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四川省广元市利州区广元市川师大万达中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

四川省广元市利州区广元市川师大万达中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

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四川省广元市利州区广元市川师大万达中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简原式即可．
【详解】 ，
故选C．
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2.已知集合A＝{x|x-1>0}，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.
【详解】因为，
故.
故选：C.
【点睛】本题考查集合交集得求解，属简单题.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
【详解】由题函数定义域为，，函数为偶函数，图像关于y轴对称，B,C选项不符合，当时，，则函数图像大致为A选项所示.
故选：A
【点睛】此类题目通常根据函数定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。
4.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=，可得答案.
【详解】解：由题意可设双曲线的右焦点F(c,0),渐进线的方程为，
可得d==b=2a，可得c==，
可得离心率e=，
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.
5.函数是
A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为2π的偶函数
C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数
【答案】C
【解析】
试题分析：本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数．
解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，
∴f（x）为周期为π的奇函数，
故选C
考点：二倍角的正弦．

6.体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
【考点】 正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.

7.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合0,1进行a,b,c的大小比较，即可．
【详解】,,故,故选B.
【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等．
8.下图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【详解】解：应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，
可得几何体的体积为：．
故选B．

【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
9.等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（　　）
A. B. C. 2 D. -
【答案】A
【解析】
在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．
又a10=6，则．
故选A．
10.已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】由题得OC中点坐标为（3,4），
圆的半径为，
所以圆的方程为.
故选C
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在上恒成立求解．
【详解】∵，∴．
又函数 在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∵当时，，∴．
所以实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当时，则函数在区间上单调递减；而当函数在区间上单调递减时，则有在区间上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
12.函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.
【点睛】考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.若，满足则的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】解：由x，y满足作出可行域如图，

联立，解得A（1，0）
函数z＝x﹣2y为y，由图可知，
当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z的最大值为：1．
故答案为1．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
14.函数在区间上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
求导函数，根据函数单调性求函数在[-1，2]上的极大值，再比较端点值即可得到该函数的最大值.
【详解】f′(x)=6x2-4x=2x（3x-2），
已知x∈[-1,2],当2≥x>或-1≤x<0时， f′(x)>0,f（x）在该区间是增函数，
当0<x<时，f′(x)<0, f（x）在该区间是减函数，
故函数在x=0处取极大值，f（0）=0，又f(2)=8,故 f（x）的最大值是8.
【点睛】求函数最值常用方法：由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.
15.设 ，向量且 ，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，，，．
考点：向量垂直与向量的模．
16.已知抛物线准线与圆相切，则的值为_____.
【答案】2；
【解析】
试题分析：先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．
解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，
因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，
所以3+=4，解得p=2．
故答案为2
点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知在等比数列{an}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an=2n，n∈N*（2）1-+n2
【解析】
【分析】
（1）等比数列{an}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；
（2）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】（1）等比数列{an}的公比设为q，a1=2，
a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，
即为4q=2+2q2-2，解得q=2，
则an=a1qn-1=2n，n∈N*；
（2）=+2log22n-1=+2n-1，
则数列{bn}的前n项和Sn=（++…+）+（1+3+…+2n-1）
=+n（1+2n-1）=1-+n2．
【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
18.已知向量，，，设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）时，取最小值；时，取最大值1．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据向量数量积、二倍角公式及配角公式得，再根据正弦函数性质得．（2）先根据得，，再根据正弦函数性质得最大值和最小值．
试题解析：（1） ，
最小正周期为．
（2）当时，，
由图象可知时单调递增，时单调递减，
所以当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值1．

19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，分别是，中点．

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据可证平面；
（2）过作交于点，求出，，后，再根据棱锥的体积公式可得结果.
【详解】（1）证明：在中，，分别是，的中点，∴．
又，∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）连接，，，过作交于点，

则平面，．
在中，，，，∴，．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.
20.已知的图象经过点，且在处的切线方程是.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由的图象经过点，又
，再由的图象经过点，；
（2）令，或单调递增区间为，.
【详解】（1）的图象经过点，则，
，，
切点为，则的图象经过点，
得，得，，
.
（2），，或，
单调递增区间为，.
【点晴】本题考查函数的解析式，函数的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于较中档型.
21.已知椭圆：的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过的直线与交于、两点，若直线倾斜角为，求线段长度．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，求得方程，则椭圆方程可解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可求得结果.
【详解】（1）由已知得，故可得，，
又，，
故可得，
所求椭圆的方程为．
（2）∵过的直线与交于、两点，
设方程为
联立椭圆方程联立，
可得，
设两点坐标为，
故可得，，
故
可得.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及弦长公式的利用，属综合基础题.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0£a<p）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）和x=0.
【解析】
【分析】
（I）将代入曲线极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线的普通方程.
【详解】解：（Ⅰ）将代入曲线C极坐标方程得：
曲线C的直角坐标方程为：
即
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

整理得
设点A，B对应的参数为，，
解得，
则
，因为
得，直线l的普通方程为和x=0
【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.
23.已知函数，
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，得，分类讨论，即可求解.
（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.
【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.
（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令 ，
所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．