 为起点，另一个向量的 为终点所得到的向量叫做这两个向量的 ，记为 。如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是_，差向量方向指向 一般地，对于任意三点O，A，B，=4.若，怎样作出？向量可以看成是吗？【预习自测】1化简: (1) (2) (3) (4)=_2平行四边形中，用，表示向量、【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知正方形，求作向量：（1）（2）探究二：如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，求证 【能力拓展】1已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围2. 讨论：与、与有何关系？对任意向量，都有吗？3化简-+的结果等于 4若a、b共线且|a+b|a-b|成立,则a与b的关系为 【我的小结】若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b或者：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 向量减法是加法的逆运算 一般地，对于任意三点O，A，B，= 必修4 第二章 第4课时 向量数乘运算【学习目标】1.理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算.2.通过自主学习、合作讨论探究出向量数乘运算的规律与方法.【教学重点】数乘向量的定义与共线向量定理【教学难点】三点共线的条件【教材助读】1、 向量的数乘定义：一般地， 它的长度和方向规定如下： （） ；（）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；当时，方向是 。2、向量的数乘运算律：（1）（）= （2）（+）= （3）（+）= （4） （12）= 3、定理：向量与共线，当且仅当 【预习自测】1任画一向量,分别求作向量=2，=32点p在线段AB上，且=,则 = , = 3计算： 0= 06= 3（4）= 4利用向量的数乘运算律变形：7 +7= 5()= (3) (+)= 5化简（1）7( +)3()+2（2）(52+3)2(+3)（3）(2)(4+3)4(+25)【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知、是两个不共线的向量，若、，求证：、三点在一条直线上。探究二：求证：M是线段AB的中点，对于任意一点O，都有探究三：判断下列各小题中的向量与向量是否共线？ （1） =2 , =8 （2）= ，=22探究四：在ABCD中，设对角线=，=试用, 表示与 【能力拓展】1 （1）确定与共线的单位向量 （2）含义是什么？2已知四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证(+).3.设，是两个不共线向量，则与共线的条件是什么？4求证： A，B，C三点共线存在使=存在【我的小结】1向量的模是 方向 2两个向量共线的条件：向量与非零向量共线的条件是有且仅有一个实数，使得 3M是AB的中点 必修4 第二章 第5课时 平面向量的基本定理【学习目标】1.掌握平面向量基本定理的内容.2.理解基底及夹角的概念，并能运用基底表示平面内任一向量.【教学重点】平面向量基本定理，【教学难点】利用平面向量基本定理，将任意向量用基向量表示【教材助读】1、平面向量的基本定理： 2、向量的夹角： 3.当 时，向量与向量同向，当 时，向量与向量反向，当 时，.【预习自测】1若非零向量满足，求与所成角的大小2如图,平行四边行ABCD的对角线AC和BD交于点M, , . ,试用基底,表示,和.3在正六边形ABCDEF中， = , = 用 , 表示向量、.4确定下列各图中向量与向量的夹角的大小：【我的疑惑】【学始于疑】探究一：设,是平面内的一组基底，如果=,=,OACB=，求证：A,B,D三点共线探究二如图，已知不共线，点C满足，试以为基底表示.探究三：已知梯形中，分别是、的中点，若，用，表示、探究四：设两非零向量，不共线，且，求实数k的值。【能力拓展】1.设, 是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三点A, B, D共线，求k的值2点C在线段AB上，且，则3. 三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近A的三点分点，CD，BE相交于P，试用。【我的小结】平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得 必修4 第二章 第6课时 平面向量的坐标表示与运算【学习目标】1、掌握平面向量的坐标表示方法。2、理解、记忆平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式。【教学重点】掌握平面向量坐标的加法、减法、数乘运算及其应用。【教学难点】理解平面向量的正交分解及坐标比表示方法的理解。【教材助读】1、什么叫向量的正交分解？ 2、向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与轴、轴同方向的单位向量、，则对于平面内任意向量，有且只有一对实数、使得= ，这样，平面内的任一向量都可以由实数、唯一确定。