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必修4 第二章 第1课时 向量概念及物理意义
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解向量的概念.
2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念。
【教学重点】向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.
【教学难点】向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断
【教材助读】
1.我们把____________的量叫做向量；把____________ 的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作____，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作_____，有向线段包括三要素__ 、____、___；向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量。
2.向量可以用有向线段表示，向量的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫
做____向量，记作，长度等于1个单位的向量，叫做__ 向量；
3.______________________的非零向量叫做平行向量，向量与平行，记作______，规定与任一向量平行，即对任意向量都有___ ；
4._______的向量叫做相等向量；若与相等，记作__ ；
5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫_______向量
【预习自测】
1.下列各量中不是向量的是 （ ）（考察向量的概念）
A. 浮力 B.风速 C.位移 D.密度 E.温度 F.体积
2.下列说法中错误的是（ ）（A）零向量是没有方向的；（B）零向量的长度为0；
(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的。
3.给出下列命题：向量和向量的长度相等；方向不相同的两个向量一定不平行；向量就是有向线段；向量=0；向量大于向量。其中正确的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：判断下列命题是否正确：
（1）若//，则与的方向相同或相反；
（2）与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
（3）||=||，，不一定平行；若，||不一定等于||；
（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
（5）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量．
（6） 若与平行同向,且＞，则＞
探究二：给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若||=||，则=；若=，则四边形ABCD是平行四边形；平行四边形ABCD中，一定有=；若，，则；
其中不正确的是命题个数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
探究三：如右图，D 、E 、F 分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与相等的向量．

【能力拓展】
1．单位向量是否唯一？有多少个单位向量？若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是什么？
2．温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？
3．关于零向量，下列说法中正确的有
（1）零向量是没有方向的。 （2）零向量的长度是0
（3） 零向量与任一向量平行 （4）零向量的方向是任意的。
4．若，,则吗？
【我的小结】零向量是 ，共线（平行）向量是
单位向量是 ，相等向量是
必修4 第二章第2课时 向量加法及几何意义
【学习目标】掌握向量的加法运算并能进行化简，同时理解其几何意义。
【教学重点】会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
【教学难点】三角形不等式
【教材助读】
1，回答以下问题:
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：+=
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：+=
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移+=

2、两个加法法则：已知非零向量和，做出
（1）三角形法则： （2）平行四边形法则
a
ｂ

向量的加法其实是一种图形运算：把两个向量首尾相接，把一个向量的 为起点，另一个向量的 为终点所得到的向量叫做这两个向量的 ，记为 。
3.规定：对于零向量与任一向量，都有
4.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：
（2）向量加法的结合律：(+) +=
【预习自测】1.化简：（1）
(2)
2．已知在平行四边形ABCD中,
【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：梯形ABCD，AD//BC,O为对角线交点，则++=
探究二：已知平行四边形ABCD中，，试用表示
探究三：在矩形ABCD中，，则向量的长度等于
探究四：一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

探究五：在四边形ABCD中，，则此四边形肯定为 形。

【能力拓展】
1.用>,<,=符号填空：当向量与不共线时， +、、的方向不同向，则|+|___||+||;当与同向时，则+、、同向，则|+|___||+||;当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，则|+|___||-||;若||<||,则+的方向与相同，则|+|___||-||.一般地︱+︱≤︱︱+︱︱
2．是否一定成立？？
【我的小结】1、已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量_____叫做与的和，记作____，即=_____=_____这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

必修4 第二章 第3 课时 向量减法及几何意义
【学习目标】掌握向量的减法运算并能进行化简、理解几何意义，培养运用数形结合的思
想解决问题的能力。
【教学重点】会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.
【教学难点】三角形不等式
【教材助读】
1.相反向量的定义：________________________ 规定：零向量的相反向量是____向量, 任一向量与它的相反向量的和是______向量。＋(－)=0.
2、两个减法法则：
已知非零向量和，做出三角形法则：

3. 向量的减法其实是一种图形运算：把两个向量起点重合，把一个向量的 为起点，另一个向量的 为终点所得到的向量叫做这两个向量的 ，记为 。
如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是____，差向量方向指向
一般地，对于任意三点O，A，B，=—

