四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题-理.doc

四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 理

四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 理

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四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 理（含解析）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
观察角度并变形，利用两角和与并公式计算.
【详解】.
故选：A
【点睛】考查了诱导公式和两角和与差公式的逆用，属于容易题.
2.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)
A. B. 1＋ C. 2 D. 2(tan 18°＋tan 27°)
【答案】C
【解析】
,故选C
3.已知，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
观察角度之间的联系得，再用两角差的正弦公式计算.
【详解】由，又，则，则,
则.
故选：C
【点睛】本题考查了角变换技巧和两角和与差公式，属于容易题.
4.下面说法正确的是（ ）
A. 平面内的单位向量是唯一的
B. 所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C. 所有的单位向量都是共线的
D. 所有单位向量的模相等
【答案】D
【解析】
【分析】
利用单位向量的概念：模为1的向量为单位向量，逐一分析判断.
【详解】对A：单位向量有无数个，错误；
对B：单位向量的起点不一定在同一点，终点的集合不一定是一个单位圆，错误；
对C：单位向量的方向不一定相同或相反，故C错误；
对D:由单位向量的定义，正确.
故选：D
【点睛】本题考查了对单位向量概念的理解，属于容易题.
5.在中，是的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算和中线向量的表示，计算可得所求向量.
【详解】在中，为边上的中线，为的中点，
所以
，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加减运算法则，以及向量共线时的表示方法，再有就是中线向量的表示，属于简单题目.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将问题中的角看作未知角，条件中的角看作已知角，由未知角与已知角的关系，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.
【详解】因，
又因为，所以，则有

故选A.
【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.
7.若，则=（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【详解】tanα，
∴cos2α+2sin2α

．
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
8.下列各式中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项分别运用两角和差公式，角变换技巧,辅助角公式，降次公式等变形判断正误.
【详解】对A：由，得，A正确；
对B：
，B正确
对C： ，C错误.
对D:

，D正确
故选：C
【点睛】本题综合考查了两角和差公式，角变换技巧,辅助角公式，降次公式等的应用.
9.已知是所在平面内一点，且满足，则为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，得的形状是直角三角形。
【详解】
因为，，
因为，所以，
因为，所以，
由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形。
【点睛】本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。
10.如图在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵＋＋＝，
∴＋＋-=，
即＋＋+=
∴＋+=，
2+=，
∴点P在线段AC上，
且|AC|=3|PA|
那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是．
故选 A．
11.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，设，则＝＝，所以，所以，则当时，取得最小值，故选B．
考点：1、平面向量的加减运算；2、向量共线．
12.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，

为的外心，，即为斜边的中点，
又为中点，，
为中点，
．

故选：．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．
二、填空题(每题5分，共20分)
13.若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.
【详解】因为，所以.
【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.
14.定义运算，若，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.
【详解】根据题干得到

，，
，，代入上式得到结果为：

故答案为.
【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.
15.设，，且，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意可求，，又，，可求，，又，根据两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】由，所以，
因为，所以.
又，所以
又，所以；
所以
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角和的正弦公式，本题属于中档题.
16.已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______．
【答案】
【解析】
【详解】因为，
所以，所以．
三、解答题
17.已知为锐角，
（1）求的值
（2）求的值
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由α为锐角，，由同角关系可得和，再根据正切的二倍角公式即可求出的值；
（2）由于 ，利用两角差的正切公式即可求出，再根据同三角函数的基本关系可得 ，最后利用两角差的正弦公式即可求出结果.
【详解】（1）由α为锐角，，得.
所以
所以
（2）
由题意及同三角函数的基本关系可得
所以.
【点评】本题主要考查了三角函数同角的基本关系，以及两角差的正弦和正切公式，以及正切的二倍角公式，属于基础题.
18.设两个非零向量与不共线.
（1）若，，，求证：三点共线.
（2）试确定实数k，使和反向共线.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）运用向量共线定理，证得与共线，即可得证；
（2）由题意可得存在实数，使，展开后，运用方程思想，即可得到所求值．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴.
∴、共线，
又∵它们有公共点，∴、、三点共线
（2）∵与反向共线，∴存在实数，使
即，
∴
∵，是不共线两个非零向量，
∴，
∴，∴，
∵，∴
【点睛】本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.已知函数图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）设，求值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由图象可得，由周期公式可求，从而可求函数的解析式；
（2）由，可求，又由，可求，结合角的范围可求，由两角差的正弦函数公式即可得解．
【详解】（1）由图象可知，

（2）， 
又.

.
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
20.已知函数.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）当且时，的值域是，求的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析： （1）首先利用三角恒等变形公式将函数化为的形式，再由，解出x的范围，可得函数的单调递增区间；
（2）由，得到，进而得到，从而由（1）所得式子，可用a、b将函数的最小值及最大值，取立得方程组，解之即可求得a、b的值.
试题解析：
（1），，
为所求
（2），
，
∴
考点：1、三角函数的性质；2、三角函数的图象的应用．
【易错点晴】本题重点考查了三角函数的图象和性质，用换元法求函数的单调区间，已知函数的最大值及最小值求其中字母参数的值，这是学生的难点，是三角函数求最值的逆向过程.不注意已知中的是本题的易错点.
21.如图， 是一块半径为 ，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛 ，其中动点 在扇形的弧上，记 .

(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式；
(2)当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】（1） （2）时，S取得最大值
【解析】
【分析】
先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案
化简函数，利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值
【详解】（Ⅰ）因为
，，
所以 ，
（Ⅱ）

因为，所以
所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值
【点睛】本题主要考查运用三角函数解答矩形面积，关键是用含有的表达式来表示出矩形的长和宽，在表示过程中运用三角函数解三角形，在求最值时将其转化为用辅助角化简题，然后求解，此类题目解答的方法还是需要掌握．
22.如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）由，，三点共线，设，由，，三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由，，三点共线，设，
由（1）可求得，，即可得到为定值.
详解：（1）由，，三点共线，可设 ，
由，，三点共线，可设 ，
∴，解得，，
∴
（2）∵，，三点共线，设 ，
由（1）知，，∴，，
∴为定值.
点睛：本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中根据三点共线，合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．