我们把有序实数对叫做 记作= 其中叫做在的 坐标，叫做的 坐标。（2）在平面直角坐标系中，若设，则向量的坐标就是终点A的坐标，反过来，终点A的坐标就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一有序实数对唯一表示，即每一个向量与其坐标之间具有 的关系。（3）平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式： ， ， ，【预习自测】1、分别用坐标表示出下列平面向量：= ，= ，= 2、写出如图所示的向量,的坐标.3、已知A、B两点的坐标，求向量及的坐标：（1） (2) (3) 4、已知，求，及的坐标.【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知表示向量的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.（1）；（2）；（3）探究二：已知A,，若,求的值.探究三：已知平行四边形ABCD中, ,求点C的坐标.探究四：设则=_【能力拓展】1已知点A(0,1), B(1,0), C(1,2), D(2,1),试判断AB与CD的位置关系2已知求坐标3已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。【我的小结】1，为一实数，=_。=_=_2若已知,，则=_=_即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的_。必修4 第二章 第7课时 平面向量共线的坐标表示【学习目标】1.理解向量共线的概念，并会应用坐标表示向量共线。2.通过自主学习、合作讨论、探究出向量共线的坐标条件、等分点坐标及应用。【教学重点】平面向量共线的坐标表示及其应用。【教学难点】向量关系与坐标关系的转化【教材助读】1、两向量平行（共线）的条件：若则存在唯一实数使，反之，存在唯一实数使，则 2、设，则与共线的充要条件为 3、设，则线段AB的中点坐标为 ，两个三等分点坐标为 ， 【预习自测】1、设若则实数p= q= 2、已知则P点的坐标为 3、已知和向量若，则点B的坐标为 4、如果共线且方向相反，则k= 5、矩形ABCD中，两条对角线交点在x轴上，则C点坐标为 ，D点坐标为 。6、已知，重心为则x,y的值分为 【我的疑惑】【学始于疑】探究一：求证：设线段AB两端点的坐标分别为，则其中点M（x,y）的坐标公式是：探究二：当P是线段P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的三点分点时，求P点的坐标。探究三：已知求适合下列条件的点P的坐标：（1）点P在线段上；（2）点P在线段延长线上； 【能力拓展】1、中，直线PQ平行于BC分别交AB，AC于P，Q两点且三角形APQ与四边形BCQP的面积的比为4比5。求P，Q坐标。2、P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，P（x,y）,试确定P点的坐标。3、三个顶点分别为A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3),求的重心G的坐标。4、三个顶点分别为的平分线交BC于D，求D点的坐标及之值。【我的小结】设，则与共线的充要条件为 必修4 第二章 第8课时 平面向量的数量积【学习目标】理解平面向量数量积的概念，并会应用平面向量数量积。【教学重点】平面向量数量积的定义。【教学难点】一个向量在另一个向量上的投影的概念【教材助读】1、数量积= ，其中是 ，的范围 。2、数量积的几何意义： 。3、4、5、6、【预习自测】1、判断正误，并简要说明理由:；0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则.2、已知，在 下列条件下分别求.与的夹角是60 3、已知a,b,c分别为ABC 的三边BC，AC，AB.，求.4、已知，4，求向量在方向上的投影，并求在方向上的投影。【我的疑惑】【学始于疑】探究一：若，且，求的值探究二：平面上三个向量、的模均为1，他们之间的夹角均为120，求证：探究三：已知|=6,|=4,与的夹角为60，求(+2)(3)探究四：已知|=2,|=3,与的夹角为120，求【能力拓展】1、已知|=4,|=3，求与的夹角。2、已知|=5,|=4,与的夹角为60，求k为何值时，向量与垂直。3、已知正方形ABCD的边长为1，设，求的模。4、向量夹角为600， 的值。【我的小结】1数量积= ，其中是 ，的范围 2在上的投影为 ，在上的投影为 必修4 第二章 第9课时 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】通过自主学习、合作讨论、探究出平面向量数量积的坐标表示及其应用。【教学重点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。【教学难点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。【教材助读】1、设，则= 2、设，则 或 3、设，则 4、两向量夹角的余弦（）， cosq = = 【预习自测】1、.