4.若，怎样作出？向量可以看成是吗？

【预习自测】
1．化简: (1) (2)
(3) (4)=__________

2．平行四边形中，，，用，表示向量、
【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：已知正方形，，，，求作向量：（1）
（2）

探究二：如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，

，，求证．

【能力拓展】
1．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围

2. 讨论：与、与有何关系？
对任意向量，都有吗？

3．化简-++的结果等于

4若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 ．

【我的小结】若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b
或者：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差
即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 向量减法是加法的逆运算
一般地，对于任意三点O，A，B，=

必修4 第二章 第4课时 向量数乘运算
【学习目标】1.理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算.
2.通过自主学习、合作讨论探究出向量数乘运算的规律与方法.
【教学重点】数乘向量的定义与共线向量定理
【教学难点】三点共线的条件
【教材助读】
1、 向量的数乘定义：一般地，
它的长度和方向规定如下：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向 ；当时，λ的方向与的方向 ；当时，，方向是 。
2、向量的数乘运算律：（1）（）= （2）（+）=
（3）（+）= （4） （1±2）=
3、定理：向量与共线，当且仅当
【预习自测】
1．任画一向量,分别求作向量=2，=—3
2．点p在线段AB上，且=,则 = , =
3．计算： 0= 06= 3（—4）=
4．利用向量的数乘运算律变形：7 +7= 5(—)= (—3) (+)=
5．化简（1）7( +)—3(—)+2
（2）(5—2+3)—2(+3—)
（3）(—2)(4+—3)—4(—+2—5)
【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：已知、是两个不共线的向量，若、、，求证：、、三点在一条直线上。

探究二：求证：M是线段AB的中点，对于任意一点O，都有
探究三：判断下列各小题中的向量与向量是否共线？
（1） =2 , =—8 （2）=— ，=2—2
探究四：在ABCD中，设对角线=，=试用, 表示与

【能力拓展】
1． （1）确定与共线的单位向量
（2）含义是什么？
2．已知四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).
3.设，是两个不共线向量，则与共线的条件是什么？
4．求证： A，B，C三点共线存在使=
存在

【我的小结】
1．向量的模是 方向
2．两个向量共线的条件：向量与非零向量共线的条件是有且仅有一个实数，使得
3．M是AB的中点
必修4 第二章 第5课时 平面向量的基本定理
【学习目标】1.掌握平面向量基本定理的内容.
2.理解基底及夹角的概念，并能运用基底表示平面内任一向量.
【教学重点】平面向量基本定理，
【教学难点】利用平面向量基本定理，将任意向量用基向量表示
【教材助读】
1、平面向量的基本定理：
2、向量的夹角：
3.当 时，向量与向量同向，当 时，向量与向量反向，
当 时，.
【预习自测】
1．若非零向量满足，求与所成角的大小
2．如图,平行四边行ABCD的对角线AC和BD交于
点M, , . ,试用基底,表示,,和.

3．在正六边形ABCDEF中， = , = 用 ,
表示向量、、、、、.
4．确定下列各图中向量与向量的夹角的大小：

【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：设,是平面内的一组基底，如果=,=,
O
A
C
B
=，求证：A,B,D三点共线

探究二如图，已知不共线，点C满足，
试以为基底表示.

探究三：已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．

探究四：设两非零向量，不共线，且，求实数k的值。
【能力拓展】
1.设, 是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三点A, B, D共线，求k的值

2．点C在线段AB上，且，则
3. 三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边靠近A的三点分点，，，CD，BE相交于P，试用。

【我的小结】
平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得
必修4 第二章 第6课时 平面向量的坐标表示与运算
【学习目标】1、掌握平面向量的坐标表示方法。
2、理解、记忆平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式。
【教学重点】掌握平面向量坐标的加法、减法、数乘运算及其应用。
【教学难点】理解平面向量的正交分解及坐标比表示方法的理解。
【教材助读】
1、什么叫向量的正交分解？
2、向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与轴、轴同方向的单位向量、，则对于平面内任意向量，有且只有一对实数、使得= ，这样，平面内的任一向量都可以由实数、唯一确定。我们把有序实数对叫做 记作= 其中叫做在的 坐标，叫做的 坐标。
（2）在平面直角坐标系中，若设，则向量的坐标就是终点A的坐标，反过来，终点A的坐标就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一有序实数对唯一表示，即每一个向量与其坐标之间具有 的关系。
（3）平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式：
， ， ，
【预习自测】1、分别用坐标表示出下列平面向量：= ，= ，=
2、写出如图所示的向量,,,的坐标.
3、已知A、B两点的坐标，求向量及的坐标：
（1） (2) (3)
4、已知，求，及的坐标.
【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：已知表示向量的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.
（1）；（2）；（3）

探究二：已知A,,，，若,求的值.

