四川省内江市威远中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题-理.doc

四川省内江市威远中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理

四川省内江市威远中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理

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四川省内江市威远中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题否定为特称命题，写出答案即可.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：C.
【点睛】全程命题：，，它的否定：，.
2.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A. 3 B. 8 C. 6 D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可得，得到，即可求解.
【详解】设椭圆的左右焦点分别为，，
由椭圆的方程，可得，即，
根据椭圆的定义可得，所以，
即点P到另一个焦点的距离为8.
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的定义，利用椭圆的定义求解是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
3.抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
将抛物线写成标准方程,再根据焦点到准线的距离定义求解即可.
【详解】由题,抛物线 ,故焦点到准线的距离.
故选：D
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与几何意义.属于基础题.
4.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易知，双曲线的a和b，再利用双曲线的渐近线方程得出结果.
【详解】由题意双曲线可得
双曲线的渐近线方程为
故选A
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.
5.“”是“方程有解”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
有解，则，解得或，得到答案.
【详解】有解，则，解得或.
故“”是“方程有解”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
6.设是双曲线的左，右焦点，离心率，点P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的虚轴长为（ ）
A. 6 B. 12 C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据题意得到，，解得，，，得到答案.
【详解】，，则，，故，
故，即，解得，，
故，故虚轴长为.
故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线的虚轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7.已知，P是平面上的一动点，且，则P点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
，故轨迹方程为射线，得到答案.
【详解】，故轨迹方程为射线.
故选：B.
【点睛】本题考查了轨迹方程，误算成双曲线是容易发生的错误.
8.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. ，或
C. D. ，或
【答案】C
【解析】
【分析】
问题转化为“使得”是真命题，根据二次函数的性质求出a的范围即可．
【详解】解：命题“，使得”是假命题，
即“使得”是真命题，
故，解得，
故选C．
【点睛】本题考查了特称命题，考查二次函数的性质，是一道基础题．
9.已知椭圆的两个焦点分别为,,是椭圆上一点,且,则的面积等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选B.
10.设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.
【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.
11.已知斜率为2的直线与双曲线：（，）交于，两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
运用点差法求解，根据直线斜率的公式、中点的坐标的公式，结合离心率的公式、双曲线中的关系进行求解即可.
【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），
则代入双曲线方程，得，
，
∵点P（3，1）是AB的中点，
∴x1+x2=6，y1+y2=2，
∵直线l的斜率为2，
∴
故答案为：D.
【点睛】本题主要考查双曲线离心率求法，考查了点差法，求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为或的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
12.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcos120°＝a2+b2+ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）．
所以，即的最大值为．
故选A．
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【点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分，满分20分．
13.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】
分析：利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围.
详解：因为方程表示双曲线，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
点睛：该题考查的是有关双曲线方程中系数的关系，利用其特征得到关于的不等关系式，解不等式求得结果.
14.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，求的最小值______________.
【答案】
【解析】
【分析】
抛物线的焦点是，故，计算得到答案.
【详解】抛物线的焦点是，故，
当共线时等号成立.
故答案为：.
【点睛】本题考查了抛物线中的最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15.过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的弦长为 .
【答案】
【解析】
试题分析：这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是，所以直线方程是，联立消得，所以，故答案应填.
考点：1、抛物线；2、焦点弦.
【思路点晴】本题是一类常见的问题，即求过抛物线的焦点的弦长问题，属于中档题.解决这类问题一般有两个基本方法：①是联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理，之后用弦长公式，其中是直线与抛物线的两交点的横坐标，是直线的斜率；②是利用焦点弦长公式：，本题就是采用第二种方法解决问题的.
16.已知椭圆： 的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线， ， 与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述正确的是___________
 存在直线, 使得值为7 ‚存在直线. 使得为
ƒ弦长存在最大值，且最大值为4 ④弦长不存在最小值
【答案】①‚③
【解析】
【详解】当直线， ，一个不存在，一个为零时，，故①正确；
当直线的斜率存在且不等于零时，
设直线的斜率为，则直线的方程是，
代入椭圆方程并整理得．
设，，，，则，．
根据弦长公式，
以代换，得
当时，，存在直线. 使得为，故②正确；
当时，易得弦长存在最大值，且最大值为4，故③正确；
当直线斜率不存在时，弦长为通径，是最小值，故④错误.
故选①‚③
点睛：考查直线和椭圆的位置关系，对椭圆的基本性质和常用结论的了解是解题关键，属于中档题.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.求适合下列条件的标准方程：焦点在x轴上，与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程；
【答案】
【解析】
【分析】
设椭圆为，代入点得到，得到答案.
【详解】根据题意：设椭圆为，代入点得到，故椭圆方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了椭圆方程，设椭圆方程为是解题的关键.
18.已知，．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，解得答案.
（2）“”是“”的充分条件，则是的充分条件，故，解得答案.
【详解】（1），则，p是q充分条件，则，
解得，故.
（2）“”是“”的充分条件，则是的充分条件，故，且等号不同时成立，
解得，故.
【点睛】本题考查了充分不必要条件求参数，命题的否定，意在考查学生的计算能力和推断能力.
19.如图所示在四棱锥中，四边形是直角梯形，，平面，N为的中点.

（1）求证平面;
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）如图所示：为中点，连接，，证明四边形为平行四边形得到答案.
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）如图所示：为中点，连接，，则，，故，
故四边形为平行四边形，故，平面，故平面.

（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取得到，，则；
设平面的一个法向量为，则，
取得到，，则.
则，
观察知，二面角对应平面角为钝角，故余弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20.已知椭圆，一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件，，解得；（2）三角形面积可根据点到直线距离公式求高，根据弦长公式求底，列直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得，从而的面积为，最后根据方程解出的值．
【详解】（1）由题意得：，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由，得，
设点，的坐标分别为，，
则，，，
所以
，
又因为点到直线的距离，
所以的面积为，
由，解得
【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，前者关键是基本量的计算，后者应联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式等来计算面积，本题属于中档题.
21.已知椭圆的离心率为，且过点．
（2）求椭圆C的方程；
（2）设是椭圆C上的两个动点，且横坐标均不为l，若直线的斜率为，试判断直线与的倾斜角是否互补?并说明理由
【答案】（1）；（2）倾斜角互补，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由离心率得到关系，将点代入椭圆方程，得关系，再结合，即可求解；
（2）设直线方程为：，，，联立方程得到，，计算，得到答案.
【详解】（1）根据题意：，，，解得，.
故椭圆方程为：.
（2）直线与的倾斜角互补.
设直线方程为：，
，，，.
联立方程得到，
，解得，且
，，

，
故直线与的倾斜角互补.
【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
22.已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足时，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为，根据其与圆相切可得，联立方程组可得，根据韦达定理求出和，，所以整理可得，根据向量数量积的定义可得，换元设，则，最后再根据均值不等式求出面积的取值范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为，
由条件有解得，.
∴椭圆的方程为：.
（2）依题结合图形知直线斜率不为零，
∵直线即与圆：相切，
∴得.
设，，
由
消去整理得，
得.
又，点到直线的距离，
∴
，
.
,令，则，
∴，

∴，∴的取值范围为：.
考点：椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.