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影2、=(2,3),=(2,4), 求(+)();3、已知=(4,3),向量是单位向量，求4、已知（，），（，），则与的夹角是多少?5、已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且=,=,则与的夹角6、平面上三点不共线，设,则的面积等于 【我的疑惑】【学始于疑】探究一：已知=(，)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则的取值范围探究二：已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：ABC是直角三角形.探究三：知（3，4），（4，3），若(x+y)，且x+y=1. 求x,y探究四：已知判断与是否共线？【能力拓展】1、给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)(), 求x2、设向量 满足及求夹角的大小及的值。3、已知，且，求实数的值。4、已知向量满足求【我的小结】1、设，则= 2、= 3、设，则必修4 第二章 第10课时 平面几何中的向量方法【学习目标】1掌握平面向量研究几何图形中的部分性质，求线段长度及垂直与平行的证明2通过自主学习，合作讨论，研究出平面向量在几何中的运用【教学重点】平面向量在几何形中的运用。【教学难点】平面向量在几何形中的运用。【教材助读】1向量的模： 向量的数量积公式： 2设，则3两向量夹角的余弦（）， cosq = = 4平面向量解决平面几何问题的“三步曲”： 1） ，2） ，3） 。【预习自测】1、 四边形ABCD中，若 ，四边行ABCD是（ ）A平行四边行 B 梯形 C菱形 D 矩形2、动点P在A、B、C三点确定的平面内，O为平面内一定点，且满足（）（=0，则P点的轨迹一定过ABC的（ ）A外心 B 内心 C重心 D 垂心3、在四边形ABCD中，若，则（ ）AABCD是矩形B. ABCD是菱形 CABCD是正方形D. ABCD是平行四边形4已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则ABC的形状为 （ ） A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形5已知A、B、C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若，则点P与ABC的位置关系是（ ） A、点P在ABC内部 B、点P在ABC外部C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上【我的疑惑】【学始于疑】探究一：用向量的方法证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍探究二：如图平行四边形ABCD,点E,F是AD,DC边的中点，BE,BF分别与AC交于R,T两点，你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？探究三：已知向量满足，的模相等均为1，求证：三角形是正三角形。探究四：如图， O是ABC平面内任一点，求证：G是ABC重心【能力拓展】1H是ABC垂心HA2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB22ABC，D是BC边的中点，AD与CE相交于P，连BP，交AC于F，3P为ABC内一点，求ABC与APC的面积之比。【我的小结】O是ABC外心 G是ABC重心 H是ABC垂心 必修4 第二章 第11课时 向量在物理中的应用【学习目标】1掌握平面向量研究几何图形中的部分性质，求距离。2通过自主学习，合作讨论，研究出平面向量在物理中的运用。【教学重点】平面向量在物理学中的运用。【教学难点】平面向量在物理学中的运用。【教材助读】1、向量的模： 。 2、向量的数量积公式： 3、向量的夹角公式： 【预习自测】1当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则的值为（ ） A、300 B、600 C、900 D、12002艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，求水流速度。3平行四边形满足条件，则该四边形是：A.矩形B.菱形C.正方形D.任意平行四边形4中，若，则一定是 5已知、是夹角为60的两个单位向量，(1)求; (2)求与的夹角.【我的疑惑】【学始于疑】探究一：一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h,水流速度 =2km/h,问船行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1km/h）探究二：某人在静水中游泳，速度为 4 千米/时，他在水流速度为4千米./时的河中游泳。（1）如果他垂直游向河岸，那么他的实际前进方向是？实际前进速度是？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进速度？【能力拓展】1如图所示，支座A受，两个力的作用，已知=40N,与水平线成 角， =70N,沿水平方向，两个力的合力F=100N,求 角以及F 与水平线的夹角 .2.如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，ACW1500,BCW=1200,求物体平衡时，A和B处所受力的大小。（绳子质量忽略不计），g=10N/kg）。ABCG(W)【我的小结】