探究三：已知平行四边形ABCD中, ,求点C的坐标.

探究四：设则=_________________
【能力拓展】
1．已知点A(0,1), B(1,0), C(1,2), D(2,1),试判断AB与CD的位置关系

2．已知求坐标

3．已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。

【我的小结】
1．，为一实数，=____。=______=_______
2．若已知,，则=_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。

必修4 第二章 第7课时 平面向量共线的坐标表示
【学习目标】1.理解向量共线的概念，并会应用坐标表示向量共线。
2.通过自主学习、合作讨论、探究出向量共线的坐标条件、等分点坐标及应用。
【教学重点】平面向量共线的坐标表示及其应用。
【教学难点】向量关系与坐标关系的转化
【教材助读】
1、两向量平行（共线）的条件：若则存在唯一实数使，反之，存在唯一实数使，则
2、设，则与共线的充要条件为
3、设，则线段AB的中点坐标为 ，
两个三等分点坐标为 ，
【预习自测】
1、设若则实数p= q=
2、已知则P点的坐标为
3、已知和向量若，则点B的坐标为
4、如果共线且方向相反，则k=
5、矩形ABCD中，两条对角线交点在x轴上，则C点坐标为 ，
D点坐标为 。
6、已知，重心为则x,y的值分为

【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：求证：设线段AB两端点的坐标分别为，，
则其中点M（x,y）的坐标公式是：

探究二：当P是线段P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的三点分点时，求P点的坐标。

探究三：已知求适合下列条件的点P的坐标：
（1）点P在线段上；（2）点P在线段延长线上；

【能力拓展】
1、中，直线PQ平行于BC分别交AB，AC于P，Q两点且三角形APQ与四边形BCQP的面积的比为4比5。求P，Q坐标。

2、P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，P（x,y）,,试确定P点的坐标。

3、三个顶点分别为A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3),求的重心G的坐标。

4、三个顶点分别为的平分线交BC于D，求D点的坐标及之值。

【我的小结】
设，则与共线的充要条件为
必修4 第二章 第8课时 平面向量的数量积
【学习目标】理解平面向量数量积的概念，并会应用平面向量数量积。
【教学重点】平面向量数量积的定义。
【教学难点】一个向量在另一个向量上的投影的概念
【教材助读】
1、数量积×= ，其中θ是 ，θ的范围 。
2、数量积的几何意义： 。
3、4、
5、
6、
【预习自测】
1、判断正误，并简要说明理由:①·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤对任意向量，，都有（·）＝（·）；⑥与是两个单位向量，则２＝２.

2、已知｜｜＝３，｜｜＝３，在 下列条件下分别求·.
①与的夹角是60° ②⊥ ③∥

3、已知a,b,c分别为△ABC 的三边BC，AC，AB.，，求·.

4、已知，｜｜＝３，｜｜＝4，求向量在方向上的投影，
并求在方向上的投影。

【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：若，且，求的值

探究二：平面上三个向量、、的模均为1，他们之间的夹角均为120°，求证：

探究三：已知||=6,||=4,与的夹角为60°，求(+2)·(—3)

探究四：已知||=2,||=3,与的夹角为120°，求

【能力拓展】
1、已知||=4,||=3，，求与的夹角。

2、已知||=5,||=4,与的夹角为60°，求k为何值时，向量与垂直。

3、已知正方形ABCD的边长为1，设，，，求的模。

4、向量夹角为600， 的值。

【我的小结】

1．数量积×= ，其中θ是 ，θ的范围
2．在上的投影为 ，在上的投影为
必修4 第二章 第9课时 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】通过自主学习、合作讨论、探究出平面向量数量积的坐标表示及其应用。
【教学重点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。
【教学难点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。
【教材助读】
1、设，，则×=
2、设，则 或
3、设，，则
4、两向量夹角的余弦（）， cosq = =
【预习自测】
1、.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影

2、=(2,3),=(—2,4), 求(+)·(—);

3、已知=(4,3),向量是单位向量，求

4、已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?

5、已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且=,=,则与的夹角

6、平面上三点不共线，设,则的面积等于

【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围

探究二：已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.

探究三：知＝（3，4），＝（4，3），若(x+y)⊥，且｜x+y｜=1. 求x,y

探究四：已知判断与是否共线？

【能力拓展】
1、给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(—), 求x

2、设向量 满足及求夹角的大小及的值。

3、已知，，，且，求实数的值。

4、已知向量满足求

【我的小结】
1、设，，则×=
2、=
3、设，，则
必修4 第二章 第10课时 平面几何中的向量方法
【学习目标】1．掌握平面向量研究几何图形中的部分性质，求线段长度及垂直与平行的证明
2．通过自主学习，合作讨论，研究出平面向量在几何中的运用
【教学重点】平面向量在几何形中的运用。
【教学难点】平面向量在几何形中的运用。
【教材助读】
1．向量的模： 向量的数量积公式：
2．设，，则
3．两向量夹角的余弦（）， cosq = =
4．平面向量解决平面几何问题的“三步曲”：
1） ，
2） ，
3） 。
【预习自测】
1、 四边形ABCD中，若 ，四边行ABCD是（ ）
A．平行四边行 B 梯形 C．菱形 D 矩形
2、动点P在A、B、C三点确定的平面内，O为平面内一定点，且满足
（—）（—=0，则P点的轨迹一定过ABC的（ ）
A．外心 B 内心 C．重心 D 垂心
3、．在四边形ABCD中，若，则（ ）
A．ABCD是矩形B. ABCD是菱形 C．ABCD是正方形D. ABCD是平行四边形
4．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为 （ ）
A、正三角形 B、钝角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形
5．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若
，则点P与△ABC的位置关系是（ ）
A、点P在△ABC内部 B、点P在△ABC外部
C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上
【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：用向量的方法证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍

探究二：如图平行四边形ABCD,点E,F是AD,DC边的中点，BE,BF分别与AC交于R,T两点，你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？

探究三：已知向量满足，的模相等均为1，求证：三角形是正三角形。

探究四：如图， O是△ABC平面内任一点，求证：
G是△ABC重心

【能力拓展】
1．H是△ABC垂心HA2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2

2．△ABC，D是BC边的中点，AD与CE相交于P，连BP，交AC于F，
3．P为△ABC内一点，，求△ABC与△APC的面积之比。

【我的小结】
O是△ABC外心
G是△ABC重心
H是△ABC垂心
必修4 第二章 第11课时 向量在物理中的应用
【学习目标】1掌握平面向量研究几何图形中的部分性质，求距离。
2通过自主学习，合作讨论，研究出平面向量在物理中的运用。
【教学重点】平面向量在物理学中的运用。
【教学难点】平面向量在物理学中的运用。
【教材助读】
1、向量的模： 。
2、向量的数量积公式：
3、向量的夹角公式：
【预习自测】

1．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则的值为（ ）
A、300 B、600 C、900 D、1200

2．艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，求水流速度。

3．平行四边形满足条件，则该四边形是：
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.任意平行四边形

4．中，若，则一定是

5．已知、是夹角为60°的两个单位向量，，
(1)求; (2)求与的夹角.

【我的疑惑】

【学始于疑】
探究一：一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h,水流速度 =2km/h,问船行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1km/h）

探究二：某人在静水中游泳，速度为 4 千米/时，他在水流速度为4千米./时的河中游泳。
（1）如果他垂直游向河岸，那么他的实际前进方向是？实际前进速度是？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进速度？

【能力拓展】
1．如图所示，支座A受，两个力的作用，已知=40N,与水平线成 角， =70N,沿水平方向，两个力的合力F=100N,求 角以及F 与水平线的夹角 .

2.如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，∠ACW＝1500,∠BCW=1200,求物体平衡时，A和B处所受力的大小。（绳子质量忽略不计），g=10N/kg）。　　　　
A
B

C

G(W)

【我的小结】